考研數(shù)學二（微分中值定理及其應用）模擬試卷1（共180題）

考研數(shù)學二（微分中值定理及其應用）模擬試卷1（共6套）（共180題）考研數(shù)學二（微分中值定理及其應用）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=－1，則x=0A、是f(x)的駐點，且為極大值點．B、是f(x)的駐點，且為極小值點．C、是f(x)的駐點，但不是極值點．D、不是f(x)的駐點．標準答案：C知識點解析：本題應先從x=0是否為駐點入手，即求f’(0)是否為0；若是，再判斷是否為極值點．由=0，從而f(0)=0，f’(0)==－1×0=0可知x=0是f(x)的駐點．再由極限的局部保號性還知，在x=0的某去心鄰域內(nèi)＜0；由于1－cosx＞0，故在此鄰域內(nèi)，當x＜0時f(x)＞0=f(0)，而當x＞0時f(x)＜0=f(0)，可見x=0不是極值點，故選C．2、設f(x)在x=a處連續(xù)，且=2，則f(x)在x=a處A、不可導．B、可導且f’(a)≠0．C、有極大值．D、有極小值．標準答案：D知識點解析：由f(x)在x=a連續(xù)=>=(a)．又根據(jù)極限的保號性，即f(x)－f(a)＞0．因此f(a)為極小值．故選D．3、設f(x)可導，恒正，且0＜a＜x＜b時恒有f(x)＜xf’(x)，則A、bf(a)＞af(b)．B、abf(x)＞x2f(b)．C、af(a)＜xf(x)．D、abf(x)＜x2f(a)．標準答案：C知識點解析：A，B，D分別改寫為因此要考察的單調(diào)性．因為=>A，B，D均不對．選C．或由正值函數(shù)在[a，b]單調(diào)上升=>xf(x)=在[a，b]單調(diào)上升=>C對．選C．4、曲線y=f(x)=的拐點有A、1個．B、2個．C、3個．D、4個．標準答案：B知識點解析：f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)，且在定義域內(nèi)處處連續(xù)．由令f"(x)=0，解得x1=0，x2=2；f"(x)不存在的點是x3=－1，x4=1(也是f(x)的不連續(xù)點)．現(xiàn)列下表：由上表可知，f(x)在x1=0與x2=2的左右鄰域內(nèi)凹凸性不一致，因此它們都是曲線y=f(x)的拐點，故選B．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)5、曲線y=(x2－7)(－∞＜x＜+∞)的拐點是________．標準答案：(0，0)知識點解析：這里y(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，(y’(0)，y"(0)均不)，y(x)在x=0兩側凹凸性相反，(0，0)是拐點．三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)6、求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間、極值點及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點．標準答案：(Ⅰ)定義域x≠±1，間斷點x=±1，零點x=0，且是奇函數(shù)．(Ⅱ)求y’，y"和它們的零點．由y’=0得駐點x=0，；由y"=0得x=0，由這些點及間斷點x=±1把函數(shù)的定義域按自然順序分成．由此可列出函數(shù)如下分段變化表，并標明每個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性及相應的極值點與拐點．因此，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；極大值點是x=，對應的極大值是，極小值點是，對應的極小值是；凸區(qū)間是(－∞，－1)，(0，1)，凹區(qū)間是(－1，0)，(1，+∞)；拐點是(0，0)．知識點解析：暫無解析7、在半徑為a的半球外作一外切圓錐體，要使圓錐體體積最小，問高度及底半徑應是多少?標準答案：設外切圓錐體的底半徑為r，高為h．見圖4．8，記∠ABO=φ，則tanφ=，于是圓錐體體積為求V(r)的最小值點等價于求f(r)=的最小值點．由于因此，當時圓錐體體積最小．知識點解析：暫無解析8、證明函數(shù)f(x)=在(0，+∞)單調(diào)下降．標準答案：f(x)=，則下證2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)＜0(x＞0)．令t=2x，則x＞0時t＞1，2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)=tlnt－(1+t)ln(1+t)g(t)．由于g’(t)=lnt－ln(1+t)＜0(t＞0)=>g(t)在(0，+∞)單調(diào)下降，又=0=>g(t)＜0(t＞0)．知識點解析：暫無解析9、設f(x)分別滿足如下兩個條件中的任何一個：(Ⅰ)f(x)在x=0處三階可導，且=1，則正確的是(Ⅱ)f(x)在x=0鄰域二階可導，f’(0)=0，且(－1)f"(x)－xf’(x)=ex－1，則下列說法正確的是(A)f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點．(B)f(0)是f(x)的極小值．(C)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．(D)f(0)是f(x)的極大值．標準答案：(Ⅰ)由條件=1及f’(x)在x=0連續(xù)即知=f’(0)=0．用洛必達法則得型未定式極限因=f"(0)，若f"(0)≠0，則J=∞與J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f"’(0)的定義得=>f"’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐點．選(C)．(Ⅱ)已知f’(0)=0，現(xiàn)考察f"(0)．由方程得又f"(x)在x=0連續(xù)=>f"(0)=3＞0．因f(0)是f(x)的極小值．應選(B)．知識點解析：暫無解析10、設a＞0，求f(x)=的最值．標準答案：f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)且可寫成如下分段函數(shù)由此得x∈(－∞，0)時f’(x)＞0，故f(x)在(－∞，0]單調(diào)增加；x∈(a，+∞)時f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)單調(diào)減少．從而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(－∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a－x)2－(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(－∞，+∞)的最大值是由于f(x)在(－∞，0)單調(diào)增加，在(a，+∞)單調(diào)減少，又f(x)在[0，a]的最小值=0，因此f(x)在(－∞，+∞)上無最小值．知識點解析：暫無解析11、設f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)內(nèi)f(x)＞0且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲線y=f(x)與直線x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2，求函數(shù)y=f(x)，問a為何值，此圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體體積最小?標準答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．這是求解一階線性方程f’(x)－．兩邊乘積分因子μ=(取其中一個)，得，其中C為任意常數(shù)使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)確定C與a的關系使得由y=f(x)與x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2．由已知條件得2=，則C=4－a．因此，f(x)=ax2+(4－a)x，其中a為任意常數(shù)使得f(x)＞0(x∈(0，1))．a(chǎn)，有f(0)=0，f(1)=．又f’(x)=3ax+4－a，由此易知－8≤a≤4時f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋轉體的體積．(Ⅳ)求V(a)的最小值點，由于則當a=－5時f(x)＞0(x∈(0，1))，旋轉體體積取最小值．知識點解析：暫無解析12、當x≥0，證明∫0x(t－t2)sin2ntdt≤，其中n為自然數(shù)．標準答案：令f(x)=∫0x(t－t2)sin2ntdt，則f(x)在[0，+∞)可導，f’(x)=(x－x2)sin2nx．