五育聯(lián)盟-巔峰計(jì)劃河南省2025屆高三上學(xué)期第一次綜合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

五育聯(lián)盟——巔峰計(jì)劃·河南省2024~2025學(xué)年高三年級(jí)秋季學(xué)期第一次綜合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題*?？荚図樌?是符合題目要求的.a,b的可能取值為()【答案】B【解析】【分析】由乘法運(yùn)算得出a2+b2=25，再由對(duì)稱(chēng)性結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.A.充分非必要條件B.必要非充分條件【答案】A【解析】【分析】利用兩直線(xiàn)垂直可求得m的值，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.23.已知向量=(sinα,2),=(2,sinβ),α>0,β>0,α+β=，則.的最大值為() A.6B.【答案】C【解析】【分析】先利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與三角恒等變換化簡(jiǎn)，再根據(jù)整體角范圍利用正弦函數(shù)圖象求解最值即可.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為2.243【答案】C【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立， 41A.B.C24e【答案】D【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)式斜率公式列式，即可求解.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l分別與曲線(xiàn)y=ex,y=ln(x+a)相切于點(diǎn)A(x1,y1),B6.根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水平的影響，若用Q表示產(chǎn)量，L表示勞動(dòng)投A>0,K>0,L>0,α>1,β>1．當(dāng)A不變，K與L均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，下列說(shuō)法正確的是()A.存在α>2和β>2，使得Q不變B.存在1<α<2和1<β<2，使得Q變?yōu)樵瓉?lái)的2倍C.若α.β=4，則Q最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍222D.若2(α2+β)=αβ,則Q222【答案】D【解析】【分析】由Q=AKαLβ,當(dāng)A不變，K與L均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，Q=A(2K)α(2L)β=AKαLβ.2α+β,然后逐個(gè)分析判斷即可.所以當(dāng)A不變，K與L均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，Q=A(2K)α(2L)β=AKαLβ.2α+β,所以不存在α>2和β>2，使得Q不變，所以A錯(cuò)誤，所以當(dāng)α.β=4時(shí)，Q最少可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，所以C錯(cuò)誤，所以2+≤2，所以若2(α2+β2)=α2β2，則Q最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，所以D正確.②若x≠y，則f(x)≠f(y)．下列說(shuō)法不正確的是()A.f(x)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)B.若f(25)=10，則f(5)=5C.函數(shù)G(x)=f(x+1)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)D.函數(shù)F的圖象與x軸重合【答案】A【解析】2斷C；由F(x)=0判斷D.【詳解】對(duì)于A：不妨設(shè)滿(mǎn)足題設(shè)條件，但此時(shí)f(x)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)，故A錯(cuò) 2【答案】B【解析】【分析】設(shè)A與B中較小角為θ,△ABC斜邊為c，結(jié)合錐體體積公式可用θ與c表示各四面體體積，即可采用作商法結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得到各體積大小關(guān)系.【詳解】不妨設(shè)△ABC中斜邊為c，θ=A≤B，則θ∈,對(duì)折疊后的四面體ABCD，有CD=ccosθ×sinθ=csinθcosθ,AD=ccosθ×cosθ=ccos2θ,BD=csinθ×sinθ=csin2θ,故BG=csinθ×cosθ=csinθcosθ,整理得，又BH=csinθ×cos2csinθ,即V3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助直角三角形的邊與角，結(jié)合錐體體積公式表示出各四面體的體積，再借助作商法比較大小.D.將函數(shù)y=?tanx的圖象向右平移個(gè)單位均可得到函數(shù)y=cotx的圖象【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域判斷A，由誘導(dǎo)公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系判斷B，根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對(duì)所有自然數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)(p,p+2k).其中當(dāng)k=1時(shí)，為“孿生素?cái)?shù)”，k=2時(shí)，稱(chēng)(p,p+4)為“表兄弟素?cái)?shù)”.在不超過(guò)40的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)記事件A,B,C發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),P(C)，則下列關(guān)系式不成立的是()【答案】ABC【解析】各事件定義寫(xiě)出對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)，并求出對(duì)應(yīng)事件的概率，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，不超過(guò)40的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12個(gè)，故選：ABC藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見(jiàn)的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的2x2?y2)是雙紐線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是()【答案】ACD【解析】根據(jù)有界性結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷；選項(xiàng)D，聯(lián)立直線(xiàn)y＝kx與曲線(xiàn)C研究方程根的情況即可.