北師大新版七年級(jí)下學(xué)期《5.2探索軸對(duì)稱的性質(zhì)》同步練習(xí)卷

北師大新版七年級(jí)下學(xué)期《5.2探索軸對(duì)稱的性質(zhì)》

同步練習(xí)卷

填空題（共50小題）

1.如圖，矩形中，A2=2,BC=3,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且/ABE=30°,將△ABE

沿BE翻折，得到BE,連接CA'并延長(zhǎng)，與AD相交于點(diǎn)F,則DF的長(zhǎng)為.

2.如圖，已知RtZXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2心4,點(diǎn)M、N分別在線段

AC,AB±,將△AMI沿直線MV折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在線段3c上，"

OCM為直角三角形時(shí)，折痕MN的長(zhǎng)為.

3.如圖，已知正方形A2C。的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,過點(diǎn)8作BG

LCE于點(diǎn)G,點(diǎn)P是A2邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則尸。+PG的最小值為.

4.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,BC=2如,AC=2,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是邊

AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿。E所在直線把△2OE翻折到△4OE的位置，B'。交A2于點(diǎn)?若

△AB'尸為直角三角形，則AE的長(zhǎng)為

5.如圖，將面積為32我的矩形ABC。沿對(duì)角線8。折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,連接AP

交BC于點(diǎn)、E.若BE=啦,則AP的長(zhǎng)為.

6.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線2。上的

點(diǎn)G處（不與8、。重合），折痕為EF,若DG=2,BG=6,則BE的長(zhǎng)為.

7.如圖，等腰△A8C的底邊BC=20,面積為120,點(diǎn)尸在邊8c上，MBF=3FC,EG是

腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)。在EG上運(yùn)動(dòng)，則△CDF周長(zhǎng)的最小值為.

'E

8.如圖，在菱形ABC。中，tanA=_l,M,N分別在邊AD,BC上,將四邊形AMN2沿MN

3

翻折，使AB的對(duì)應(yīng)線段所經(jīng)過頂點(diǎn)。，當(dāng)跖，時(shí)，型的值為

CN

9.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°，BC=6,CD是斜邊48上的中線，將△BCD沿

直線C。翻折至的位置，連接AE.DE//AC,計(jì)算AE的長(zhǎng)度等于.

10.如圖，在等邊三角形ABC中，42=2/&根，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AB上的

任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B恰好落在等邊三角形ABC

的邊上，則BN的長(zhǎng)為cm.

11.在△ABC中，ZC=90°,8c=3,AB=5,點(diǎn)。在△ABC的邊上，且AZ）=1,WAABC

折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，折痕交邊A8于點(diǎn)E,交另一邊于點(diǎn)尸，則.

12.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=2,AO=3,點(diǎn)E1是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是A。邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△入￡尸沿EF所在直線翻折，得到EF,則A'C的長(zhǎng)的最小值

13.在矩形紙片ABC。中，AD=S,AB=6,E是邊8c上的點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，使點(diǎn)8

落在點(diǎn)尸處，連接尸C,當(dāng)△￡人?為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為.

14.如圖，將nABCO沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，若NA=60°,AD=4,AB=6,則

AE的長(zhǎng)為

D'

15.如圖所示，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,ZVIBE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形A8CZ）內(nèi)，

在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為.

5

16.如圖，在RtZxABC中，ZA=90°,AB=AC,8C=J^1,點(diǎn)M,N分別是邊8C,AB

上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊48,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'始終落在邊AC上，若

C為直角三角形，則8M的長(zhǎng)為.

17.如圖，已知AO〃BC,AB±BC,AB=3,點(diǎn)E為射線2C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將4

ABE沿AE折疊，點(diǎn)2落在點(diǎn)正處，過點(diǎn)3'作的垂線，分別交A。，BC于點(diǎn)M,

N.當(dāng)點(diǎn)2,為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為.

18.如圖，矩形ABC。中，AB=6,8C=8,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE,把沿AE

折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)次處，當(dāng)ACEB'為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為.