當0＜x＜1時，f’(x)＞0；當x＞1時，除x=kπ(k=1，2，3，…)的點(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，則f(x)在0≤x≤1單調(diào)上升，在x≥1單調(diào)減小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又當t≥0時sint≤t，于是當x≥0時有f(x)≤f(1)=∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt=知識點解析：暫無解析13、設f(x)在[0，+∞)可導，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求證：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．標準答案：要證f(x)＞0<=>exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可導且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)=>exf(x)在[0，+∞)單調(diào)上升=>exf(x)＞exf(x)｜x=0=0(x＞0)=>f(x)＞0(x＞0)．知識點解析：暫無解析14、求證：(x∈(0，1))．標準答案：改寫右端對f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]區(qū)間用柯西中值定理：注意函數(shù)在(0，1)是單調(diào)減函數(shù)，因為原不等式成立．知識點解析：暫無解析15、設a＞0，b＞0，a≠b，證明下列不等式：(Ⅰ)ap+bp＞21－p(a+b)p(p＞1)；(Ⅱ)ap+6p＜21－p(a+b)p(0＜p＜1)．標準答案：將ap+bp＞21－p(a+b)p改寫成．考察函數(shù)f(x)=xp，x＞0，則f’(x)=pxp－1，f"(x)=p(p－1)xp－2．(Ⅰ)若p＞1，則f"(x)＞0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)為凹函數(shù)，其中t=得：a＞0，b＞0，a≠b，有(Ⅱ)若0＜p＜1，則f"(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)為凸函數(shù)，其中知識點解析：暫無解析16、設f(x)在[a，b]上可導，且f’+(a)＞0，f’－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求證：f’(x)在(a，b)至少有兩個零點．標準答案：f(x)在[a，b]的連續(xù)性，保證在[a，b]上f(x)至少達到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在區(qū)間端點達到，則必在x=a達到．由f(x)的可導性，必有f’+(a)≤0，條件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端點達到．同理可證f(x)的最小值也不能在端點x=a或x=b達到．因此，f(x)在[a，b]的最大值與最小值必在開區(qū)間(a，b)達到，于是最大值點與最小值點均為極值點．又f(x)在[a，b]可導，在極值點處f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有兩個零點．知識點解析：暫無解析17、設a，b，c為實數(shù)，求證：曲線y=ex與y=axx+bx+c的交點不超過三個．標準答案：令f(x)=ex－axx－bx－c，那么問題等價于證明f(x)的零點不超過三個．假設結論不正確，則至少有四個點x1＜x2＜x3＜x4，使得f(xi)=0，i=1，2，3，4．由于f(x)在[x1，x4]上可導，由羅爾定理可知f’(x)在(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)內(nèi)至少各有一個零點ξ1，ξ2，ξ3．又由于f’(x)在[ξ1，ξ3]上可導，由羅爾定理可知f"(x)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)內(nèi)至少各有一個零點η1，η2．同樣地，由于f"(x)在[η1，η2]上可導，由羅爾定理可知f"’(x)在(η1，η2)內(nèi)至少有一個零點ζ．因此至少存在一點ζ∈(－∞，+∞)使得f"’(ζ)=0，而f"’(x)=ex＞0(x∈(－∞，+∞))，這就產(chǎn)生了矛盾．故f(x)的零點不超過三個．知識點解析：暫無解析18、設f(x)在[x1，x2]可導，0＜x1＜x2，證明：ξ∈(x1，x2)使得標準答案：令F(x)=，則f(x)在[x1，x2]可導，又因此，由羅爾定理，ξ∈(x1，x2)，使得即f(ξ)－ξf’(ξ)=1．知識點解析：暫無解析19、求證：方程lnx=在(0，+∞)內(nèi)只有兩個不同的實根．標準答案：即證f(x)=在(0，+∞)只有兩個零點．先考察它的單調(diào)性：由于f(x)在(0，e)與(e，+∞)分別單調(diào)上升與下降，又f(e)=＞0，故只需證明：x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因則x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別只有一個零點，即在(0，+∞)內(nèi)只有兩個零點．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，極值點，凹凸性區(qū)間與拐點．標準答案：定義域：x≠1．=>單調(diào)增區(qū)間(0，1)；單調(diào)減區(qū)間(－∞，0)∪(1，+∞)；極小值點x=0．知識點解析：暫無解析21、證明：arctanx=(x∈(－∞，+∞))．標準答案：令f(x)=arctanx－，則=>f(x)為常數(shù)．又f(0)=0=>f(x)≡0，x∈(－∞，+∞)．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[a，b]連續(xù)，在(a，b)可導，f(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數(shù)，求證：在(a，b)內(nèi)存在一點ξ，使得f’(ξ)＞0．標準答案：若不然=>x∈(a，b)，f’(x)≤0=>f(x)在[a，b]單調(diào)不增=>x∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)=>f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]為常數(shù)，矛盾了．知識點解析：暫無解析23、設當x＞0時，方程kx+=1有且僅有一個解，求k的取值范圍．標準答案：設f(x)=kx+－1，則(Ⅰ)當k≤0時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，又故f(x)此時只有一個零點．(Ⅱ)當k＞0時，由f’(x)=0得x=，由于f"(x)＞0，x=是極小值點，且極小值為當極小值為零時，即當時，有k=，此時方程有且僅有一個根；當k≠時，方程無根或有兩個根．因此，k的取值范圍為k≤0及k=知識點解析：暫無解析24、設f(x)在[1，+∞)可導，[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子區(qū)間上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M為常數(shù)，求證：f(x)＜(x＞1)．標準答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)子區(qū)間上不恒為零，要證f(x)xk+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)xk+1=>F’(x)=xk+1f’(x)+(k+1)xkf(x)=xk[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)子區(qū)間上不恒為零，又F(x)在[1，+∞)連續(xù)=>F(x)在[1，+∞)單調(diào)下降=>F(x)＜F(1)=f(1)≤M(x>1)．知識點解析：暫無解析25、設f(x)在[0，1]可導且f(1)=，求證：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標準答案：令F(x)=f(x)，則F(x)在[0，1]可導，且因此，由羅爾定理，，使得F’(ξ)==0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析26、設f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導數(shù)，且f’(0)=0，f"(0)存在．求證：標準答案：因為ln(1+x)≤x(x∈(－1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得由于當x＞0時，有＜1；當－1＜x＜0時，有1＜，故由夾逼定理知，．于是知識點解析：暫無解析27、(Ⅰ)設f(x)在[x0，x0+δ)((x0－δ，x0])連續(xù)，在(x0，x0+δ)((x0－δ，x0))可導，又，求證：f’+(x0)=A(f’－(x0)=A)．(Ⅱ)設f(x)在(x0－δ，x0+δ)連續(xù)，在(x0－δ，x0+δ)／｛x0｝可導，又=A，求證：f’(x0)=A．(Ⅲ)設f(x)在(a，b)可導，x0∈(a，b)是f’(x)的間斷點，求證：x=x0是f’(x)的第二類間斷點．標準答案：(Ⅰ)f’+(x0)=A．另一類似．(Ⅱ)由題(Ⅰ)=>f’+(x0)=f’－(x0)=A=>f’(x0)=A．或類似題(Ⅰ)，直接證明(Ⅲ)即證中至少有一個不．