考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷2（共90題）

考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷2（共9套）（共90題）考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第1套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設f(x)=求常數(shù)a與b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上處處連續(xù)．標準答案：知識點解析：暫無解析2、某保險公司統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20％，用X表示抽取的100個索賠戶中被盜索賠戶的戶數(shù)．(1)求X的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盜戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值．標準答案：(1)X～B(100，0．2)，即X的分布律為P(X＝k)＝C100k0．2k．0．8100－k(k＝0，1，2，…，100)．(2)E(X)＝20，D(X)＝16，P(14≤X≤30)＝≈Ф(2．5)－Ф(－1．5)＝0．927．知識點解析：暫無解析3、求線性方程組的通解，并求滿足條件的所有解．標準答案：對方程組的增廣矩陣作初等行變換，有方程組的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2，即α=(2，1，0，0)T其對應齊次方程組的解：令x3=1，x4=0，得x2=3，x1=1，即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1，得x2=0，x1=-1，即η2=(-1，0，0，1)T．故該方程組的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0)T+k2(-1，0，0，1)T而其中條件，即(2+k1-k2)2=(1+3k1)2．那么有2+k1-k2=1+3k1或2+k1-k2=-(1+3k1)，兩邊同時開方，即k2=1-2k1或k=3+4k1所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，-2)T或(-1，1，0，3)T+k(-3，3，1，4)T(k其中為任意常數(shù))為滿足的所有解．知識點解析：暫無解析4、在空間直角坐標系中，各卦限中的點的坐標有什么特征?指出下列各點所在的卦限：A(1，－3，2)；B(3，－2，－4)；C(－1，－2，－3)；D(－3，2，－1)．標準答案：各卦限中的點的坐標有如下特征：知識點解析：暫無解析5、證明：以點A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3)為頂點的三角形是等腰直角三角形．標準答案：知識點解析：暫無解析6、將一枚均勻的硬幣接連擲5次，結果反面至少出現(xiàn)了一次，試求：(1)正面出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布；(2)正面出現(xiàn)的次數(shù)與反面出現(xiàn)的次數(shù)之比Y的概率分布．標準答案：令Z表示反面出現(xiàn)的次數(shù)．于是X～B(5，)．(1)已知Z≥1，于是X的可能取值為0，1，2，3，4．知識點解析：暫無解析7、設x＞0時，f(x)可導，且滿足：求f(x)．標準答案：由得兩邊對x求導得f(x)+xf′(x)=1+f(x)，解得因為f(1)=1，所以C=1，故f(x)=lnx+1．知識點解析：暫無解析設隨機變量X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布，在X=x(0＜x＜1)的條件下，隨機變量Y在區(qū)間(0，x)上服從均勻分布．求：8、隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；標準答案：X的概率密度為因在X=x(0＜x＜1)條件下，Y在區(qū)間(0，x)上服從均勻分布，故Y的條件密度fY|X(y|x)為當0＜y＜x＜1時，X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=1／x，在其他點(x，y)處，有f(x，y)=0，即知識點解析：暫無解析9、Y的概率密度；標準答案：當0＜y＜1時，如圖3．3．2．3所示，Y的概率密度為當y≤0或y≥1時，fY(y)=0．因此知識點解析：暫無解析10、概率P(X+Y＞1)．標準答案：所求概率為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第2套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、證明：當x＞1時，標準答案：對x≥1引入函數(shù)則f(x)在[1，+∞)可導，且當x＞1時從而f(x)在[1，+∞)單調增加，又f(1)=0，所以當x＞1時f(x)＞f(1)=0，即令則g(x)在[1，+∞)可導，且當x＞1時故g(x)在區(qū)間[1，+∞)上單調減少，又g(1)=0，所以當x＞1時g(x)＜g(1)=0，即當x＞1時成立．