19.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,45=10,AC=8,E、尸分別為AB、AC上的點(diǎn),

沿直線跖將N2折疊，使點(diǎn)2恰好落在AC上的。處，當(dāng)△AZ3E恰好為直角三角形時(shí),

BE的長(zhǎng)為

20.如圖，在△A8C中，ZACB=90°,AC=2,8C=4,E為邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，把△AC。沿AD翻折，點(diǎn)C落在C'處，若△AC'E是直角三角形，則CD

的長(zhǎng)為.

21.如圖，矩形A8C。中，AD=4,AB=7,點(diǎn)、E為DC上一動(dòng)點(diǎn)、,△ADE沿AE折疊，點(diǎn)

。落在矩形A8CD內(nèi)一點(diǎn)。'處，若ABCD'為等腰三角形，則。E的長(zhǎng)為.

22.如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=45°,AB=4,點(diǎn)尸為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

PE1AB交AD于點(diǎn)E,沿PE將/A折疊，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接EF、DF、CF,

當(dāng)△C。尸為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為.

23.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZB=90°,AB=2,BC=4.尸為線段8C上的

一動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)2,C不重合，連接B4,過點(diǎn)P作外交所在直線于點(diǎn)E,

將△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，連接AG,若N3AG=90°,則線段BP的長(zhǎng)

為.

24.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,48=5,AC=3,點(diǎn)。是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)

AD,將△AC。沿AQ折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C',連結(jié)C'D交AB于點(diǎn)E,連結(jié)8C'.當(dāng)

ABC'。是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為.

25.如圖，矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點(diǎn)尸為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△AB歹沿AF

折疊.當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)次落在矩形A2C。的對(duì)稱軸上時(shí)，則8尸的長(zhǎng)為.

26.如圖，已知△A8C中，ZB=90°,BC=3,AB=4,。是邊A8上一點(diǎn)，DE//BC交

AC于點(diǎn)E,將△&￡)￡沿。E翻折得到DE,若封EC是直角三角形，則A。長(zhǎng)

為.

27.如圖，矩形A8CD中，AB=2,4。=4,點(diǎn)E在邊3c上，把△OEC沿。E翻折后，點(diǎn)

C落在C'處.若△ABC'恰為等腰三角形，則CE的長(zhǎng)為

28.已知在矩形ABC。中，AB=6,BC=10,沿著過矩形頂點(diǎn)的一條直線將折疊，使點(diǎn)

8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕落在矩形的邊上，則折痕長(zhǎng)為.

29.如圖，在矩形ABC。中，42=6,2C=8,點(diǎn)E在邊上（E不與2,C重合），連接

AE,把△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)3落在點(diǎn)9處，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則△CE8'

的周長(zhǎng)為.

30.如圖，在矩形中，AB：8c=3：5,點(diǎn)E是對(duì)角線3。上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,D

重合），將矩形沿過點(diǎn)E的直線MN折疊，使得點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G,F分別在直線AD

與2C上，當(dāng)△￡）斯為直角三角形時(shí)，CN：BN的值為.

31.如圖，等邊三角形ABC中，A8=8,8O_LAC于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分別是BC、ZJC上的動(dòng)

點(diǎn)，沿所所在直線折疊△（?￡/,使點(diǎn)C落在3。上的點(diǎn)C'處，當(dāng)△BEC'是直角三角

形時(shí)，8C'的值為.

32.已知△ABC中，AC=2,NC=30°,點(diǎn)加為邊AC中點(diǎn)，把△2CM沿中線3M對(duì)折后

與重疊部分的面積為原△ABC面積的工，則原△ABC的面積是.

4

33.如圖，在RZXABC中，ZACB=90°,ZABC=6Q°,AB=4,點(diǎn)。是BC上一動(dòng)點(diǎn)，

以為邊在BC的右側(cè)作等邊△瓦汨，尸是。E的中點(diǎn)，連結(jié)AF,CF,則AP+CF的最

小值是_______

34.如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在8。邊上的點(diǎn)E處.若BC=10,BE

=2,則AB2-AC2的值為.