若它們均存在，，由題(Ⅰ)=>f’±(x0)=A±．因f(x)在x0可導=>A+=A－=f’(x0)=>f’(x)在x=x0連續(xù)，與已知矛盾．因此，x=x0是f’(x)的第二類間斷點．知識點解析：暫無解析28、設f(x)在(－∞，+∞)可導，且=A，求證：c∈(－∞，+∞)，使f’(c)=0．標準答案：由極限不等式性質(zhì)轉化為有限區(qū)間的情形(如圖4．3)．若f(x)≡A，顯然成立．若f(x)≠A，必存在x0，f(x0)≠A，不妨設f(x0)＜A．由極限不等式性質(zhì)，b＞x0，f(b)＞f(x0)；a＜x0，f(a)＞f(x0)．f(x)在[a，b]有最小值，它不能在x=a或a=b處達到，必在(a，b)內(nèi)某點c處達到，于是f’(c)=0．知識點解析：暫無解析29、將長為a的一段鐵絲截成兩段，用一段圍成正方形，另一段圍成圓，為使兩段面積之和最小，問兩段鐵絲各長多少?標準答案：設圍成圓的鐵絲長為x，則圍成正方形的鐵絲長為a－x，于是圓的半徑r=，正方形邊長(a－x)，問題是求面積S(x)=，x∈(0，a)的最小值點．由=>x=時面積和最小．知識點解析：暫無解析30、要建一個圓柱形無蓋水池，使其容積為V0m3．底的單位面積造價是周圍的兩倍，問底半徑r與高h各是多少，才能使水池造價最低?標準答案：先求出水池總造價的表達式．設水池周圍單位面積造價為a元／m2，水池造價為y，則y=2πrha+2aπr2．又知V0=πr2h，代入上式得y=2πa(+r2)，0＜r＜+∞．現(xiàn)求y(r)在(0，+∞)上的最小值點．求y’(r)：因此，當時，y取最小值，即水池造價最低．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（微分中值定理及其應用）模擬試卷第2套一、解答題(本題共30題，每題1.0分，共30分。)1、作函數(shù)y=的圖形．標準答案：定義域：x＞0．(Ⅰ)由由得(Ⅱ)漸近線：只有間斷點x=0．由可知，有垂直漸近線x=0；由可知，有水平漸近線y=0．知識點解析：暫無解析2、設f(x)，g(x)在(a，b)內(nèi)可導，g(x)≠0且(a，b))．證明：存在常數(shù)c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．標準答案：因為所以存在常數(shù)c，使得，即f(x)=cg(x)(∈(a，b))．知識點解析：暫無解析3、證明：arctanx=(x∈(-∞，+∞))．標準答案：令f(x)=arctanx-arcsin，則知識點解析：暫無解析4、設P(x)在[0，+∞)連續(xù)且為負值，y=y(x)在[0，+∞)連續(xù)，在(0，+∞)滿足y’+P(x)y＞0且y(0)≥0，求證：y(x)在[0，+∞)單調(diào)增加．標準答案：由y’+P(x)y＞(x＞0)[e∫0xP(t)dty(x)]’＞0((x＞0)，又e∫0xP(t)dty(x)在[0，+∞)連續(xù)，e∫0xP(t)dty(x)在[0，+∞]單調(diào)e∫0xP(t)dty(x)＞[e∫0xP(t)dty(x)｜x0=y(0)≥0y(x)＞0(x≥0)y’(x)＞-P(x)y(x)＞0(x＞0)y(x)在[0，+∞)單調(diào)增加．知識點解析：暫無解析5、設g(x)在[a，b]連續(xù)，f(x)在[a，b]二階可導，f(a)=f(b)=0，且對(a≤x≤b)滿足f’’(x)+g(x)-f’(x)-f(x)=0．求證：f(x)≡0(x∈[a，b])．標準答案：若f(x)在[a，b]上不恒為零，則f(x)在[a，b]取正的最大值或負的最小值．不妨設f(x0)=f(x)＞0，則x0∈(a，v)且f’(x0)=0，f’’(x0)≤0f’’(x0)+g(x0)f’(x0)-f(x0)＜0與已知條件矛盾．同理，若f(x1)=f(x)＜0，同樣得矛盾．因此f(x)≡0∈[a，b])．知識點解析：暫無解析6、設f(x)在[a，b]連續(xù)，在(a，b)可導，f(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數(shù)，求證：在(a，b)內(nèi)存在一點ξ，使得f’(ξ)＞0．標準答案：若不然∈(a，b)，f’(x)≤0f(x)在[a，b]單調(diào)不增∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]為常數(shù)，矛盾了．知識點解析：暫無解析7、證明方程x=asinx+b(a＞0，b＞0為常數(shù))至少有一個正根不超過a+b．標準答案：考察f(x)=x-asinx-b，即證它在(0，a+b]有零點．顯然，f(x)在[0，a+b]連續(xù)，且f(0)=-b＜0，f(a+b)=a[1-sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，則該方程有正根x=a+b．若f(a+b)＞0，則由連續(xù)函數(shù)零點存在性定理∈(0，a+b)，使得f(c)=0．知識點解析：暫無解析8、求證：ex+e-x+2eosx=5恰有兩個根．標準答案：即證f(x)=ex+e-x+2cosx-5在(-∞，+∞)恰有兩個零點．由于f’(x)=ex-e-x-2sinx，f’’(x)=ex+e-x-2cosx＞2-2cosx≥0(x≠0)，f’(x)在(-∞，+∞)↑．又因f’(0)=0f(x)在(-∞，0]單調(diào)下降，在[0，+∞)單調(diào)上升．又f(0)=-1＜0，=+∞，因此f(x)在(-∞，0)與(0，+∞)各唯一零點，即在(-∞，+∞)恰有兩個零點．知識點解析：暫無解析9、設當x＞0時，方程kx+=1有且僅有一個解，求k的取值范圍．標準答案：設f(x)=kx+-1(x＞0)，則(Ⅰ)當k≤0時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，又故f(x)此時只有一個零點．(Ⅱ)當k＞0時，由f’(x)=0得，由于f’’(x)＞0，x=是極小值點，且極小值為當極小值為零時，即當時，有k=，此時方程有且僅有一個根；當k≠時，方程無根或有兩個根．因此，k的取值范圍為k≤0及k=.知識點解析：暫無解析10、討論曲線y=2lnx與y=2x+ln2x+k在(0，+∞)內(nèi)的交點個數(shù)(其中k為常數(shù))．標準答案：令f(x)=2x+ln2x+k-2lnx(x∈(0，+∞))，于是本題兩曲線交點個數(shù)即為函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．由令g(x)=x+lnx-1令f’(x)=0可解得唯一駐點x0=1∈(0，+∞)．當0＜x＜1時f’(x)＜0，f(x)在(0，1]單調(diào)減少；而當x＞1時f’(x)＞0，f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加．于是f(1)=2+k為f(x)在(0，+∞)內(nèi)唯一的極小值點，且為(0，+∞)上的最小值點．因此f(x)的零點個數(shù)與最小值f(1)=2+k的符號有關．當f(1)＞0即k＞-2時f(x)在(0，+∞)內(nèi)恒為正值函數(shù)，無零點．當f(1)=0即k=-2時f(x)在(0，+∞)內(nèi)只有一個零點x0=1．當f(1)＜0即k＜-2時需進一步考察f(x)在x→0+與x→+∞的極限：由連續(xù)函數(shù)的零點定理可得，x1∈(0，1)與x2∈(1，+∞)使得f(x1)=f(x2)=0，且由f(x)在(0，1)與(1，+∞)內(nèi)單調(diào)可知f(x)在(0，1)內(nèi)與(1，+∞)內(nèi)最多各有一個零點，所以當k＜-2時，f(x)在(0，+∞)內(nèi)恰有兩個零點．知識點解析：暫無解析11、證明：x-x2＜ln(1+x)＜x(＞0)標準答案：(Ⅰ)令F(x)=x-ln(1+x)(x＞0)．又F(0)=0，F(xiàn)(x)在[0，+∞)連續(xù)F(x)在[0，+∞)F(x)＞F(0)=0(＞0)．(Ⅱ)令G(x)=ln(1+x)-x2，則故G(x)在[0，+∞)↑，即有G(x)＞G(0)=0．知識點解析：暫無解析12、設f(x)在[1，+∞)可導，[xf(x)]≤-kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子區(qū)間上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M為常數(shù)，求證：f(x)＜(x＞1)．標準答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)子區(qū)間上不恒為零，要證f(x)xk+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)xk+1F’(x)=xk+1f’(x)+(k+1)xkf(x)=xk[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)子區(qū)間上不恒為零，又F(x)在[1，+∞)連續(xù)F(x)在[1，+∞)單調(diào)下降F(x)＜F(1)=f(1)≤M(x＞1)．知識點解析：暫無解析13、設a＞e，0＜x＜y＜，求證ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．標準答案：把不等式改寫成注意到(ax)’=axlna，(cosx)’=-sinx，而｜sinx｜≤1．對f(t)=at，g(t)=cost，在區(qū)間[x，y]上應用柯西中值定理，即知存在滿足0＜x＜ξ＜y＜的ξ，使得由于ax＜aξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．