知識點解析：暫無解析2、設B是可逆陣，A和B同階，且滿足A2+AB+B2=O．證明：A和A+B都是可逆陣，并求A－1和(A+B)－1．標準答案：由題設：A2+AB+B2=O，得A(A+B)=－B2．①①式右乘(－B2)－1，得A(A+B)(－B2)－1=E，得A可逆，且A－1=(A+B)(－B2)－1．①式左乘(－B2)－1，得(－B2)－1A(A+B)=E，得A+B可逆，且(A+B)－1=(－B2)－1A．知識點解析：暫無解析3、一半徑為3m的球形水箱內有一半容量的水，現(xiàn)要將水抽到水箱頂端上方7m高處，問需要作多少功?標準答案：如圖24所示，以球心為原點，建立坐標系，球的大圓為x2＋y2＝32＝9，即知識點解析：暫無解析4、設隨機變量X，Y相互獨立，且X～N(0，)，Y～N(0，)，Z＝｜X－Y｜，求E(Z)，D(Z)．標準答案：令U＝X－Y，因為X，Y相互獨立，且X～NE(Z2)＝E(U2)＝D(U)＋[E(U)]2＝D(Z)＝E(Z2)－[E(Z)]2＝1－知識點解析：暫無解析5、設y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導數(shù)和一階連續(xù)偏導數(shù)，求標準答案：分別在z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0的兩端對x求導，得知識點解析：暫無解析6、求定積分的值標準答案：知識點解析：暫無解析7、設an=∫0nπx｜sinx｜dx，n=1，2，…，試求的值．標準答案：令x=nπ－t，則an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=∫0nπ｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．記S(x)=∑，n2xn，－1＜x＜1，因為，－1＜x＜1，逐項求導，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．再次逐項求導，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．從而知識點解析：暫無解析8、一條曲線經(jīng)過點(2，0)，且在切點與y軸之間的切線長為2，求該曲線．標準答案：曲線在點(x，y)處的切線方程為Y－y＝y(tǒng)’(X－x)，令X＝0，則Y＝y(tǒng)－xy’，切線與y軸的交點為(0，y－xy’)，由題意得x2＋x2y’2＝4，解得y’＝，變量分離得dy＝dx，積分得因為曲線經(jīng)過點(2，0)，所以C＝0，故曲線為y＝±．知識點解析：暫無解析假設隨機變量X與Y同分布，X的概率密度為9、已知事件A={X＞a}和B={Y＞a}獨立，且P(A+B)=3／4，求常數(shù)a；標準答案：因X與Y同分布，故其概率密度相同，因而與概率密度有關的量也應相等，于是P(A)=P(X＞a)=P(y＞a)=P(B)．又A和B獨立，故P(AB)=P(A)P(B)，于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=2P(A)-P(A)2=3／4，①解之得P(A)=1／2(或P(A)=3／2＞1，舍去)，則因f(x)為分段函數(shù)，需確定a的取值范圍，從而確定被積函數(shù)f(x)．結論是a∈(0，2)，這是因為若a≤0，則則由式①得到P(A+B)=1．這與P(A+B)=3／4矛盾．若a＞2，則這也與P(A+B)=3／4矛盾．綜上所述，得到a∈(0，2)．于是由式②得到知識點解析：暫無解析10、求1／X2的數(shù)學期望．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第3套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、求e-x2帶皮亞諾余項的麥克勞林公式．標準答案：把t=一x2代入即得知識點解析：暫無解析2、求函數(shù)y=的導數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析3、設D={(x，y)|x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超過1+x2+y2的最大整數(shù)．計算二重積分標準答案：令D1={(x，y)|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，知識點解析：暫無解析4、求標準答案：由對稱性得知識點解析：暫無解析5、甲袋中有4個白球和6個黑球，乙袋中有5個白球和5個黑球，今從甲袋中任取2個球，從乙袋中任取一個球放在一起，再從這3個球中任取一球，求最后取到白球的概率．標準答案：設B1={從甲袋中取到2個白球}，B2={從甲袋中取到1個白球，1個黑球}，B3={從甲袋中取到2個黑球}，A1={從乙袋中取到白球}，A2={從乙袋中取到黑球}，A={最后取到白球}．