35.如圖，在銳角△ABC中，AB=5圾,ZBAC=45°,N84C的平分線交2C于點(diǎn)。，M,

N分別是A。，A8上的動(dòng)點(diǎn)，則8M+MN的最小值是.

36.如圖，點(diǎn)尸在平行四邊形ABCD的邊BC上，將沿直線AP翻折，點(diǎn)2恰好落在

邊A。的垂直平分線上，如果AB=5,AD=8,tanB=_l,那么3P的長(zhǎng)為.

37.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)3重合），沿。E翻折△OBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，連接

AF,則線段AF長(zhǎng)的最小值為

38.如圖，矩形ABC。中，A3=4,AD=6,點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連接EP,將沿PE折疊得到△■FPE,連接CE,CF,當(dāng)△￡（手為直角三角形時(shí)，

AP的長(zhǎng)為.

39.如圖，在矩形4BCD中，AB=5,8c=3,點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE

折疊，得到△AB'E.若V恰好落在射線CD上，則BE的長(zhǎng)為

40.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,AC=3,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿QE所在直線把△BDE翻折到△夕的位置，B'。交A8于點(diǎn)R

若△A"尸為直角三角形，則AE的長(zhǎng)為.

41.在RtZ\ABC中，BC=3,AC=4,點(diǎn)。，E是線段AB,AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B,

C重合）沿DE翻折使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠恰好落在直線BC上,當(dāng)DF與RTAABC

的一條邊垂直的時(shí)候，線段的長(zhǎng)為

A

42.如圖，正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)E是8c的四等分點(diǎn)，連接AE,將AABE沿AE

折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處,則sinZC￡F=.

43.如圖，在矩形A2CZ）中，AB=5,A￡>=9,點(diǎn)P為邊上點(diǎn)，沿BP折疊△A8P,點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡,若點(diǎn)E到矩形兩條較長(zhǎng)邊的距離之比為1：4,則AP的長(zhǎng)為.

AD

B'--------1

44.如圖，矩形ABC。中，A￡>=5,AB=4,點(diǎn)E為。C上一動(dòng)點(diǎn)，把△AOE沿AE折疊,

點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。'，連接。，當(dāng)C是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為.

45.如圖，已知矩形紙片ABCD,4B=4,BC=10,M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線84-A。

運(yùn)動(dòng)，以MP為折痕將矩形紙片向右翻折，使點(diǎn)B落在矩形的邊上，則折痕MP的

46.如圖，正方形48C。的邊長(zhǎng)是2,點(diǎn)E是C￡>邊的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是邊2C上不與點(diǎn)2,C

重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把NC沿直線所折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)。處.當(dāng)△AOC'為等腰三角

形時(shí)，PC的長(zhǎng)為.

47.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(7,0),B(0,4),C(7,4),連接AC,8C得

到矩形A08C,點(diǎn)。在邊上，將邊沿。。折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8',若點(diǎn)B'

到矩形較長(zhǎng)兩對(duì)邊的距離之比為1：3,則.

48.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)E,尸分別為48,AC上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以為軸將△AEE折疊得到△￡>￡/,使點(diǎn)。落在8C上，當(dāng)ABDE為

直角三角形時(shí)，8E的值為.

49.如圖，在A8C中，AB=AC=642>ZBAC=90°,點(diǎn)。、E為8C邊上的兩點(diǎn)，分別

沿A。、AE折疊，B、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)R若。E=5,則A。的長(zhǎng)為.

50.已知，在中，ZC=90°,AC=15,8c=8,。為A8的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AC

上，將△BZ5E沿。E折疊得到△B1DE,若△SOE與△AZJE重疊部分面積為△ADE面積

的一半，則CE=

北師大新版七年級(jí)下學(xué)期《5.2探索軸對(duì)稱的性質(zhì)》2019

年同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

填空題（共50小題）

1.如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且NABE=30°,將△ABE

沿BE翻折，得到△&'BE,連接CA'并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)R則￡＞尸的長(zhǎng)為6-

2A/3_.