知識點解析：暫無解析14、設0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可導，證明：在(x1，x2)內(nèi)至少一個c，使得標準答案：記[ex1f(x2)-ex2f(x1)]，要證f’(x)-f(x)+k在(x1，x2)零點e-x[f’(x)-f(x)+k]=[e-x(f(x)-k)]’在(x1，x2)零點．令F(x)=e-x[f(x)-k]，則F(x)在[x1，x2]可導．考察F(x1)-F(x2)=e-x1[f(x1)-k]-e-x2[f(x2)-k]=e-x1-x2[(ex2f(x1)-ex1f(x2))+k(ex1-ex2)]因此，由羅爾定理∈(x1，x2)，F(xiàn)’(c)=0.知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[0，1]可導且f(1)=e1-x2f(x)dx，求證：∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．標準答案：即證f’(x)-2xf(x)在(0，1)存在零點e-x2[f’(x)-2xf(x)]在(0，1)存在零點[e-x2f(x)]’在(0，1)存在零點．作輔助函數(shù)F(x)=e-x2f(x)時，按題設還要找一個η∈(0，1)，使得F(1)=F(η)，即e-1f(1)=e-η2f(η)．由題設及積分中值定理，．使得f(1)=e1-x2f(x)dx=e-η2+1f(η)=e-η2+1f(η)．于是F(1)=F(η)．令F(x)=e-x2f(x)，則F(x)g=[0，1]可導，且F(1)=e-1f(1)=2e-1e1-x2f(x)dx因此，由羅爾定理，∈(0，η)(0，1)，使得F’(ξ)=e-ξ2，f’(ξ)-2ξf(ξ)e-ξ2=0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．知識點解析：暫無解析16、已知以2π為周期的周期函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上有二階導數(shù)，且f(0)=0．設F(x)=(sinx-1)2f(x)，證明使得F’’(x0)=0．標準答案：首先，因f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，則F(x)也必為周期函數(shù)，且周期為2π，于是只需證明，使得F’’(x0*)=0即可．顯然F(0)==0，于是由羅爾定理知，，使得F’(x1)=0．又F’(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)2f’(x)，對F’(x)應用羅爾定理，由于F(x)二階可導，則存在x0*∈，使得F’’(x0*)=0．注意到F(x)以2π為周期，F(xiàn)’(x)與F’’(x)均為以2π為周期的周期函數(shù)，于是x0=2π+x0*，即x0∈，使得F’’(x0)=F’’(x0*)=0．知識點解析：暫無解析17、設b＞a≥0，f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，f(a)≠f(b)，求證：存在ξ，η∈(a，b)使得標準答案：因為f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理條件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，∈(a，b)，使將②式代入①式，即得f’(ξ)=(a+b).知識點解析：暫無解析18、設f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導數(shù)，且f’(0)=0，f’’(0)存在．求證：標準答案：因為ln(1+x)≤x(x∈(-1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得由此可得由于當x＞0時，有；當-1＜x＜0時，有故由夾逼定理知，，于是知識點解析：暫無解析19、設有參數(shù)方程0≤t≤π．(Ⅰ)求證該參數(shù)方程確定y=y(x)，并求定義域；(Ⅱ)討論y=y(x)的可導性與單調(diào)性；(Ⅲ)討論y=y(x)的凹凸性．標準答案：(Ⅰ)=3cos2t(-sint)≤0，(t∈[0，π])，僅當t=0，，π時為零x是t的單調(diào)(減)函數(shù)，反函數(shù)t=t(x)y=sin3t(x)=y(x)，x∈[-1，1]．(Ⅱ)記當t≠0，反函數(shù)t=t(x)可導y=y(x)可導注意y=y(x)在[-1，1]連續(xù)，t與x的對應關系：于是0≤x≤1時y(x)單調(diào)下降，-1≤x≤0時y(x)單調(diào)上升．(Ⅲ)由y=y(x)在[-1，0]，[0，1]均是凹的．y=y(x)的圖形如圖4．2．知識點解析：暫無解析20、設f(x)=nx(1-x)n(n為自然數(shù))，(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)求證：標準答案：(Ⅰ)先求f’(x)=n(1-x)n-1[1-(n+1)x]，得唯一駐點x=xn=.又(Ⅱ)注意單調(diào)下降極限為知識點解析：暫無解析21、(Ⅰ)設f(x)在[x0，x0+δ)((x0-δ，x0])連續(xù)，在(x0，x0+δ)((x0-δ，x0))可導，又，求證：f’+(x0)=A(f’-(x0)=A)．(Ⅱ)設f(x)在(x0-δ，x0+δ)連續(xù)，在(x0-δ，x0+δ)／{x0}可導，又f’(x)=A，求證：f’(x0)=A．(Ⅲ)設f(x)在(a，b)可導，x0∈(a，b)是f’(x)的間斷點，求證：x=x0是f’(x)的第二類間斷點．標準答案：(Ⅰ)f’+(x0)．另一類似．(Ⅱ)由題(Ⅰ)f’+(x0)=f’-(x0)=Af’(x0)=A．或類似題(Ⅰ)，直接證明(Ⅲ)即證f’(x)中至少有一個不．若它們均存在，f’(x)=A±，由題(Ⅰ)f’±(x0)=A±.因f(x)在x0可導A+=A-=f’(x0)f’(x)在x=x0連續(xù)，與已知矛盾．因此，x=x0是f’(x)的第二類間斷點．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在(a，+∞)內(nèi)可導，求證：(Ⅰ)若x0∈(a，+∞)，f’(x)≥a＞0(x＞x0)，則=+∞：(Ⅱ)若=+∞．標準答案：(Ⅰ)＞x0，由拉格朗日中值定理，∈(x0，x)，f(x)=f(x0)+f’(ξ)x-x0))＞f(x0)+α(x-x0)，又因[f(x0)+α(x-x0)]==+∞.(Ⅱ)因，由極限的不等式性質(zhì)x0∈(a，+∞)，當x＞x0時f’(x)＞＞0，由題(Ⅰ)得=+∞.知識點解析：暫無解析23、證明奇次方程a0x2n+1+a1x2n+…+a2x+a2n+1=0一定有實根，其中常數(shù)a0≠0．標準答案：記方程左端為函數(shù)f(x)，設a0＞0，只需證明：=-∞即得結論．不妨設a0＞0．令f(x)=a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1x，則又f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，因此在(-∞，+∞)內(nèi)f(x)至少存在一個零點．知識點解析：暫無解析24、設f(x)在(-∞，+∞)可導，且=A，求證：∈(-∞，+∞)，使得f’(c)=0．標準答案：由極限不等式性質(zhì)轉化為有限區(qū)間的情形(如圖4．3)．若f(x)≡A，顯然成立．若f(x)≠A，必存在x0，f(x0)≠A，不妨設f(x0)＜A．由極限不等式性質(zhì)，＞x0，f(b)＞f(x0)；＜x0，f(a)＞f(x0)．f(x)在[a，b]有最小值，它不能在x=a或x=b處達到，必在(a，b)內(nèi)某點c處達到，于是f’(c)=0．知識點解析：暫無解析25、設(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)證明：x=0是f(x)的極大值點；(Ⅲ)令xn=，考察f’(xn)是正的還是負的，n為非零整數(shù)；(Ⅳ)證明：對，f(x)在(-δ，0]上不單調(diào)上升，在[0，δ]上不單調(diào)下降．標準答案：(Ⅰ)當x≠0時按求導法則得當x=0時按導數(shù)定義得(Ⅱ)由于f(x)-f(0)=-x2＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由極值的定義可知x=0是f(x)的極大值點．(Ⅲ)令xn=(n=±1，±2，±3，…)，則sin=(-1)n，于是f’(xn)=(Ⅳ)對＞0，當n為負奇數(shù)且｜n｜充分大時xn∈(-δ，0)，f’(xn)＜0f(x)在(-δ，0)不單調(diào)上升；當n為正偶數(shù)且n充分大時xn∈(0，δ)，f’(xn)＞0f(x)在(0，δ)不單調(diào)下降．知識點解析：暫無解析26、求函數(shù)f(x)=(x∈(-∞，+∞))的最小值．標準答案：先求導數(shù)并得駐點．由f’(x)=0即再求由于f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導，且有唯一的極小值點x=，因而必是最小值點，f(x)的最小值為.知識點解析：暫無解析27、將長為a的一段鐵絲截成兩段，用一段圍成正方形，另一段圍成圓，為使兩段面積之和最小，問兩段鐵絲各長多少?標準答案：設圍成圓的鐵絲長為x，則圍成正方形的鐵絲長為a-x，于是圓的半徑r=，正方形邊長(a-x)，問題是求面積S(x)=，x∈(0，a)的最小值點．