新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)5-1 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測）（原卷版）

重難點(diǎn)5-1數(shù)列通項(xiàng)公式的求法數(shù)列的通項(xiàng)公式求法是高考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，通常在選擇題、填空題與解答題第一問中考查。難度中等，但有時(shí)在同一個(gè)題目中會(huì)涉及到多種方法綜合性較強(qiáng)?！绢}型1觀察法求通項(xiàng)】滿分技巧已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．【例1】（2023·河北張家口·高三尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是這個(gè)數(shù)列的（）A．第21項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第23項(xiàng)D．第24項(xiàng)【變式1-1】（2023·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列SKIPIF1<0的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-4】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《解析九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第三十六層球的個(gè)數(shù)為（）A．561B．595C．630D．666【題型2由Sn與an關(guān)系求通項(xiàng)】滿分技巧若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與SKIPIF1<0的關(guān)系，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0可用公式SKIPIF1<0構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合為一個(gè)表達(dá)，（要先分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．【例2】（2023·山東濰坊·高三?？计谥校?shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則該數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A．19B．20C．21D．22【變式2-1】（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式2-2】（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0是等比數(shù)列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-3】（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值是．【題型3累加法求通項(xiàng)】滿分技巧適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解【例3】（2023·福建·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則正整數(shù)SKIPIF1<0為（）A．13B．12C．11D．10【變式3-1】（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)校考期中）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式3-3】（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最小值是.【變式3-4】（2023·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則集合SKIPIF1<0中元素的個(gè)數(shù)為.【題型4累乘法求通項(xiàng)】滿分技巧適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列通項(xiàng)公式.【變式4-1】（2023·山東青島·高二青島二中校考階段練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足不等式SKIPIF1<0的最大正整數(shù)SKIPIF1<0為（）A．28B．29C．30D．31【變式4-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2023B．2024C．4045D．4047【變式4-3】（2023·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0的最小正整數(shù)n的值為（）A．4B．5C．6D．7【變式4-4】（2023·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為2，等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【題型5構(gòu)造法求通項(xiàng)】滿分技巧1、形如SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0均為常數(shù)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）型設(shè)SKIPIF1<0，展開移項(xiàng)整理得SKIPIF1<0，與題設(shè)SKIPIF1<0比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0構(gòu)成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．2、形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型（1）當(dāng)SKIPIF1<0為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：設(shè)SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)SKIPIF1<0，通過待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)整理可得SKIPIF1<0法二：當(dāng)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0時(shí)，由遞推式得：SKIPIF1<0—①，SKIPIF1<0，兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0—②，由①②兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為SKIPIF1<0（其中p，q均為常數(shù)）或SKIPIF1<0（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，引入輔助數(shù)列SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），得：SKIPIF1<0?！纠?】（2023·江蘇淮安·盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-1】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-3】（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期中）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0是遞增數(shù)列C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0（1）試求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求SKIPIF1<0.【題型6倒數(shù)法求通項(xiàng)】滿分技巧形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點(diǎn)：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項(xiàng)；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解【例6】（2022·重慶·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-1】（2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2017項(xiàng)和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均為正數(shù)，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-3】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則n的最大值為．【題型7三項(xiàng)遞推法求通項(xiàng)】滿分技巧適用于形如SKIPIF1<0型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列SKIPIF1<0的形式求解．方法為：設(shè)SKIPIF1<0，比較系數(shù)得SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，這樣就化歸為SKIPIF1<0型．【例7】（2023·四川成都·高三成都七中?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．18B．24C．30D．36【變式7-2】（2023·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項(xiàng)和，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求通項(xiàng)SKIPIF1<0.【變式7-4】（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為．【題型8不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)】滿分技巧（1）定義：方程SKIPIF1<0的根稱為函數(shù)SKIPIF1<0的不動(dòng)點(diǎn)．利用函數(shù)SKIPIF1<0的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系SKIPIF1<0所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法．（2）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0已知，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)），=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；=4\*GB3④當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，稱SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的一階特征方程，其根SKIPIF1<0叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0；（3）形如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)SKIPIF1<0，其特征方程為SKIPIF1<0（*）．（1）若方程（*）有二異根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則可令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是待定常數(shù)）．(其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可利用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求得)【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足性質(zhì)：對于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【變式8-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式SKIPIF1<0，且首項(xiàng)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足下列關(guān)系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，則7是這個(gè)數(shù)列的（）A．第21項(xiàng)B．第23項(xiàng)C．第25項(xiàng)D．第27項(xiàng)2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中學(xué)校考期中）設(shè)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．9B．27C．81D．1013．（2023·陜西安康·安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前9項(xiàng)和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．16D．326．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．（2022·高二單元測試）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09．（2023·安徽亳州·高二亳州二中?？计谥校ǘ噙x）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0