【分析】如圖作A'”_LBC于H.由△CJDPSZ\A'HC,可得"■=一旦”延長(zhǎng)構(gòu)建方

CHA'H

程即可解決問題；

【解答】解：如圖作A'H_L8C于H.

A豆FED

B項(xiàng)c

VZABC=90°,ZABE^ZEBA'=30°,

.'./A'BH=30°,

.?.A7H=1-BA'=1,BH=Jy['H=yf3,

2

:.CH=3-、后,

■:XCDfsXNHC,

?DF=CD

"CHh'H'

?DF=2

.'W丁

:卅=6-2如,

故答案為6-2M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)、相似三

角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問

題，屬于中考常考題型.

2.如圖，已知RtZkABC中，ZB=90°,NA=60°,4。=2/5+4,點(diǎn)、M、N分別在線段

AC、AB上，將沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在線段BC上，當(dāng)A

0cM為直角三角形時(shí)，折痕MN的長(zhǎng)為__組|正近_.

3

【分析】依據(jù)△OCM為直角三角形，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)NCZMf=90°時(shí)，△

COM是直角三角形；當(dāng)/CMC=90°時(shí)，△CZJM是直角三角形，分別依據(jù)含30°角的

直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕MN的長(zhǎng).

【解答】解：分兩種情況：

①如圖，當(dāng)NCZ)M=90°時(shí)，△CNW是直角三角形，

:在RtZXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2后4,

.?.NC=30°,AB=Lc=我+2,

2

由折疊可得，ZMDN=ZA=60°,

:.NBDN=30°,

:.BN=lj)N=l~AN,

22

:.BN=UB=M+2,

33

/.AN=2BN=2'J3+4,

3

?：/DNB=60°,

：.ZANM=ZDNM=60°,

/.ZAMN^60°,

:.AN=MN=2?+4；

3

②如圖，當(dāng)/。0。=90°時(shí)，△CAM是直角三角形,

由題可得，ZCDM^60°,ZA=ZMDN^60°,

：.ZBDN=6Q°,NBND=3Q°,

又?.,48=北+2,

：.AN=2,BN=北,

過N作NHL4M于H,則/ANH=30°,

：.AH=1AN=1,HN=yJs，

2

由折疊可得，/AMN=/DMN=45°,

4MNH是等腰直角三角形，

:.HM=HN=M，

:.MN=K

故答案為：2獨(dú)+4或泥.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是

解題的關(guān)鍵.折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

3.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)￡是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,過點(diǎn)2作BG

LCE于點(diǎn)G,點(diǎn)尸是邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PG的最小值為」舊-2_

【分析】作OC關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)。'C,以8C中的O為圓心作半圓。，連。'。分

別交48及半圓。于P、G.將PD+PG轉(zhuǎn)化為G找到最小值.

取點(diǎn)。關(guān)于直線4B的對(duì)稱點(diǎn).以8C中點(diǎn)。為圓心，。8為半徑畫半圓.

連接0。'交AB于點(diǎn)P,交半圓。于點(diǎn)G,連BG.連CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E.

由以上作圖可知，8G_LEC于G.

PD+PG=PD'+PG=D'G

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PD+PG最小.

,:D'C=4,0C=6

:'D0=V42+62=2A/13

：.D'G=2A/13-2

：.PD+PG的最小值為2Ji互-2

故答案為：2標(biāo)-2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段和的最小值問題，通常思想是將線段之和轉(zhuǎn)化為固定兩點(diǎn)之間的

線段和最短.

4.如圖，在中，NC=90°,8C=2?,AC=2,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊

A3上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把△瓦汨翻折到AB'OE的位置，B'D交AB于點(diǎn)F.若

AAB'歹為直角三角形，則AE的長(zhǎng)為3或兇.