由時面積和最小．知識點解析：暫無解析28、求從點A(10，0)到拋物線y2=4x的最短距離．標準答案：拋物線上點到A(10，0)的距離的平方(如圖4．4)為d(y)=+y2．問題是求d(y)在[0，+∞)上的最小值(d(y)在(-∞，+∞)為偶函數(shù))．由于在(0，+∞)解d’(y)=0得于是=36，d(0)=100.又在[0，+∞)的最小值為36，即最短距離為6．知識點解析：暫無解析29、求圓x2+y2=1的一條切線，使此切線與拋物線y=x2-2所圍面積取最小值，并求此最小值．標準答案：如圖4．5，圓周的參數(shù)方程為x=cosθ，y=sinθ．圓周上點(cosθ，sinθ)處切線的斜率是，于是切線方程是它與y=x2-2交點的橫坐標較小者為α，較大者為β，則α，β是方程x2+xcotθ-2-=0的根，并且切線與拋物線所圍面積為∫αβ[-xcotθ+-(x2-2)]dx=-∫αβ(x2+xcotθ-2-)dθ=-∫αβ(x-α)(x-β)dx=∫αβ(x-α)d(x-β)2=∫αβ(x-β)2dx=(β-α)3．為求(β-α)3最小值，只要求(β-α)2最小值，由一元二次方程根與系數(shù)關系得(β-α)2=(β+α)2-4αβ所以，當+2=0時取最小值3．由因此，所圍面積最小值為所求切線有兩條：知識點解析：暫無解析30、要建一個圓柱形無蓋水池，使其容積為V0m3．底的單位面積造價是周圍的兩倍，問底半徑r與高h各是多少，才能使水池造價最低?標準答案：先求出水池總造價的表達式．設水池周圍單位面積造價為a元／m2，水池造價為y，則y=2πrha+2aπr2．又知V0=πr2h，代入上式得y=2πa，0＜r＜+∞．現(xiàn)求y(r)在(0，+∞)上的最小值點．求y’(r)：因此，當時，y取最小值，即水池造價最低．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（微分中值定理及其應用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足，則x=0A、是f(x)的駐點，且為極大值點．B、是f(x)的駐點，且為極小值點．C、是f(x)的駐點，但不是極值點．D、不是f(x)的駐點．標準答案：C知識點解析：本題應先從x=0是否為駐點入手，即求f’(0)是否為0；若是．再判斷是否為極值點．由=0，從而f(0)=0，f’(0)==-1×0=0可知x=0是f(x)的駐點．再由極限的局部保號性還知，在x=0的某去心鄰域內(nèi)；由于1-cosx＞0，故在此鄰域內(nèi)，當x＜0時f(x)＞0=f(0)，而當x＞0時f(x)＜0=f(0)，可見x=0不是極值點，故選(C)．2、設f(x)滿足f(x)在x=0處三階可導，且，則正確的是A、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．D、f(0)是f(x)的極大值．標準答案：C知識點解析：由條件=1及f’(x)在x=0連續(xù)且=f’(0)=0．用洛必達法則得型未定式極限因=f’’(0)，若f’’(0)≠0，則J=∞與J=1矛盾，故必有f’’(0)=0．再由f’’(0)的定義得f’’(0)=2．因此，(0，f(0))是拐點．選(C)．3、設f(x)滿足f(x)在x=0鄰域二階可導，f’(0)=0，且f’’(x)-xf’(x)=ex-1，則下列說法正確的是A、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點．B、f(0)是f(x)的極小值．C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．D、f(0)是f(x)的極大值．標準答案：B知識點解析：已知f’(0)=0，現(xiàn)考察f’’(0)．由方程得又f’’(x)在x=0連續(xù)f’’(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的極小值．應選(B)．二、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)4、證明函數(shù)恒等式arctanx=，x∈(-1，1)．標準答案：令f(x)=arctanx，g(x)=，要證f(x)=g(x)當x∈(-1，1)時成立，只需證明：1°f(x)，g(x)在(-1，1)可導且當x∈(-1，1)時f’(x)=g’(x)；2°x0∈(-1，1)使得f(x0)=g(x0)．由初等函數(shù)的性質(zhì)知f(x)與g(x)都在(-1，1)內(nèi)可導，計算可得即當x∈(-1，1)時f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此當x∈(-1，1)時f(x)=g(x)，即恒等式成立．知識點解析：暫無解析5、設函數(shù)f(x)，g(x)在x=x0有連續(xù)的二階導數(shù)且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)，f’’(x0)=g’’(x0)≠0，說明這一事實的幾何意義．標準答案：曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切，在點M0的某鄰域有相同的凹凸性．因f’’(x)，g’’(x)在x0處連續(xù)，f’’(x0)=g’’(x)＞0(或＜0)x0的某鄰域(x0-δ，x0+δ)，當x∈(x0-δ，x0+δ)時f’’(x)＞0，g’’(x)＞0(或f’’(x)＜0，g’’(x)＜0)．又由曲率計算公式知，這兩條曲線在點M0處有相同的曲率知識點解析：暫無解析6、設f(x)在(a，b)內(nèi)可導，證明：，x0∈(a，b)且x≠x0時，f’(a)在(a，b)單調(diào)減少的充要條件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)標準答案：必要性：設(*)成立，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2-x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1-x2)．兩式相加[f’(x1)-f’(x2)](x2-x1)＞0f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)單調(diào)減少．充分性：設f’(x)在(a，b)單調(diào)減少．對于，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得f(x)-[f(x0)+f’(x0)(x-x0)]=[f’(ξ)-f’(x0)](x-x0)＜0，其中ξ在x與x0之間，即(*)成立．知識點解析：暫無解析7、求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間、極值點及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點．標準答案：(Ⅰ)定義域x≠±1，間斷點x=±1，零點x=0，且是奇函數(shù).(Ⅱ)求y’，y’’和它們的零點．由y’=0得駐點x=0，；由y’’=0得x=0，由這些點及間斷點x=±1把函數(shù)的定義域按自然順序分成．由此可列出函數(shù)如下分段變化表，并標明每個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性及相應的極值點與拐點．因此，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；極大值點是x=，對應的極大值是，極小值點是x=，對應的極小值是；凸區(qū)間是(-∞，-1)，(0，1)，凹區(qū)間是(-1，0)，(1，+∞)；拐點是(0，0)．知識點解析：暫無解析8、求曲線y=+ln(1+ex)的漸近線方程．標準答案：只有間斷點x=0，因，故有垂直漸近線x=0．又因此，x→+∞時有斜漸近線y=x．最后，=0+ln1=0，于是x→-∞時有水平漸近線y=0．知識點解析：暫無解析9、運用導數(shù)的知識作函數(shù)y=x+的圖形．標準答案：求漸近線．只有兩個間斷點x=±1，=±∞，則x=1為垂直漸近線．又=±∞，則x=-1也是垂直漸近線．又所以y=x是斜漸近線，無水平漸近線．綜上所述，作函數(shù)圖形如圖4．7所示．知識點解析：暫無解析10、在橢圓內(nèi)嵌入有最大面積的四邊平行于橢圓軸的矩形，求該最大面積.標準答案：設橢圓內(nèi)接矩形在第一象限中的頂點為M(x，y)，則矩形的面積為S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得x=，因S(0)=S(a)=0，=2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即內(nèi)接矩形最大面積為2ab．知識點解析：暫無解析11、在半徑為a的半球外作一外切圓錐體，要使圓錐體體積最小，問高度及底半徑應是多少?標準答案：設外切圓錐體的底半徑為r，高為h．見圖4．8，記∠ABO=φ，則，于是圓錐體體積為求V(r)的最小值點等價于求的最小值點．由于因此，當時圓錐體體積最?。R點解析：暫無解析12、設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上單調(diào)增加并有連續(xù)的導數(shù)，且f(0)=0，f(a)=b，求證：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函數(shù)．