新高考數(shù)學二輪復習解答題培優(yōu)練習專題09 數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）(典型題型歸類訓練)（解析版）

專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：通項含絕對值 1題型二：通項含取整函數(shù) 3題型三：通項含自定義符號 4二、專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）專項訓練 5一、典型題型題型一：通項含絕對值如：求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0例題1．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎猄KIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前15項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的前15項和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例題2．（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中校考期中）設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有最小值.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0及前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)設數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因SKIPIF1<0為等差數(shù)列，故SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0有最大值，無最小值不符合題意舍去，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，有最小值滿足題意，SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0題型二：通項含取整函數(shù)如：求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0例題1．（2023·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，且SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超過x的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0；（Ⅱ）求數(shù)列SKIPIF1<0的前1000項和.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0（Ⅱ）1893.試題解析：（Ⅰ）設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，據(jù)已知有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0SKIPIF1<0（Ⅱ）因為SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0例題2．（2023·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)），求數(shù)列SKIPIF1<0的前100項的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)147【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0為正項數(shù)列,所以SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入上式驗證顯然適合，所以SKIPIF1<0.（2）已知SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.題型三：通項含自定義符號如：記SKIPIF1<0表示x的個位數(shù)字，如SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0例題1．（2020秋·廣東廣州·高二西關外國語學校?？计谥校┰OSKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0.數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的個位數(shù)字，如SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前30項的和.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】解：（1）SKIPIF1<0.SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合上式.∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的個位數(shù)，因此SKIPIF1<0均為周期數(shù)列，且周期為5.將數(shù)列SKIPIF1<0中每5個一組，前30項和可分為6組，其前30項的和SKIPIF1<0為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例題2．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谥校┰OSKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；(2)記SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的個位數(shù)字，如SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前20項和.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0也滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前5項依次為1，3，5，7，9.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前5項依次為3，5，7，9，1.易知，數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的周期均為5，SKIPIF1<0的前20項和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.二、專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）專項訓練一、單選題1．（2023秋·江蘇·高二專題練習）設數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0＝（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是等差數(shù)列，首項為4，公差為2．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0.故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習）正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若前三項構成等比數(shù)列且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，則SKIPIF1<0的值為（

）（SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)）.A．4040 B．4041 C．5384 D．5385【答案】C【詳解】依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C二、填空題3．（2023·全國·高三對口高考）已知SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此式不滿足SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，根據(jù)通項公式知，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.三、雙空題4．（2023·全國·高三專題練習）對于數(shù)列SKIPIF1<0，如果存在最小的一個常數(shù)SKIPIF1<0，使得對任意的正整數(shù)恒有SKIPIF1<0成立，則稱數(shù)列SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期數(shù)列.設SKIPIF1<0，數(shù)列前SKIPIF1<0項的和分別記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三者的關系式；已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，那么滿足SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0=.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】(1)因為數(shù)列SKIPIF1<0是周期為SKIPIF1<0的周期數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.(2)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0；滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0不是整數(shù)，舍去.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.四、解答題5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)（如：SKIPIF1<0），求集合SKIPIF1<0中元素的個數(shù)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)36【詳解】（1）設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，依次類推，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于集合中的元素互異，需要減去重復出現(xiàn)的元素，所以集合SKIPIF1<0中元素的個數(shù)為SKIPIF1<0個．6．（2023·全國·高二專題練習）從條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，_____________.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)若選①或②，SKIPIF1<0,；選③，SKIPIF1<0(2)若選①或②，SKIPIF1<0；選③，SKIPIF1<0【詳解】（1）若選①：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為常數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若選②：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0；若選③：由SKIPIF1<0，變形得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等差數(shù)列，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，也滿足上式，所以SKIPIF1<0.（2）若選①或②：由題意，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.若選③：由題意，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.7．（2023·全國·高三專題練習）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知SKIPIF1<0為公差不為零的等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）令SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，求SKIPIF1<0的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【詳解】若選SKIPIF1<0：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0通項SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不妨設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若選SKIPIF1<0：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，通項SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.不妨設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若選SKIPIF1<0：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0通項SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不妨設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中項；（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）設SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中項，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上得：SKIPIF1<0.9．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0【詳解】解：（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，滿足上式，所以SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<010．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國語學校?？茧A段練習）已知數(shù)列SKIPIF1<0是單調遞增的等差數(shù)列，設其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式：(2)定義SKIPIF1<0為不大于SKIPIF1<0的最大整數(shù)，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，……當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.11．（2023春·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0；(2)對于實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)證明見解析，SKIPIF1<0(2)610【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，設其前n項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)定義SKIPIF1<0為不大于x的最大整數(shù)，若等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的公比，求數(shù)列SKIPIF1<0的前15項和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)34【詳解】（1）設等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0①.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②.②－①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，