5—

【分析】利用三角函數(shù)的定義得到乙8=30°,AB=4,再利用折疊的性質(zhì)得。B=OC=

如,EB'=EB,ZDB'E=/B=30°,設(shè)AE=尤，則2E=4-x,EB'=4-x,討論：

當(dāng)/AFB'=90°時(shí)，貝1]，8/=必0$30°=3,則EF=W-(4-x)=x-反，于是在

222

RtABzEF中利用EB'=2EP得到4-尤=2(x-3),解方程求出x得到此時(shí)AE的長(zhǎng)；

2

若B'不落在C點(diǎn)處，作EH_LAB'于H,連接A。，如圖，證明Rt^AZJB'^RtAADC

得到AB=AC=2,再計(jì)算出NEB'H=60：則4H=±(4-x),E7/=1(4-x),

22

接著利用勾股定理得到工(4-x)2+[1(4-尤)+2/=，，方程求出》得到此時(shí)AE的長(zhǎng).

42

【解答】解：VZC=90°,BC=2yf3,AC=2,

.'.tanB=也=—^—=2^,

BC2V33

；./8=30°,

：.AB=2AC=4,

?/點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，沿DE所在直線把翻折到AB'DE的位置，B'D交AB于

點(diǎn)、F

:.DB=DC=如,EB'=EB,ZDB'E=ZB=30°,

設(shè)AE=x,貝ij8E=4-x,EB'=4-x,

當(dāng)NAF夕=90°時(shí)，

在RtZXB。尸中，cosB=里，

BD

.*.BF=A/3COS30°=-5-,

'.EF—--(4-x)=x-且

22

在RtZ\B'EE中，'：ZEB'F=30°,

：.EB'=2EF,

即4-x=2(x-旦)，解得x=3,此時(shí)AE為3；

2

若夕不落在C點(diǎn)處，作于H,連接A。，如圖，

,:DC=DB',AD=AD,

J.RtAADB'^RtAADC,

：.AB'=AC=2,

VZAB'E=NAB'F+ZEB'尸=90°+30°=120°,

：.ZEB'H=60°,

在RtzXE/ffi'中，B'H=XB,￡=工(4-尤)，EH^JSB'(4-x),

222

在RtAAEH中，,/EH2+AH2=AE1,

(4-x)2+[l-(4-x)+2]2=X2,解得X=JA,此時(shí)AE為更.

4255

綜上所述，AE的長(zhǎng)為3或旦.

5

故答案為3或兇.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了含30度的直角三角形三

邊的關(guān)系和勾股定理.

5.如圖，將面積為32、歷的矩形488沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,連接AP

交BC于點(diǎn)、E.若BE=?,則AP的長(zhǎng)為_上回

3-

【分析】設(shè)AB=Q,AD=b,則次?=32構(gòu)建方程組求出〃、匕即可解決問題;

【解答】解：設(shè)AD=b,貝6=32加,

由△ABE's△DAB可得：巫=酗,

ABAD

2

/.cP—64,

.,.a=4,Z?=8A/2>

設(shè)外交8D于。.

5D22=12>

在RtZvlB。中，=^AB+AD

...QP=QA=AB"AD=竺工,

BD3

3

故答案為使企.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，在菱形ABC。中，ZABC=120°,將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線2。上的

點(diǎn)G處（不與8、。重合），折痕為ER若DG=2,BG=6,則BE的長(zhǎng)為2.8.

【分析】作于〃，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=EA,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角

形的判定定理得到△ABO為等邊三角形，得到A8=8。，根據(jù)勾股定理列出方程，解方

程即可.

【解答】解：作EHA.BD于H,

由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA,

由題意得，BD=DG+BG=8,

:四邊形ABC。是菱形,

：.AD=AB,ZABD^XCBD^LZABC^60°,

2

△AB。為等邊三角形，

：.AB^BD^S,

設(shè)BE=x,貝ljEG=AE=S-x,

在RtZ^EHB中，BH=hc,EH=^ix,

22_

在RtZ\EHG中，EG2=EH1+GH2,即(8-x)2=(2^)2+(6-Xc)2

22

解得，尤=2.8,即BE=2.8,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握

翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)

角相等是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，等腰△ABC的底邊8C=20,面積為120,點(diǎn)尸在邊2C上，且3尸=3%,EG是

腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)。在EG上運(yùn)動(dòng)，則△CDC周長(zhǎng)的最小值為點(diǎn).