由全概率公式得P(A)=P(A｜B1A1)P(B1A1)+P(A｜B1A2)P(B1A2)+P(A｜B2A1)P(B2A1)+P(A｜B2A2)P(B2A2)+P(A｜B3A1)P(B3A1)+P(A｜B3A2)P(B3A2)知識點解析：暫無解析6、求方程y’’+2my’+n2y=0滿足初始條件y(0)=a，y’(0)=b的特解，其中m＞n＞0，a，b為常數(shù)，并求標準答案：特征方程為λ2+2mλ+n2=(λ+m)2+n2-m2=0，特征根為計算可得知識點解析：暫無解析7、設y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且當x→0時，y(x)是x的3階無窮小，求y(x)．標準答案：由泰勒公式y(tǒng)(x)=y(0)+yˊ(0)x+yˊˊ(0)x2+yˊˊˊ(0)x3+o(x3)(x→0)．當x→0時，y(x)與x3同階=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C為非零常數(shù)．由這些初值條件，現(xiàn)將方程y(4)－yˊˊ=0兩邊積分得∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0，即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，兩邊再積分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C=>因此最后得y=[(ex－e－x)]C，其中C為任意非零常數(shù)．知識點解析：暫無解析8、計算行列式標準答案：=(a2+b2+c2+d2)4．故原式=±(a2+b2+c2+d2)2(負號舍去．取b=c=d=0，原式=a4，可知結果取“+”)．知識點解析：暫無解析假設二維隨機變量(X，Y)在矩形區(qū)域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布．記求：9、U和V的聯(lián)合分布；標準答案：解一如圖3．3．1．1所示，設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域A，B，C中取值的事件依次記為A，B，C；S表示有關區(qū)域的面積．因(X，Y)在G上服從均勻分布，故而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．于是得到(U，V)的聯(lián)合分布律為解二因(X，Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，G的面積SG=2，故其概率密度函數(shù)為因而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．知識點解析：暫無解析10、U和V的相關系數(shù)ρ．標準答案：解一將(U，V)的聯(lián)合分布律改寫成下述同一表格的形式：于是E(U)=3／4，E(V)=1／2，E(UV)=1／2，E(U2)=3／4，E(V2)=1／2．因而D(U)=E(U2)－[E(U)]2=3／4－9／16=3／16，D(V)=E(V2)－[E(V)]2=1／2－1／4=1／4，cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=1／2－(3／4)(1／2)=1／8，解二由(U，V)的聯(lián)合分布律及U、V的分布律，由命題3．3．1．3知，U服從參數(shù)為p1=3／4的0-1分布，故E(U)=p1=3／4，D(U)=p1(1－p1)=3／16；V服從參數(shù)為p2=1／2的0-1分布，故E(V)=p2=1／1D(V)=p2(1－p2)=1／4．而E(UV)=P(U=1，V=1)=1／2，故注：命題3．3．1．3已知(X1，X2)的聯(lián)合分布律，其中單個隨機變量X1與X2分別服從參數(shù)為p1，p2的0-1分布，則E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第4套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、求標準答案：知識點解析：暫無解析2、設f(x)在[0，1]二階可導，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b為非負常數(shù)，求證：對任何c∈(0，1)，有標準答案：考察帶拉格朗日余項的一階泰勒公式：有f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+f"(ξ)(x－c)2，(*)其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(－c)+f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+f"(ξ2)(1－c)2，0＜c<ξ2＜1．上面兩式相減得f(1)－f(0)=f’(c)+[f"(ξ2)(1－c)2－f"(ξ1)c2]．