【詳解】A項(xiàng)，設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(x,y)，則坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程，y2即方程(x2y22222即點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(?x,?y)也適合曲線(xiàn)方程，B項(xiàng)，方程(x+y2)x222(y28y2C項(xiàng)，設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)P(x,y)，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)，x2+y2≠0，則由+y2D項(xiàng)，直線(xiàn)y=kx恒過(guò)原點(diǎn)(0,0)，且曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)(0,0)，當(dāng)1?k2=0時(shí)，方程x4=0僅一解x=0，滿(mǎn)足題【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題，通常將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類(lèi)型變形建立不等式，通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍，但也要變形過(guò)程中的等價(jià)處理.如復(fù)合方程通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單方程來(lái)研究時(shí)次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來(lái)研究時(shí)，要注意幾個(gè)低次方程之間的重根討論；分式不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有種.【解析】1對(duì)同色面，當(dāng)只有2對(duì)同色面，當(dāng)3對(duì)面均同色時(shí)三種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】5種顏色涂6個(gè)面，則至少有兩個(gè)故答案為：780四點(diǎn)M,N,P,Q共圓，則圓心坐標(biāo)為.【解析】【分析】由圓心在弦MN,PQ的中垂線(xiàn)上，利用對(duì)稱(chēng)性可得MN中垂線(xiàn)方程，再聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理求出PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得PQ中垂線(xiàn)方程，聯(lián)立兩中垂線(xiàn)方程可得圓心.【詳解】由對(duì)稱(chēng)性可知，圓心在線(xiàn)段MN的中垂線(xiàn)y=?x上，也在線(xiàn)段PQ的中垂線(xiàn)上，設(shè)直線(xiàn)y=?x+1與橢圓C交點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)，22聯(lián)立解得所以所求圓的圓心D為.14.已知f的最小值為.【解析】【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再利用換元法求函數(shù)最值即可.222 15.某公司舉行年終聯(lián)歡活動(dòng)，每位員工可從下表所示兩種方案中選擇一種抽取紅包.一4個(gè)紅包內(nèi)分別裝有現(xiàn)金200元、400元二已知員工甲通過(guò)方案一抽取紅包，員工乙通過(guò)方案二抽取紅包，記甲、乙抽取的紅包總金額分別為X,Y元.（1）求X,Y的分布列；（2）若E(X)=E(Y)，求a的值.（2）500【解析】【分析】（1）依題意可得X的可能取值為600,800,1000,1200,1400，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布（2）記乙抽中a元紅包的次數(shù)為ξ,則ξ~B(4,0.5)，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)求出E(Y)，從而得到方程求解即可.甲通過(guò)方案一抽取紅包，由題意得X的所有可能取值為600,800,1000,1200,1400.所以X的分布列為：XP 16 1613 16 16乙通過(guò)方案二抽取紅包，由題意得Y的所有可能取值為0,a,2a,3a,4a，所以Y的分布列為：Y0aP 1438 14 乙通過(guò)方案二抽取紅包，抽取4次，記抽中a元紅包的次數(shù)為ξ,則Y=aξ,（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC丄平面ABB1A1，求平面ABD與平面BCD夾角的正弦值.【解析】二面角的向量求法可求得結(jié)果.設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為d，AA1=AB，:AE丄A1B，又平面A1BCAA:AE丄平面A1BC，又BC?平面A1BC，:AE丄BC；三棱錐ABC?A1B1C1為直三棱柱，:AA1丄平面ABC，又BC?平面ABC，:AA1丄BC；BA1,AB以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BB1正方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B?xyz，:A1B=3，AA1=AB=“S□A1BC=A1B.BC=×3BC=4，:BC=設(shè)平面ABD與平面BCD夾角為θ,則sinθ= 則平面ABD與平面BCD夾角的正弦值為. （2）27【解析】（2）設(shè)直線(xiàn)BC的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，可知□EBC的面積S=y1?y2，結(jié)合韋達(dá)定理及二所以曲線(xiàn)M的方程為y2=4x設(shè)B(x1,y1)，C(x2,y2)顯然，過(guò)點(diǎn)A(2,1)的直線(xiàn)BC斜率不為0，設(shè)其方程為x=my+2?mm22所以0EBC的面積y1?y2y1? 所以0EBC的面積的最小值為27（1）若b=1，寫(xiě)出曲線(xiàn)y=f(x)與圓C的一條公切線(xiàn)的方程(無(wú)需證明)；（2）若曲線(xiàn)y=f(x)與圓C恰有三條公切線(xiàn).【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出f(x)的(2)(i)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)與圓C公切線(xiàn)l的方程為y=kx圓的切線(xiàn)方程的幾何性質(zhì)得到關(guān)于k的方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為化為討論函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的問(wèn)題.(ii)根據(jù)(i)中構(gòu)造出的函數(shù)，結(jié)合圖象即可證明.設(shè)f(x)的切線(xiàn)的切點(diǎn)為(x0,lnx0)，切線(xiàn)斜率為k=f′lnx0(i)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)與圓C公切線(xiàn)l的方程為y=kx+m(顯然，l斜率存在)，2222,22,2又∵g22222∴存在x1,2,2(2,2(2,∴g(x)最多一個(gè)極值點(diǎn)，不可能有三個(gè)零22【點(diǎn)睛】本題屬于導(dǎo)數(shù)的綜合題，需要利用導(dǎo)數(shù)討掌握利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).就稱(chēng)a為m的倍數(shù)，稱(chēng)m為a的約數(shù).（1）當(dāng)k≥3時(shí)，是否存在a1,a2,…,ak構(gòu)成等比數(shù)列，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出