'E

【分析】如圖作AH_LBC于H,連接AD由EG垂直平分線段AC,推出D4=DC,推

出。F+OC=AO+Z)E可得當(dāng)A、D、尸共線時(shí)，。尸+OC的值最小，最小值就是線段AF

的長(zhǎng)；

【解答】解：如圖作AXL2C于〃，連接AD

4

TEG垂直平分線段AC,

：.DA=DC,

：.DF+DC=AD+DF,

???當(dāng)A、D、b共線時(shí)，?；?OC的值最小，最小值就是線段Ab的長(zhǎng)，

???L?3C?AH=120,

2

：.AH=12,

9

：AB=AC,AH±BCf

:?BH=CH=10,

?:BF=3FC,

:?CF=FH=5,

,AF=VAH2+HF2=V122+52=13,

.?.Z)F+nC的最小值為13.

...△CO/周長(zhǎng)的最小值為13+5=18；

故答案為18.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱，解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

8.如圖，在菱形ABC。中，tanA=_l,M,N分別在邊ADBC上,將四邊形AMN2沿MN

3

翻折，使AB的對(duì)應(yīng)線段￡廠經(jīng)過頂點(diǎn)。，當(dāng)EBLA。時(shí)，現(xiàn)的值為2.

CN一「

【分析】首先延長(zhǎng)NF與。C交于點(diǎn)”，進(jìn)而利用翻折變換的性質(zhì)得出NH_LZ)C,再利用

邊角關(guān)系得出BN,CN的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案.

【解答】解：延長(zhǎng)NF與。C交于點(diǎn)反，

VZADF=90°,

：.ZA+ZFDH=9Q°,

VZDFN+ZDFH^180°,ZA+ZB=180°,NB=NDFN,

NA=/DFH,

：.ZFDH+ZDFH=90°,

：.NH±DC,

設(shè)。M=4左，DE=3k,EM=5k,

：.AD=9k^DC,DF=6k,

tanA=tanZDFH=

3

則sin/DFH=a,

5

：.DH=i-DF=2iji,

55

:.CH=9k-0=0,

55

*/cosC=cosA=^1=—,

NC5

：.CN=^-CH=lk,

3

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及解直角三角形，正確表示出CN的長(zhǎng)是解

題關(guān)鍵.

9.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,BC=6,CD是斜邊A2上的中線，將△BCD沿

直線C。翻折至△EC。的位置，連接AE.DE//AC,計(jì)算AE的長(zhǎng)度等于—2如_.

【分析】根據(jù)題意、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、翻折變化可以求得AE的長(zhǎng).

【解答】解：由題意可得,

DE=DB=CD=1AB,

2

ZDEC=ZDCE=ZDCB,

'：DE//AC,ZDCE^ZDCB,90°,

:./DEC=ZACE,

：.NDCE=ZACE^NDCB=30°,

ZACD=60°,ZCAD=60°,

△AC。是等邊三角形，

：.AC^CD,

J.AC^DE,

'：AC//DE,AC=CD,

四邊形ACDE是菱形，

?.?在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=6,ZB=30°,

*'"AC=2,^3，

：.AE=2M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變化、平行線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)

鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.如圖，在等邊三角形ABC中，A8=2小機(jī)，點(diǎn)M為邊8c的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊上的

任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），若點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)g恰好落在等邊三角形ABC

的邊上，則BN的長(zhǎng)為—空或爽」

【分析】如圖1,當(dāng)點(diǎn)8關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)8恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上

時(shí)，于是得到MNLAB,,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到=AC=BC,ZABC^

60°,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到如圖2,當(dāng)點(diǎn)3關(guān)于直線MN的對(duì)稱

22

點(diǎn)8’恰好落在等邊三角形A8C的邊A,C上時(shí)，則MN_LB8',四邊形8MN是菱形,

根據(jù)線段中點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖1,當(dāng)點(diǎn)8關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)8恰好落在等邊三角形ABC的邊

上時(shí)，

貝!|MN_LAB,BN=BN',

,/AABC是等邊三角形，

：.AB=AC^BC,NA3C=60°,

?..點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，

BM=1-BC=IAB=-Js，

22

:.BN=LBM=^-,

22

如圖2,當(dāng)點(diǎn)8關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)⑶恰好落在等邊三角形ABC的邊A,C上時(shí)，

則MN_L88'，四邊形8MB'N是菱形，

?.?/A8C=60°,點(diǎn)〃為邊8C的中點(diǎn)，

/.BN=BM=1_2C=工48=J5，

22

故答案為：亨或立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，分類討論

是解題的關(guān)鍵.