從而f’(c)=f(1)－f(0)+[f"(ξ1)c2－f"(ξ2)(1－c)2]，兩端取絕對值并放大即得其中利用了對任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2+c2≤1．知識點解析：暫無解析3、設f(x)=，求f(n)(x)。標準答案：知識點解析：暫無解析4、設某種元件的使用壽命X的概率密度為f(x；θ)=其中θ＞0為未知參數(shù)．又設x1，x2，…，xn是X的一組樣本觀測值，求參數(shù)θ的最大似然估計值．標準答案：似然函數(shù)為當xi＞0(i=1，2，…，n)時，L(θ)＞0，取對數(shù)，得由于θ必須滿足xi＞θ(i=1，2，…，n)，因此當θ取x1，x2，…，xn中最小值時，L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估計值為知識點解析：暫無解析5、設(X，Y)服從G=｛(x，y)｜x2+y2≤1｝上的均勻分布，試求給定Y=y的條件下X的條件概率密度函數(shù)fX，Y(x｜y)．標準答案：因為(X，Y)服從G=｛(x，y)｜x2+y2≤1)上的均勻分布，所以f(x，y)=故fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx=所以，當－1＜y＜1時，有知識點解析：暫無解析6、設f(x)具有二階導數(shù)，且f"(x)＞0．又設u(t)在區(qū)間[0，a](或[a，0])上連續(xù)，證明：標準答案：由泰勒公式≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，ξ介于x與x0之間．以x=u(t)代入并兩邊對t從0到a積分，其中暫設a＞0，于是有∫0af(u(t))≥af(x0)+f’(x0)(∫0a一x0a)．知識點解析：暫無解析7、證明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．標準答案：本題看似是二重積分問題，事實上，用代換t=xy可將累次積分化為定積分．在∫01(xy)xydy中，視x為常數(shù)，令t=xy，dt=xdy，當y從0變到1時，t從0變到x,則于是也就是要證明一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移項后就是要證明∫01tt(1+lnt)dt=0．事實上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0．知識點解析：暫無解析8、利用變換y=f(ex)求微分方程y"-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．標準答案：令t=ex，則y=f(t)，y’=f’(t).ex=tf’(t)，y"=[tf’(t)]x’=exf’(t)+tf"(t).ex=tf’(t)+t2f"(t)，代入方程得t2f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以y"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解為y=(C1+C2ex)+ex+2，其中C1，Cv為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析設有來自三個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份．隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份．9、求先抽到的一份是女生表的概率p；標準答案：設事件Bi={抽到的報名表是第i地區(qū)考生的}(i=l，2，3)，則P(B1)=P(B2)=P(B3)=1／3．又設Aj={第j次抽到的報名表是女生表)(j=1，2)，則={第j次抽到的報名表是男生表)，且P(A1|B1)=3／10，P(A1|B2)=7／15，P(A1|B3)=5／25．由全概率公式得到知識點解析：暫無解析10、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．標準答案：由抽簽原理知，抽簽所得結果與抽簽次序無關，因而有P(A2)=29／90．于是由全概率公式得到又由條件概率的計算公式得到知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第5套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設總成本關于產(chǎn)量x的函數(shù)為C(x)=400+3x+x2，需求量x關于價格P的函數(shù)為P=．求邊際成本，邊際收益，邊際利潤以及收益對價格的彈性．標準答案：由邊際成本的定義知，邊際成本MC=C’(x)=3+x．又因總收益函數(shù)R=Px=．從而邊際利潤ML=MR—MC=一x一3．由于函數(shù)P=，由此可得收益對價格的彈性知識點解析：暫無解析2、設函數(shù)f（x）在x=0的某鄰域內具有一階連續(xù)導數(shù)，且f（0）f’（0）≠0，當h→0時，若af（h）+bf（2h）一f（0）=o（h），試求a，b的值。