新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題訓(xùn)練專題18 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（解答題）（解析版）

專題18圓錐曲線的綜合應(yīng)用（解答題）1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率是SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，證明：線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）由題意可知：直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，消去y得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)是定點(diǎn)SKIPIF1<0.

2、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)SKIPIF1<0在定直線上.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為SKIPIF1<0，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線方程為SKIPIF1<0.（2）由(1)可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，據(jù)此可得點(diǎn)SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng).3、【2022年全國(guó)甲卷】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Dp,0，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α?β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【解析】(1)拋物線的準(zhǔn)線為x=?p2，當(dāng)MD與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為此時(shí)|MF|=p+p所以拋物線C的方程為y2(2)設(shè)M(y12由{x=my+1y2=4x可得由斜率公式可得kMN=y直線MD:x=x1?2Δ>0,y1y3所以k又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為α,β，所以kAB若要使α?β最大，則β∈(0,π設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時(shí)，kAB=2代入拋物線方程可得y2Δ>0,y3所以直線AB:x=24、【2022年全國(guó)乙卷】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A0,?2(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P1,?2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH【解析】(1)解：設(shè)橢圓E的方程為mx2+n則4n=194m+n=1，解得m=所以橢圓E的方程為：y2(2)A(0,?2),B(32,?1)①若過(guò)點(diǎn)P(1,?2)的直線斜率不存在，直線x=1.代入x2可得M(1,263)，N(1,?2T(6+3,263)，由y=(2?263②若過(guò)點(diǎn)P(1,?2)的直線斜率存在，設(shè)kx?y?(k+2)=0,M(x聯(lián)立kx?y?(k+2)=0x23可得x1+x且x聯(lián)立y=y1可求得此時(shí)HN:y?y將(0,?2)，代入整理得2(x將(?)代入，得24k+12顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)(0,?2).【點(diǎn)睛】