11.在△ABC中，NC=90°,BC=3,AB=5,點(diǎn)。在△ABC的邊上，且AD=1,將△ABC

折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕交邊AB于點(diǎn)E,交另一邊于點(diǎn)F,則BE=2或型.

7-

【分析】分兩種情況：①。在A8邊上，易得BE=DE=LBD=2；②。在AC邊上，根

2

據(jù)角平分線的性質(zhì)可求

【解答】解：分兩種情況：

①。在AB邊上，如圖1.

?..將△ABC折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，折痕交邊AB于點(diǎn)E,交另一邊于點(diǎn)F,

;.BE=DE=LBD,

2

VAB=5,AD=1,

；.BD=AB-AD=5-1=4,

：.BE=2；

②。在AC邊上，如圖2.

?.?在△ABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,

AAC=VAB2-BC2=4,

VA￡>=1,

；。=3,

：.BC=CD=3,

?.?將△ABC折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，折痕交邊AB于點(diǎn)E,交另一邊于點(diǎn)尸,

；.C與"重合,

/BCE=ZDCE,

?BE=BC；

"AE而‘

?BE=3

5-BE丁

解得BE=1^-.

7

故答案為2或逝.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了勾股定理以及角平分線

的性質(zhì).進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在矩形紙片A2CZ）中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是A。邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將斯沿斯所在直線翻折，得到△&'跖,則A'C的長(zhǎng)的最小值是_近5

-1

【分析】以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)A'在線段CE上時(shí)，A'

C的長(zhǎng)取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知A'E=l,在Rt^BCE中利用勾股定理可求出CE

的長(zhǎng)度，用CE-A'E即可求出結(jié)論.

【解答】解：以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)A'在線段CE上時(shí)，

A'C的長(zhǎng)取最小值，如圖所示.

根據(jù)折疊可知：A'E=AE=LAB=\.

2

在Rt/XBCE中，BE=LAB=\,8C=3,ZB=90°,

2

,C￡=VBE2+BC2=

.?.A'C的最小值=?！?1￡=V10-1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出A'C取最

小值時(shí)點(diǎn)4的位置是解題的關(guān)鍵.

13.在矩形紙片ABCD中，AD=8,AB=6,E是邊8C上的點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，使點(diǎn)B

落在點(diǎn)F處，連接尸C,當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，8E的長(zhǎng)為3或6.

【分析】由AD=8、A2=6結(jié)合矩形的性質(zhì)可得出AC=10,△斯C為直角三角形分兩種

情況：①當(dāng)NEPC=90°時(shí)，可得出AE平分NBAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出理=

6

8-BE,解之即可得出BE的長(zhǎng)度；②當(dāng)NFEC=90°時(shí)，可得出四邊形為正方形,

10

根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出BE的長(zhǎng)度.

【解答】解：；AO=8,AB=6,四邊形ABC。為矩形，

.?.BC=AD=8,ZB=90°,

?■-AC=VAB2+BC2=1°-

△EFC為直角三角形分兩種情況：

①當(dāng)/￡7(=90°時(shí)，如圖1所示.

VZAFE=ZB=90°,/EFC=9Q°,

點(diǎn)尸在對(duì)角線AC上，

平分/BAC,

?BE_ECpnBE—8-BE

ABAC610

：.BE=3；

②當(dāng)NFEC=90°時(shí)，如圖2所示.

VZFEC=90°,

：.ZFEB=90°,

ZAEF=ZBEA=45°,

???四邊形ABE尸為正方形，

:?BE=AB=6.