標準答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx-af(a)，對a求導得F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)-af’(a)-f(a)，由題設g(x)是f(x)的反函數(shù)知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，從而F(a)為常數(shù)．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．知識點解析：即證對a有函數(shù)恒等式∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx=af(a)成立．13、設f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導且滿足f(0)=0，ff(x)≥0，f(x)≥f’(x)(＞0)，求證：f(x)≡0．標準答案：由f’(x)-f(x)≤0，得e-x[f’(x)-f(x)]=[e-xf(x)]’≤0．又f(x)e-x｜x=0=0，則f(x)e-x≤f(x)e-x｜x=0=0．進而f(x)≤0(x∈[0，+∞))，因此f(x)≡0(∈[0，+∞))．知識點解析：暫無解析14、證明函數(shù)f(x)=在(0，+∞)單調(diào)下降．標準答案：下證2xln2x-(1+2x)ln(1+2x)＜0(＞0)．令t=2x，則x＞0時t＞1，2xln2x-(1+2x)ln(1+2x)=tlnt-(1+t)ln(1+t)=g(t)．由于(xlnx)’=lnx+1＞0(x＞1)xlnx在(1，+∞)單調(diào)上升tlnt=(1+x)ln(1+t)＜0，2xln2x-(1+xx)ln(1+2x)＜0．因此f’(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)單調(diào)下降．知識點解析：暫無解析15、設f(x)在[0，a]二次可導且f(0)=0，f’’(x)＜0．求證：在(0，a]單調(diào)下降．標準答案：要證在(0，a]單調(diào)下降，只需證明導數(shù)為此令F(x)=xf’(x)-f(x)，則只需證F(x)＜0(∈(0，a])．對F(x)求導得F’(x)=xf’’(x)＜0(∈(0，a])．又F(0)=0，則F(x)＜0(∈(0，a])，即xf’(x)-f(x)＜0(0＜x≤a)．知識點解析：暫無解析16、設f(x)在(a，b)四次可導，x0∈(a，b)使得f’’(x0)=f’’’(x0)=0，又設f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求證f(x)在(a，b)為凹函數(shù)．標準答案：由f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，知f’’’(x)在(a，b)單調(diào)上升．又因f’’’(x0)=0，故從而f’’(x)在(a，x0]單調(diào)下降，在[x0，b)單調(diào)上升．又f’’(x0)=0，故f’’(x)＞0(x∈(a，b)，x≠x0)，因此f(x)在(a，b)為凹函數(shù)．知識點解析：暫無解析17、設y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1確定的，求y=y(x)的駐點，并判定其駐點是否是極值點?標準答案：(Ⅰ)先用隱函數(shù)求導法求出y’(x)．將方程兩邊對x求導得6y2y’-4yy’+2xy’+2y-2x=0，整理得(Ⅱ)由y’(x)=0及原方程確定駐點．由y’(x)=0得y=x代入原方程得2x3-2x2+2xx-x2=1，即x3-x2+x3-1=0，(x-1)(2x2+x+1)=0．僅有根x=1．當y=x=1時，3y2-2y+x≠0．因此求得駐點x=1．(Ⅲ)判定駐點是否是極值點．將①式化為(3y2-2y+x)y’=x-y．②將②式兩邊對x在x=1求導，注意y’(1)=0，y(1)=1，得2y’’(1)=1，y"(1)=＞0．故x=1是隱函數(shù)y(x)的極小值點．知識點解析：暫無解析18、求函數(shù)y=(x∈(0．+∞))的單調(diào)區(qū)間與極值點，凹凸區(qū)間與拐點及漸近線．標準答案：函數(shù)在定義域(0，+∞)上處處連續(xù)，先求y’，y’’和它們的零點及不存在的點．y’=(x3-y"=.3(x2-1)2+2x(x3-=-2(x3-[(x2-1)2-x(x3-3x)]由y’得x=1；x=時y’不存在；x=時y’’不存在；無y’’=0，的點．現(xiàn)列下表：因此得單調(diào)減少區(qū)間是(0，1)，單調(diào)增加區(qū)間是(1，+∞)，x=1是極小值點，凹區(qū)間是，凸區(qū)間是是拐點．最后求漸近線．因，所以無垂直漸近線．由于因此只有斜漸近線y=x．知識點解析：暫無解析19、設a＞0，求f(x)=的最值．標準答案：f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)且可寫成如下分段函數(shù)由此得x∈(-∞，0)時f’(x)＞0，故f(x)在(-∞，0]單調(diào)增加；x∈(a，+∞)時f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)單調(diào)減少．從而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(-∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a-x)2-(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(-∞，+∞)的最大值是由于f(x)在(-∞，0)單調(diào)增加，在(a，+∞)單調(diào)減少，又f(x)在[0，a]的最小值因此f(x)在(-∞，+∞)上無最小值．知識點解析：暫無解析20、求函數(shù)f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最值．標準答案：由于f(x)是偶函數(shù)，我們只需考察x∈[0，+∞)．由變限積分求導公式得f’(x)=2x(2-x2)e-x2．解f’(x)=0得x=0與x=，于是從而，f(x)的最大值是=∫02(2-t)e-tdt=∫02(2-t)de-t=(t-2)e-t｜02-∫02e-tdt=2+e｜02=1+e-2．由上述單調(diào)性分析，為求最小值，只需比較f(0)與的大?。捎?∫0+∞(2-t)e-tdt=[(t-2)e-t+e-t]｜0+∞=1＞f(0)=0．因此f(0)=0是最小值．知識點解析：暫無解析21、在橢圓的第一象限部分上求一點P，使該點處的切線，橢圓及兩坐標軸所圍圖形的面積為最?。畼藴蚀鸢福哼^橢圓上任意點(x0，y0)的切線的斜率y’(x0)滿足切線方程為y-y0=(x-x0)．分別令y=0與x=0，得x，y軸上的截距：于是該切線與橢圓及兩坐標軸所圍圖形的面積(圖4．9)為S(x0)=πab．問題是求：S(x)=(0＜x＜a)的最小值點，其中，將其代入S(x)中，問題可進一步化為求函數(shù)f(x)=x2(a2-x2)在閉區(qū)間[0，a]上的最大值點．由f’(x)=2x(a2-2x2)=0(x∈(0，a))得a0-2x0=0，x=x0=．注意f(0)=f(a)=0，f(x0)＞0，故x0=是f(x)在[0，a]的最大值點．因此為所求的點．知識點解析：暫無解析22、設f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)內(nèi)f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲線y=f(x)與直線x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2，求函數(shù)y=f(x)，問a為何值，此圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體體積最小?標準答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．這是求解一階線性方程．兩邊乘積分因子(取其中一個)，得ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C為任意常數(shù)使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)確定C與a的關系使得由y=f(x)與x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2．由已知條件得2=∫01(ax2+Cx)dx=，則C=4-a．因此，f(x)=ax2+(4-a)x，其中a為任意常數(shù)使得(x)＞0(x∈(0，1))．，有f(0)=0，f(1)=a+4-a=4+．又f’(x)=3ax+4-a，由此易知-8≤a≤4時f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋轉體的體積．V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01[ax2+(4-a)x]2dx=π∫01[(x4+x2-3x3)a2+(12x3-8x2)a+16x2]dx(Ⅳ)求V(a)的最小值點．由于則當a=-5時f(x)＞0(x∈(0，1))，旋轉體體積取最小值．知識點解析：暫無解析23、設f(x)在[0，b]可導，f’(x)＞0(∈(0，b))，t∈[0，b]，問t取何值時，圖4．