5、【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px聯(lián)立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡(jiǎn)得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當(dāng)m=1?2k時(shí)，直線l:y=kx+m=kx?2+1過(guò)點(diǎn)故k=?1．(2)不妨設(shè)直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因?yàn)閗AP+因?yàn)閠an∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0點(diǎn)A到直線PQ的距離d=2+1?故△PAQ的面積為12×163×223=(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)右焦點(diǎn)為F(2,0)，∴c=2,∵漸近線方程為y=±3x，∴ba=3，∴b=3a，∴c∴C的方程為：x2(2)由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；若選①③推②，則M為線段AB的中點(diǎn)，假若直線AB的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知M在x軸上，即為焦點(diǎn)F,此時(shí)由對(duì)稱性可知P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱，與從而x1總之，直線AB的斜率存在且不為零.設(shè)直線AB的斜率為k,直線AB方程為y=k(x?2),則條件①M(fèi)在AB上，等價(jià)于y0兩漸近線的方程合并為3x聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：k設(shè)A(x3,y3設(shè)M(x則條件③|AM|=|BM|等價(jià)于x0移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：x32x0?即x0由題意知直線PM的斜率為?3,直線QM的斜率為3∴由y1∴y1所以直線PQ的斜率m=y直線PM:y=?3x?x代入雙曲線的方程3x2?得：y0解得P的橫坐標(biāo)：x1同理：x2∴x∴m=3∴條件②PQ//AB等價(jià)于m=k?ky綜上所述：條件①M(fèi)在AB上，等價(jià)于ky條件②PQ//AB等價(jià)于ky條件③|AM|=|BM|等價(jià)于x0選①②推③:由①②解得：x0=2選①③推②：由①③解得：x0=2∴ky0=3選②③推①：由②③解得：x0=2k2k∴ky0=題型一圓錐曲線中的最值問(wèn)題1-1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求SKIPIF1<0的最大值．【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長(zhǎng)公式及兩點(diǎn)距離公式表示出SKIPIF1<0，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無(wú)交點(diǎn)．故設(shè)直線l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0不妨設(shè)SKIPIF1<0在x軸上方，則SKIPIF1<0在x軸下方．橢圓在x軸上方對(duì)應(yīng)方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則A處切線斜率為SKIPIF1<0，得切線方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.同理可得B處的切線方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓在x軸上方的部分方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則過(guò)SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得過(guò)SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，為2．1-2、（2023·江蘇南京·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別SKIPIF1<0、SKIPIF1<0焦距為2，且與雙曲線SKIPIF1<0共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交橢圓C于另一點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，求過(guò)P、Q、SKIPIF1<0三點(diǎn)的圓的方程；(3)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由焦距為2得到SKIPIF1<0，再由雙曲線的頂點(diǎn)求出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，橢圓方程；（2）求出SKIPIF1<0的方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的方程；（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由向量共線得到SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出SKIPIF1<0，從而表達(dá)出SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】（1）雙曲線SKIPIF1<0的頂點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故橢圓的方程為SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．設(shè)過(guò)P，Q，SKIPIF1<0三點(diǎn)的圓為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0；（3）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取等號(hào)．SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<01-3、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出SKIPIF1<0的值，將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程，可得出SKIPIF1<0，即可得出橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）分析可知直線SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓SKIPIF1<0的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫(xiě)出直線SKIPIF1<0的方程，可求得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入橢圓SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）解：若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合，則SKIPIF1<0不存在，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合，不合乎題意，所以，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入直線SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.題型二圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題2-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，過(guò)左焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn).當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為3.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而求解；（2）設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，由對(duì)稱性知以SKIPIF1<0為直徑的圓必過(guò)SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為SKIPIF1<0，代入雙曲線方程，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由題意，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；（2）方法一：設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對(duì)稱性知以SKIPIF1<0為直徑的圓必過(guò)SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn)，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；方法二：設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由對(duì)稱性知以SKIPIF1<0為直徑的圓必過(guò)SKIPIF1<0軸上的定點(diǎn).設(shè)以SKIPIF1<0為直徑的圓過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.2-2、（2023·山西·統(tǒng)考一模）雙曲線SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0，且過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，證明直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)雙曲線過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0和焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0列出方程組，解之即可；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，由題意直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)所在的直線方程即可求解.【詳解】（1）由雙曲線SKIPIF1<0可得漸近線為SKIPIF1<0，不妨取漸近線SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由題意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，從而雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，由題意可知：直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與雙曲線方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與雙曲線方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0.題型三圓錐曲線中的定值問(wèn)題3-1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個(gè)點(diǎn)在橢圓SKIPIF1<0，橢圓外一點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)證明：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率之積為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)向量關(guān)系用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入橢圓方程即可求解；（2）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是定值.3-2、（2022·山東青島·高三期末）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，原點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，證明：SKIPIF1<0的面積為定值.【解析】(1)由橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，將SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0②，①②聯(lián)立解得SKIPIF1<0，②故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.(2)證明：設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率不存在時(shí)，即SKIPIF1<0，由原點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，可知SKIPIF1<0故可得此時(shí)有SKIPIF1<0，該點(diǎn)在橢圓上，則SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，則此時(shí)SKIPIF1<0;當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率存在時(shí)，不妨設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，則聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，且需滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以y1由原點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心知，x0=?(x1+x2),y故SKIPIF1<0坐標(biāo)為SKIPIF1<0，代入到SKIPIF1<0中，化簡(jiǎn)得：(8km1+4k又原點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，故SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為原點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63綜合上述可知：SKIPIF1<0的面積為定值.題型四圓錐曲線中的角度問(wèn)題4-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線SKIPIF1<0與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線SKIPIF1<0的傾斜角分別為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）由拋物線的定義可得SKIPIF1<0，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理及斜率公式可得SKIPIF1<0，再由差角的正切公式及基本不等式可得SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以拋物線C的方程為SKIPIF1<0；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由斜率公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，代入拋物線方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若要使SKIPIF1<0最大，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，代入拋物線方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0.4-2、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線SKIPIF1<0的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的右支分別交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，其中點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方.當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0(1)設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）法一：根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)，求得a值，根據(jù)題意，求得SKIPIF1<0，可得b值，即可得曲線C方程，設(shè)直線方程為SKIPIF1<0，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得SKIPIF1<0表達(dá)式，代入SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得SKIPIF1<0表達(dá)式，代入SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.（2）法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，根據(jù)二倍角的正切公式，結(jié)合SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線SKIPIF1<0的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，結(jié)合二倍角正切公式，可得SKIPIF1<0的值，進(jìn)而可得直線SKIPIF1<0方程，與曲線C聯(lián)立，可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，代入面積公式，即可得答案.【詳解】（1）法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0顯然直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直，設(shè)其方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.法二：由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）法一：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（※）將SKIPIF1<0代入（※）得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.法二：設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.題型五圓錐曲線中的探索性問(wèn)題5-1、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率是SKIPIF1<0，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0（1）求橢圓的方程：（2）若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有SKIPIF1<0，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0取最大值，再根據(jù)三角形面積及SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到答案；（2）對(duì)直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，即可得到答案；【詳解】（1）依題意可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0（即P為橢圓短軸端點(diǎn)）時(shí)等號(hào)成立，且SKIPIF1<0取最大值；此時(shí)SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，同時(shí)SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以定圓C的方程是SKIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是SKIPIF1<0.5-2、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的“姊妺”圓錐曲線，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的離心率，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的動(dòng)直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0右支于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0.（i）試探究SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值SKIPIF1<0是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)（i）SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0；（ii）SKIPIF1<0；【分析】（1）根據(jù)“姊妺”圓錐曲線的定義設(shè)出雙曲線方程SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0求得參數(shù)b的值，即得答案.（2）（i）設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合SKIPIF1<0的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（ii）設(shè)直線SKIPIF1<0，代入雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可解得SKIPIF1<0，結(jié)合A在雙曲線右支，可得SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的范圍，同理求得SKIPIF1<0的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）（i）設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消元得SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；或由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值為定值SKIPIF1<0.（ii）設(shè)直線SKIPIF1<0，代入雙曲線方程并整理得SKIPIF1<0，由于點(diǎn)SKIPIF1<0為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為SKIPIF1<0，.由韋達(dá)定理得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，由（i）中結(jié)論可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其圖象對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.另解：由于雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，如圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作兩漸近線的平行線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，由于點(diǎn)A在雙曲線SKIPIF1<0的右支上，所以直線SKIPIF1<0介于直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間（含SKIPIF1<0軸，不含直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0.同理，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作兩漸近線的平行線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，由于點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上，所以直線SKIPIF1<0介于直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間（不含SKIPIF1<0軸，不含直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0.由（i）中結(jié)論可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<01、（2023·安徽安慶·校考一模）已知橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，上頂點(diǎn)為SKIPIF1<0.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】(1)由焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)可得c和b的值，結(jié)合SKIPIF1<0得到a,從而得到橢圓方程；（2）由點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上和橢圓定義，得到SKIPIF1<0，然后利用余弦定理計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0（2）點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<02、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于不同于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，證明：存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.【分析】（1）由已知可設(shè)，雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，根據(jù)條件列出a，c關(guān)系式，解出代入方程即可；（2）對(duì)直線的斜率能否為0進(jìn)行討論.斜率不為0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關(guān)系時(shí)，在圓錐曲線中常用向量法，化簡(jiǎn)得到m，k的關(guān)系式；斜率不存在時(shí)，寫(xiě)出直線方程，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)殡p曲線SKIPIF1