綜上所述：BE的長(zhǎng)為3或6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以

及勾股定理，分NEPC=90°和/FEC=90°兩種情況尋找BE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，將口48。沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，若NA=60°,AD=4,AB=6,則

AE的長(zhǎng)為11.

—4―

【分析】過點(diǎn)C作CGLAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,易證△?CF^^ECB(ASA),從而可知

D'F=EB,CF=CE,設(shè)AE=x,在ACEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值.

【解答】解：過點(diǎn)C作CGUB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

^ABCD中，

ZD=ZEBC,AD=BC,NA=NDCB,

由于口ABC。沿EF對(duì)折，

/.ZD'=/D=/EBC,ND'CE=NA=NDCB,

D'C=AD=BC,

：.AD'CF+ZFCE=ZFCE+ZECB,

AZD'CF=/ECB,

在△?C尸與△ECB中，

'NX=ZEBC

，D'C=BC

,/D‘CF=ZECB

：./\D'CF/AECB(ASA)

：,D'F=EB,CF=CE,

?：DF=D'F,

：.DF=EB,AE=CF

設(shè)AE=x,

貝I]￡B=6-x,CF=x,

：BC=4,ZCBG=60°,

.?.26=n。=2,

2

由勾股定理可知：CG=2日，

；.EG=EB+BG=6-x+2=8-x

在△CEG中，

由勾股定理可知：（8-x）2+2=，，

解得：

4

故答案為：11

4

D'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是證明△￡>'CF咨4ECB,然后

利用勾股定理列出方程，本題屬于中等題型.

15.如圖所示，正方形A2CD的邊長(zhǎng)為6,△回￡是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABC。內(nèi)，

在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)尸，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為6.

【分析】由于點(diǎn)8與。關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接8。，交AC于尸點(diǎn).此時(shí)PD+PE的最

小值=BE,而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB,由正方形48CD的邊長(zhǎng)為6,可求出A8

的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)3E與AC交于點(diǎn)P,連接8。，

:點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，

：.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最〃、.

即尸在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小,為BE的長(zhǎng)度;

,/正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,

.'.AB=6.

又???△A8E是等邊三角形，

；.BE=AB=6.

故所求最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，要靈活運(yùn)用對(duì)稱性解決此類問題.

16.如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°，AB=AC,BC=y[^l,點(diǎn)、M,N分別是邊8C,AB

上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在的直線折疊使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'始終落在邊AC上，若△MB'

C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為—1叵與1

_2

，B'與A重合，M是的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論;

②如圖2,當(dāng)/MB'C=90°,推出△CM夕是等腰直角三角形，得到,

列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：①如圖1,

當(dāng)/B'MC=90°,B'與A重合，〃是BC的中點(diǎn),

BM=LBC=kJo+L；

222

②如圖2,當(dāng)NMB'C=90°,

VZA=90°,AB=AC,

AZC=45°,

：.^CMB'是等腰直角三角形，

：.CM=y/2MB',

:沿MN所在的直線折疊N8,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕，

：.BM=B'M,

"：BC=yp2+1,

：.CM+BM=y[2BM+BM=1，

綜上所述，若△MBC為直角三角形，則的長(zhǎng)為上正+2?或1,

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是

解題的關(guān)鍵.

17.如圖，已知A￡)〃8C,ABLBC,A8=3,點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,將4

ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，過點(diǎn)作的垂線，分別交A。，BC于點(diǎn)

N.當(dāng)點(diǎn)次為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，8E的長(zhǎng)為_之畫或必區(qū)_.

【分析】根據(jù)勾股定理，可得EB',根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股

定理，可得答案.

由翻折的性質(zhì)，得

AB=AB',BE=B'E.

①當(dāng)MB'=2,B'N=1時(shí)，設(shè)EN=x,得

B'"G+r

△B'ENsAAB'M,

EN=B'E即x_=4x2+l

PTAB，，7-3~

△2'ENsAAB'M,

EN=B'E即壬=夕+4

B'MAB，，T-3一，

解得/=/BE=B'E=^L+4=^1