10中陰影部分的面積最大?最小?標準答案：由于S(t)=∫0t[f(t)-f(x)]dx+∫tb[f(x)-f(t)]dx=t(ft)-∫0tf(x)dx+∫tbf(x)dx+(t-b)f(t)在[0，b]可導，且S’(t)=tf’(t)+f(t)-f(t)-f(t)+f(t)+(t-b)f’(t)則S(t)在時，S(t)取最小值．S(t)在[0，b]連續(xù)，也一定有最大值，且只能在t=0或t=b處取得．S(0)=∫∫0bf(x)dx-bf(0)，S(b)=bf(b)-∫0bf(x)dx，S(b)-S(0)=不能肯定．最大值點不確定但只能在t=0或t=b處取得．知識點解析：暫無解析24、證明：當x＞1時0＜(x-1)2．標準答案：對x≥1引入函數(shù)f(x)=lnx+-2，則f(x)在[1，+∞)可導，且當x＞1時從而f(x)在[1，+∞)單調(diào)增加，又f(1)=0，所以當x＞1時，f(x)＞f(1)=0，即lnx+-2＞0.令g(x)=(x-1)3，則g(x)在[1，+∞)可導，且當x＞1時故g(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調(diào)減少，又g(1)=0，所以當x＞1時g(x)＜g(1)=0，即lnx+(x-1)2當x＞1時成立．知識點解析：暫無解析25、當x≥0，證明∫0x(t-t2)sin2ntdt≤，其中n為自然數(shù)．標準答案：利用定積分的性質(zhì)來證明．由于f(x)=∫0x(t-t2)sin2ntdt=∫01(t-t2)sin22ntdt+∫1x(t-t2)sin2ntdt，因為當t≥1時t-t2≤0，所以∫1x(t-t2)sin2ntdt＜0．于是f(x)≤∫01(t-t2)sin2ntdt≤∫01(t-t2)t2ndt=.知識點解析：暫無解析26、求證：當x＞0時不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．標準答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，則有f(0)=0，f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0，f’’(x)=2-[x-ln(1+x)]，f’’(0)=0，f’’’(x)=，f’’’(0)=0．于是f’’(x)當x≥0時單調(diào)增加，又f’’(0)=0，所以當x＞0時f’’(x)＞f’’(0)=0．從而f’(x)當x≥0時單調(diào)增加，又f’(0)=0，故當x＞0時f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)當x≥0時單調(diào)增加，又f(0)=0，所以當x＞0時f(x)＞f(0)=0．原不等式得證．知識點解析：暫無解析27、求證：x∈(0，1)時標準答案：令，當x＞0時有故g(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)下降．又g(x)在(0，1]連續(xù)，且g(1)=-1，g(x)在x=0無定義，但若補充定義g(0)=，則g(x)在[0，1]上連續(xù)．又g’(x)＜0，0＜x＜1，因此g(x)在[0，1]單調(diào)下降．所以，當0＜x＜1時g(1)＜g(x)＜g(0)，即成立．知識點解析：暫無解析28、設f(x)在[0，+∞)可導，且f(0)=0．若f’(x)＞-f(x)，∈(0，+∞)，求證：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．標準答案：要證f(x)＞0exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可導且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)exf(x)在[0，+∞)單調(diào)上升exf(x)>exf(x)｜x=0=0(x＞0)f(x)＞0(x＞0)．知識點解析：暫無解析29、求證：x∈[0，11]時，≤xp+(1-x)p≤1，p＞1；1≤xp+(1-x)p≤，0＜p＜1．標準答案：令f(x)=xp+(1-x)p，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且有f’(x)=p[xp-1-(1-x)p-1]．令f’(x)=0得x=易知f(0)=f(1)=1，當p＞1時，1＞f(x)在[0，1]的最大值為1，最小值為≤f(x)≤1，x∈[0，1]．當0＜p＜1時，1＜f(x)在[0，1]的最大值為，最小值為11≤f(x)≤，x∈[0，1]．知識點解析：暫無解析30、設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，證明：對于x1，x2∈[0，1]，有｜f(x1)-f(x2)｜＜標準答案：聯(lián)系f(x1)-f(x2)與f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨設0≤x1≤x2≤1．分兩種情形：1)若x2-x1＜，直接用拉格朗日中值定理得｜f(x1)-f(x2)｜=｜f’(ξ)(x1-x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2-x1｜＜2)若x2-x1≥，當0＜x＜1時，利用條件f(0)=f(1)分別在[0，x1]與[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得｜f(x1)-f(x2)｜=｜[f(x1)-f(0)]-[f(x2)-f(1)]｜≤｜f(x1)-f(0)｜+｜f(1)-f(x2)｜=｜f’(ξ)x1｜+｜f’(η)(1-x2)｜＜x1+(1-x2)=1-(x2-x1)≤①當x1=0且x2≥時，有｜f(x1)-f(x2)｜=｜f(0)-f(x2)｜=｜f(1)-f(x2)｜=｜f’(η)(1-x2)｜＜②當x1≤且x2=1時，同樣有｜f(x1)-f(x2)｜=｜f(x1)-f(1)｜=｜f(x1)-f(0)｜=｜f’(ξ)(x1-0)｜＜因此對于任何x1，x2∈[0，1]總有｜f(x1)-f(x2)｜＜知識點解析：暫無解析31、求證：(x∈(0，1))．標準答案：改寫右端對f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]區(qū)間用柯西中值定理：余下只需證注意函數(shù)在(0，1)是單調(diào)減函數(shù)，因為原不等式成立．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（微分中值定理及其應用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、若xf"(x)+3x[f’(x)]2=1－ex且f’(0)=0，f"(x)在x=0連續(xù)，則下列正確的是A、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．B、f(0)是f(x)的極小值．C、f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點．D、f(0)是f(x)的極大值．標準答案：D知識點解析：由f’(0)=0知x=0是f(x)的駐點．為求f"(0)，把方程改寫為f"(x)+3[f’(x)]2=令x→0，得f"(0)==－1＜0=>f(0)為極大值．故選D．2、若函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)可導，且f(0)＜0，f’(x)≥k＞0，則在(0，+∞)內(nèi)f(x)A、沒有零點．B、至少有一個零點．C、只有一個零點．D、有無零點不能確定．標準答案：C知識點解析：討論函數(shù)的零點，一般要用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的介值定理．根據(jù)拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．顯然當x足夠大時f(x)＞0(事實上只需x＞)，又f(0)＜0，這就表明在(0，x)內(nèi)存在f(x)的零點，又f’(x)＞0，即有f(x)單調(diào)增加，從而零點唯一，故選C．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)3、f(x)=的極大值點是x=________，極小值點是x=________．標準答案：x=0；x=和x=知識點解析：0＜｜x｜＜1時f(x)＜0，按定義x=0是極大值點，x＞0時=>x=是極小值點．由于f(x)是偶函數(shù)，x=也是極小值點．4、數(shù)列1，，…的最大項為________．標準答案：知識點解析：考察函數(shù)f(x)=(x≥1)，求f(x)在[1，+∞)上的最大值．由=>f(x)在[1，e]單調(diào)上升，在[e，+∞)單調(diào)下降，f(x)=在x=e取最大值，它的相鄰兩點是x=2，3．現(xiàn)比較f(2)=，因此，最大項是：．三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)5、設函數(shù)f(x)，g(x)在x=x0有連續(xù)的二階導數(shù)且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)，f"(x0)=g"(x0)≠0，說明這一事實的幾何意義．