標準答案：由題設條件知[af（h）+bf（2h）—f（0）]=（a+b—1）f（0）。由于f（0）≠0，故必有a+b—1=0。又由洛必達法則因f’（0）≠0，則有a+2b=0。綜上，得a=2，b=—1。知識點解析：暫無解析3、，αTβ=aibi≠0，求A的全部特征值，并證明A可以對角化．標準答案：令αTβ=k，則A2=kA，設AX=λX，則A2X=λ2X=kλX，即λ(λ一k)X=0，因為X≠0，所以矩陣A的特征值為λ=0或λ=k，由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn一1=0，λn=k，因為r(A)=1，所以方程組(0E一A)X=0的基礎解系含有n一1個線性無關的解向量，即λ=0有n一1個線性無關的特征向量，故A可以對角化．知識點解析：暫無解析4、設f(x)在[a，b]上連續(xù)可導，且f(a)=f(b)=0．證明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．標準答案：知識點解析：暫無解析5、已知矩陣B＝相似于對角矩陣．(1)求常數(shù)a的值；(2)用正交變換化二次型f(X)＝XTBX為標準形，其中X(χ1，χ2，χ3)T為3維向量．標準答案：(1)B的特征值為6，6，－2，由B可相似對角化，有1＝r(6E－A)＝，則a＝0．(2)f的矩陣為A＝，所求正交矩陣可取為P＝，它使PTAP＝，故f在正交變換X＝PY下化成的標準形為f＝6y12＋7y22－3y32．知識點解析：暫無解析6、設f(t)二階可導，g(u，v)二階連續(xù)可偏導，且z=f(2x—y)+g(x，xy)，求標準答案：知識點解析：暫無解析7、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析8、求冪級數(shù)的收斂域．標準答案：由=3得收斂半徑為發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為知識點解析：暫無解析已知是矩陣的一個特征向量．9、試確定參數(shù)a，b及特征向量ξ所對應的特征值；標準答案：設ξ是屬于特征值λ0的特征向量，由定義得到解之得λ0=－1，a=－3，b=0．知識點解析：暫無解析10、問A能否相似于對角矩陣?并說明理由．標準答案：因為故A的特征值為λ1=λ2=λ3=－1．因所以秩(E－A)=2，從而A的屬于三重特征根λ=－1的線性無關的特征向量只有n－秩(－E－A)=3－2=1個，由命題2．5．3．2(3)知，A不能相似對角化．注：命題2．5．3．2(3)n階矩陣A可相似對角化的另一充要條件是A的ni重特征值對應的線性無關的特征向量的個數(shù)等于其重數(shù)ni，即n－秩(λiE－A)=ni，亦即秩(riE－A)=n－ni，其中ni為特征值λi的重數(shù)，從而將A是否可相似對角化的問題轉化為特征矩陣riE－A的秩的計算問題．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第6套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、求極限標準答案：知識點解析：暫無解析2、設函數(shù)f(x)在[a，b]上有三階連續(xù)導數(shù)。(Ⅰ)寫出f(x)在[a，b]上帶拉格朗日余項的二階泰勒公式；(Ⅱ)證明存在一點η∈(a，b)，使得標準答案：(Ⅰ)任意給定x0∈(a，b)，對任意x∈[a，b]，則f(x)在[a，b]上帶有拉格朗日余項的二階泰勒公式(Ⅱ)把f(b)與f(a)分別在點處展開成帶拉格朗日余項的二階泰勒公式，將上面兩式相減可得由于f’’’(x)在[a，b]上連續(xù)，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在，使得將其代入f(b)-f(a)的表達式，即存在一點η∈(a，b)使得知識點解析：暫無解析3、袋中有a個黑球和b個白球，一個一個地取球，求第忌次取到黑球的概率(1≤k≤a＋b)．標準答案：基本事件數(shù)n＝(a＋b)!，設Ak＝{第k次取到黑球}，則有利樣本點數(shù)為a(a＋b－1)!，所以P(Ak)＝知識點解析：暫無解析4、標準答案：先求而且f（x）是一元函數(shù)f（u）與二元函數(shù)u=xy的復合，u是中間變量；φ（xy）是一元函數(shù)φ（υ）與二元函數(shù)υ=x+y的復合，υ是中間變量。由于方便，由復合函數(shù)求導法則得知識點解析：暫無解析5、設A是n階正定陣，E是n階單位陣，證明：A＋E的行列式大于1．標準答案：因A正定，有正交陣P，使兩端取行列式，得｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．知識點解析：暫無解析6、一枚均勻硬幣重復擲3次，以X表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，以Y表示前兩次擲出正面的次數(shù)，試求隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布．標準答案：易知X的可能取值為0，1，2，3．Y的可能取值為0，1，2．