新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題03 平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版

專題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求二面角 2題型二：已知二面角求參數(shù) 4題型三：求二面角最值（范圍） 7三、專項(xiàng)訓(xùn)練 9一、必備秘籍1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0稱為二面角的平面角.2、二面角的范圍：SKIPIF1<03、向量法求二面角平面角（1）如圖①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)面內(nèi)與棱SKIPIF1<0垂直的直線，則二面角的大小SKIPIF1<0．（2）如圖②③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)半平面SKIPIF1<0的法向量，則二面角的大小SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（特別說明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）二、典型題型題型一：求二面角1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱SKIPIF1<0的底面是正方形，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，滿足平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值的大小.4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和SKIPIF1<0個(gè)圓柱拼接而成.SKIPIF1<0在同一平面內(nèi)，且SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）如圖所示，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．題型二：已知二面角求參數(shù)1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)證明：BDSKIPIF1<0CC1；(2)棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0若存在，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.2．（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)SKIPIF1<0繞SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)SKIPIF1<0處，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（如圖2）．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，當(dāng)二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0時(shí)，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．3．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到圖②所示幾何體．(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0；(2)在線段SKIPIF1<0上，是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0的值，如果不存在，說明理由．4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)．5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0垂直于底面SKIPIF1<0.(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.題型三：求二面角最值（范圍）1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0.

(1)證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值的取值范圍.2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0四點(diǎn)共面(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括端點(diǎn)），求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角余弦值的的取值范圍.3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿直線AE折起，使得SKIPIF1<0，如圖（2）.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)已知點(diǎn)H在線段AB上移動(dòng)，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范圍.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23·24高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的正切值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（23·24高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖所示，SKIPIF1<0是棱長(zhǎng)為6的正方體，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0四點(diǎn)共面時(shí)，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成夾角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（23·24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為SKIPIF1<0，則線段BE的長(zhǎng)的最大值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（21·22高二·全國·單元測(cè)試）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角SKIPIF1<0的平面角大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（20·21高一下·湖北·階段練習(xí)）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)D為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)E為SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，當(dāng)二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．3二、填空題6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一個(gè)二面角的棱上有兩點(diǎn)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱SKIPIF1<0，則這個(gè)二面角的大小為.7．（23·24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，已知菱形SKIPIF1<0所在的平面與SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，且SKIPIF1<0．則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值為．

8．（22·23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是側(cè)棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的（銳）二面角為SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)SKIPIF1<0．

9．（23·24高二上·全國·單元測(cè)試）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，當(dāng)二面角SKIPIF1<0的平面角的大小為SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．

三、解答題10．（23·24高三上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值．11．（2023·新疆·三模）如圖，在圓柱體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，劣弧SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0，AB為圓O的直徑．

(1)在弧SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)C（C，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0同側(cè)），使SKIPIF1<0，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．12．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值的最小值.13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，形成幾何體SKIPIF1<0．若無論二面角SKIPIF1<0多大，都能夠使得幾何體SKIPIF1<0為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)F的具體位置（無需給出證明過程）．(2)在（1）的條件下，若二面角SKIPIF1<0為直二面角，求棱臺(tái)SKIPIF1<0的體積，并求出此時(shí)二面角SKIPIF1<0的余弦值．14．（22·23高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到圖②的四棱錐SKIPIF1<0．(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值；(2)設(shè)SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角余弦值的最小值．15．（22·23下·信陽·階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中