標準答案：曲線y=f(x)，y=g(x)在公共點M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))處相切，在點M0的某鄰域有相同的凹凸性．因f"(x)，g"(x)在x0處連續(xù)，f"(x0)=g"(x0)＞0(或＜0)=>x0的某鄰域(x0－δ，x0+δ)，當x∈(x0－δ，x0+δ)時f"(x)＞0，g"(x)＞0(或f"(x)＜0，g"(x)＜0)．又由曲率計算公式知，這兩條曲線在點M0處有相同的曲率知識點解析：暫無解析6、求曲線y=+ln(1+ex)的漸近線方程．標準答案：只有間斷點x=0，因=∞，故有垂直漸近線x=0．又因此，x→+∞時有斜漸近線y=x．最后，=0+ln1=0，于是x→－∞時有水平漸近線y=0．知識點解析：暫無解析7、設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上單調(diào)增加并有連續(xù)的導數(shù)，且f(0)=0，f(a)=b，求證：∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函數(shù)．標準答案：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx－af(a)，對a求導得F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)－af’(a)－f(a)，由題設g(x)是f(x)的反函數(shù)知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，從而F(a)為常數(shù)．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．知識點解析：暫無解析8、設f(x)在[0，a]二次可導且f(0)=0，f"(x)＜0．求證：在(0，a]單調(diào)下降．標準答案：對F(x)求導得F’(x)=xf"(x)＜0(x∈(0，a])．又F(0)=0，則F(x)＜0(x∈(0，a])，即xf’(x)－f(x)＜0(0＜x≤a)．知識點解析：暫無解析9、設y=y(x)是由方程2y3－2y2+2xy－x2=1確定的，求y=y(x)的駐點，并判定其駐點是否是極值點?標準答案：(Ⅰ)先用隱函數(shù)求導法求出y’(x)．將方程兩邊對x求導得6y2y’－4yy’+2xy’+2y－2x=0，整理得y’=①(Ⅱ)由y’(x)=0及原方程確定駐點．由y’(x)=0得y=x代入原方程得2x3－2x2+2xx－x2=1，即x3－x2+x3－1=0，(x－1)(2x2+x+1)=0．僅有根x=1．當y=x=1時，3y2－2y+x≠0．因此求得駐點x=1．(Ⅲ)判定駐點是否是極值點．將①式化為(3y2－2y+x)y’=x－y．②將②式兩邊對x在x=1求導，注意y’(1)=0，y(1)=1，得2y"(1)=1，y"(1)=＞0．故x=1是隱函數(shù)y(x)的極小值點．知識點解析：暫無解析10、求函數(shù)f(x)=(2－t)e－tdt的最值．標準答案：由于f(x)是偶函數(shù)，我們只需考察x∈[0，+∞)．由變限積分求導公式得f’(x)=2x(2－x2)解f’(x)=0得x=0與x=，于是從而f(x)的最大值是=∫02(2－t)e－tdt=－∫02(2－t)de－t=(t－2)e－t｜02－∫02e－tdt=2+e－t｜02=1+e－2由上述單調(diào)性分析，為求最小值，只需比較f(0)與的大?。捎?∫0+∞(2－t)e－tdt=[(t－2)e－t+e－t]｜0+∞=1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．知識點解析：暫無解析11、設f(x)在[0，b]可導，f’(x)＞0(x∈(0，b))，t∈[0，b]，問t取何值時，圖4．10中陰影部分的面積最大?最小?標準答案：由于S(t)=∫0t[f(t)－f(x)]dx+∫tb[f(x)－f(t)]dx=tf(t)－∫0tf(x)dx+∫tbf(x)dx+(t－b)f(t)在[0，b]可導，且S’(t)=tf’(t)+f(t)－f(t)－f(t)+f(t)+(t－b)f’(t)則S(t)在時，S(t)取最小值．S(t)在[0，b]連續(xù)，也一定有最大值，且只能在t=0或t=b處取得．S(0)=∫0bf(x)dx－bf(0)，S(b)=bf(b)－∫0bf(x)dx，S(b)－S(0)=不能肯定．最大值點不確定但只能在t=0或t=b處取得．知識點解析：暫無解析12、求證：當x＞0時不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．標準答案：令f(x)=x2－(1+x)ln2(1+x)，則有f(0)=0，f’(x)=2x－ln2(1+x)－2ln(1+x)，f’(0)=0，f"(x)=，f’(0)=0，f"’(x)=，f"’(0)=0．于是f"(x)當x≥0時單調(diào)增加，又f"(0)=0，所以當x＞0時f"(x)＞f"(0)=0．從而f’(x)當x≥0時單調(diào)增加，又f’(0)=0，故當x＞0時f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)當x≥0時單調(diào)增加，又f(0)=0，所以當x＞0時f(x)＞f(0)=0．原不等式得證．知識點解析：暫無解析13、求證：x∈[0,1]時，≤xp+(1－x)p≤1，p＞1；1≤xp+(1－x)p≤，0＜p＜1．標準答案：令f(x)=xp+(1－x)p，則f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導，且有f’(x)=p[xp－1－(1－x)p－1]．令f’(x)=0得x=．易知f(0)=f(1)=1，當p＞1時，1＞=>f(x)在[0，1]的最大值為1，最小值為=>≤f(x)≤1，x∈[0，1]．當0＜p＜1時，1＜=>f(x)在[0，1]的最大值為，最小值為1=>≤f(x)≤，x∈[0，1]．知識點解析：暫無解析14、設f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)可導，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求證：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．標準答案：即證[∫01f(x)dx]2－∫01f3(x)dx＞0．考察F(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，若能證明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．這可用單調(diào)性方法．令F(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，易知F(x)在[0，1]可導，且F(0)=0，F(xiàn)’(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]．由條件知，f(x)在[0，1]單調(diào)上升，f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，從而F’(x)與g(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)同號．再考察g’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(x∈(0，1))，g(x)在[0，1]連續(xù)，于是g(x)在[0，1]單調(diào)上升，g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0，1]單調(diào)上升，F(xiàn)(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此F(1)=[∫01f(x)dx]2－∫01f3(x)dx＞0．即結論成立．知識點解析：暫無解析15、設f(x)在(－∞，a)內(nèi)可導，，求證：f(x)在(－∞，a)內(nèi)至少有一個零點．標準答案：由極限的不等式性質(zhì)，δ＞0，當x∈[a－δ，a)時＞0，即f(x)＜0，也就有f(a－δ)＜0．x0＜a－δ，當x≤x0時f’(x)≤＜0．于是由微分中值定理知，當x＜x0，ξ∈(x，x0)使得f(x)=f(x0)+f’(ξ)(x－x0)≥f(x0)+(x－x0)，由此可得使得f(z1)>0．在[x1，a－δ]上應用連續(xù)函數(shù)零點存在性定理，f(x)在(x1，a－δ)上至少存在一個零點．知識點解析：暫無解析16、設f(x)在(a，b)內(nèi)可導，且=A．求證：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．標準答案：設g(x)=則g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且g(a)=g(b)，把羅爾定理用于g(x)即知存在ξ∈(a，b)使得g’(ξ)=f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析17、設f(x)=(akcoskx+bksinkx)，其中ak，bk(k=1，2，…，n)為常數(shù)．證明：(Ⅰ)f(x)在[0，2π)必有兩個相異的零點；(Ⅱ)f(m)(x)在[0，2π)也必有兩個相異的零點．標準答案：(Ⅰ)令F(x)=，顯然，F(xiàn)’(x)=f(x)．由于F’(x)是以2π為周期的可導函數(shù)，故F(x)在[0，2π]上連續(xù)，從而必有最大值與最小值．設F(x)