新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題02 數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）(典型題型歸類訓(xùn)練)（解析版）

專題02數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：累加法 2題型二：累乘法 4三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍一、累加法（疊加法）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式SKIPIF1<0求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0二、累乘法（疊乘法）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)時(shí)，利用SKIPIF1<0求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將上述SKIPIF1<0個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0二、典型題型題型一：累加法例題1．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；【詳解】（1）（法一）由題意知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0符合上式，故SKIPIF1<0.（法二）由題意知，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.例題2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0②,①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0,左右同時(shí)乘以SKIPIF1<0可以得出:SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0應(yīng)用累加法可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0例題3．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．【詳解】由題意得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0個(gè)式子累加得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．題型二：累乘法例題1．（2023秋·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0適合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.例題2．（2023秋·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），整理得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0適合上式，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）.例題3．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，兩式相除得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0；例題4．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），整理得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0適合上式，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）.例題5．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將以上各式相乘可得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立；所以SKIPIF1<0三、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng)是（

）A．第7項(xiàng) B．第9項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第12項(xiàng)【答案】B【詳解】SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將上式累加，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（對(duì)于SKIPIF1<0同樣成立），故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即第九項(xiàng)最大.故選：B.2．（2023秋·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：A3．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：C.4．（2023春·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)滿足SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0，故選：B5．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列SKIPIF1<0為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【答案】B【詳解】因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0是“等比差”數(shù)列，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，累和，得SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，累積，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B6．（2023春·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)），則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A二、填空題7．（2023春·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超過x的最大整數(shù)，則SKIPIF1<0．【答案】1【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0也符合，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：18．（2023春·吉林白城·高二?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），以上各式相乘，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.9．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）若SKIPIF1<0，則通項(xiàng)公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<010．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【詳解】由已知可得，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，兩邊同時(shí)相乘可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足該式，SKIPIF1<0，滿足該式，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.三、解答題11．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上式成立，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，取得最小值，但SKIPIF1<0，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.12．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0也滿足上式，故SKIPIF1<0.13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若數(shù)列{an}滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0