遼寧省沈陽市重點學校聯(lián)合體2023-2024學年高二數(shù)學上學期期末考試含解析

Page1（滿分：150分考試時間：120分鐘）注意事項：1．答題時，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．答非選擇題時，必須使用黑色墨水筆或黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效．4．考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1．橢圓的短軸長為（）A．B．C．3D．62．的展開式中含的項是（）A．B．C．D．3．在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則的值為（）A．B．C．10D．134．電腦調色板有紅、綠、藍三種基本顏色，每種顏色的色號均為0～255．在電腦上繪畫時，可以分別從這三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，則可配成的不同顏色種數(shù)為（）A．種B．27種C．種D．6種5．若雙曲線上一點到其右焦點的距離是8，則點到其左焦點的距離是（）A．4B．10C．2或10D．4或126．已知（均為有理數(shù)），則的值為（）A．90B．91C．98D．997．已知拋物線，圓，過圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四點，自上而下依次為，若，則的值為（）A．B．C．D．8．將20個無任何區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子內的小球個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法有（）A．90種B．120種C．160種D．190種二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知直線，則（）A．是直線的法向量B．直線的傾斜角為C．直線與直線平行的充要條件是D．直線在兩坐標軸上的截距相等10．在空間直角坐標系中，已知點，則（）A．B．C．異面直線與所成角的余弦值為D．在上的投影的數(shù)量為11．已知，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．12．離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓為頂點，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A．長軸長為4，短軸長為B．C．軸，且D．四邊形的內切圓過焦點第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．圓和圓的位置關系是______．14．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有______種．15．如圖，在正六邊形中，以為焦點，且經過點的雙曲線的離心率______．16．如圖，正方體的棱長為2，P是過頂點的圓上的一點，為的中點．當直線與平面所成的角最大時，點的坐標為______；直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是______．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）（1）已知，計算：；（2）解方程：．18．（12分）如圖，分別是四面體的棱的中點，是的三等分點（點靠近點），記．（1）以為基底表示；（2）若，求．19．（12分）圓內有一點，過點的直線交圓于兩點．（1）當為弦的中點時，求直線的一般式方程；（2）若圓與圓相交于兩點，求的長度．20．（12分）已知的展開式的所有二項式系數(shù)之和為64．（1）求該二項式及其展開式中的常數(shù)項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項．21．（12分）如圖，且且且平面．（1）若為的中點，為的中點，求證：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）若點在線段上，直線與平面所成的角為，求點到平面的距離．22．（12分）已知雙曲線的右焦點為，其漸近線與拋物線：交于點．（1）求雙曲線及拋物線的標準方程；（2）設是雙曲線與拋物線在第一象限的交點，作直線與雙曲線的兩支分別交于點，使得．求證：直線過定點．

2023-2024學年度（上）聯(lián)合體高二期末檢測數(shù)學參考答案及評分標準一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．B【解析】在橢圓中，，所以短軸長為．2．C【解析】的展開式的通項公式為，所以含的項是．3．B【解析】因為，且三點共線，所以，解得．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256種取法，根據分步乘法計數(shù)原理得，共可配成（種）不同的顏色．5．D【解析】由雙曲線的方程可得，所以，可得．設右焦點為，左焦點為．當點在左支上時，則，所以；當點在右支上時，．6．D【解析】因為的展開式的通項公式為，所以．7．A【解析】如圖，圓的圓心為，半徑，且為拋物線的焦點，拋物線的準線方程為．設，則．因為，所以，則．設直線的方程為，顯然，由得，所以，解得．8．B【解析】先在編號為2，3的盒子內分別放入1個，2個球，還剩17個小球，則三個盒子內每個至少再放入1個球．將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒子中即可，不同的放法共有（種）．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9．BD【解析】A：直線的一個法向量為，但與向量不共線，A錯誤；B：直線的斜率為，故傾斜角為，B正確；C：把直線的方程改寫為，則直線，平行的充要條件是，即，C錯誤；D：直線在軸上的截距分別是，D正確．故選：BD．10．AC【解析】A：，所以，A正確；B：，所以，B錯誤；C：，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，C正確；D：，所以在上的投影的數(shù)量為，D錯誤．故選：AC．11．ACD【解析】A：令，得，A正確；B：的展開式的通項為，所以，所以的展開式中項的系數(shù)，B錯誤；C：令，得，C正確；D：令，得．令，得．兩式相減，得，所以，D正確．故選：ACD．12．BD【解析】A：當長軸長為4，短軸長為時，，A不符合題意；B：當時，，即，B符合題意；C：當軸，且時，，且，則，C不符合題意；D：當四邊形的內切圓過焦點時，點到直線的距離為，此時，解得．又，D符合題意．故選：BD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．外切【解析】根據兩圓的方程可知，，所以，所以兩圓外切．14．216【解析】最左端排甲，共有（種）；最左端排乙，最右端不能排甲，有（種），所以不同的排法共有（種）．15．【解析】設正六邊形的半徑為，如圖，連接，則．又，所以．依題意，雙曲線的實軸長，焦距，所以該雙曲線的離心率．16．【解析】過點作的垂線并延長，交于點，易得，所以．由圖可知當點在點的位置時，直線與平面所成的角最大．易得平面的一個法向量為．設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值的最大值為．當平面時，直線與平面所成角的正弦值最小，為0，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是．四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．解：（1）因為，所以，解得，所以．（2）由，得，即，所以，解得（舍去），所以原方程的解為．18．解：（1）．（2），所以．19．解：（1）直線的斜率顯然存在．因為為弦的中點，由垂徑定理得．又因為，所以，故直線的方程為，整理，得直線的一般式方程為．（2）與相減，得，所以直線的方程為．圓心到直線的距離．由垂徑定理得的長度為．20．解：（1）由題意，得，解得，所以該二項式為，則通項公式為：．令，解得，所以該二項式的展開式中的常數(shù)項為．（2）設第項的系數(shù)最大，則解得，則，所以展開式中系數(shù)最大的項為．21．解：（1）法一：如圖1，取的中點為，連接．又因為分別為的中點，所以．因為平面平面，所以平面平面．又因為平面，所以平面平面．因為平面，所以平面．圖1圖2法二：以為坐標原點，建立如圖2的空間直角坐標系，則，．．設平面的法向量為，則令，得．，則，即．又因為直線平面，所以平面．（2）．設平面的法向量為，則令，得．設平面的法向量為，則令，得．設二面角的平面角為，顯然為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為，則二面角的平面角的正弦值為．（3）設，其中，則．平面的一個法向量為．因為直線與平面所成的角為，所以，解得．