且記A為第i次出現(xiàn)正面，則P(X=0，Y=0)=P(X=0)=．P(X=0，Y=1)=0．P(X=0，Y=2)=0．P(X=1，Y=2)=0．P(X=2．Y=0)=P(X=3，Y=0)=P(X=3，Y=1)=0．知識點解析：暫無解析7、設A＝(aij)n×m是非零矩陣，且｜A｜中每個元素aij與其代數(shù)余子式Aij相等．證明：｜A｜≠0．標準答案：因為A是非零矩陣，所以A至少有一行不為零，設A的第k行是非零行，則｜A｜＝ak1Ak1＋ak2Ak2＋…＋aknAakn＝ak12＋ak22＋…＋akn2＞0．知識點解析：暫無解析8、設A=，且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣。若Q的第一列為(1，2，1)T，求a，Q。標準答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設特征值是λ1=1，那么又因為|λE—A|==(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩陣A的特征值是2，5，一4。對λ=5，由(5E—A)x=0得基礎解系α2=(1，一1，1)T。對λ=一4，由(一4E一A)x=0得基礎解系α3=(一1，0，1)T。因為A是實對稱矩陣，對應于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2，α3，即γ2=(1，一1，1)T，γ3=(一1，0，1)T，令Q=，則有QTAQ=Q-1AQ=。知識點解析：暫無解析某保險公司對多年來的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20％，以X表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù)．[附表]設Φ(x)是標準正態(tài)分布函數(shù)．9、寫出X的概率分布；標準答案：設事件A={被抽查到被盜索賠戶}，則p=p(A)=0．2．由題意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知識點解析：暫無解析10、利用棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值．標準答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根據(jù)棣莫弗一拉普拉斯定理知，則知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第7套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、求證：方程lnx=在(0，+∞)內只有兩個不同的實根．標準答案：即證f(x)=lnx一在(0，+∞)只有兩個零點．先考察它的單調性：由于f(x)在(0，e)與(e，+∞)分別單調上升與下降，3f(e)=＞0，故只需證明：x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因則x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)與(e，+∞)內分別只有一個零點，即在(0，+∞)內只有兩個零點．知識點解析：暫無解析2、設=1，且f"(x)＞0．證明：f(x)＞x．標準答案：得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二階可導，故f(x)在x=0處的一階泰勒公式成立，因f“(x)＞0，故f(x)＞x，原命題得證．知識點解析：暫無解析3、求∫—22max(1，x)dx．標準答案：因為max(1，x)是偶函數(shù)，知識點解析：暫無解析4、設來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，總體X的概率分布為其中0＜θ＜1．分別以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出現(xiàn)的次數(shù)，試求(1)未知參數(shù)θ的最大似然估計量；(2)未知參數(shù)θ的矩估計量；(3)當樣本值為1，1，2，1，3，2時的最大似然估計值和矩估計值．標準答案：(1)求參數(shù)θ的最大似然估計量．樣本X1，X2，…，X3中1，2和3出現(xiàn)的次數(shù)分別為v1，v2和n－v1－v2，則似然函數(shù)和似然方程為L(θ)=lnL(θ)=+(2v1+v2)lnθ+(2n－2v1－v2)ln(1－θ)，=0．似然方程的唯一解就是參數(shù)θ的最大似然估計量(2)求參數(shù)θ的矩估計量．總體X的數(shù)學期望為EX=θ2+4θ(1－θ)+3(1－θ)2．在上式中用樣本均值估計數(shù)學期望EX，可得θ的矩估計量(3)對于樣本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估計值矩估計值知識點解析：暫無解析5、假設一批產(chǎn)品的不合格品數(shù)與合格品數(shù)之比為R(未知常數(shù))．現(xiàn)在按還原抽樣方式隨意抽取的n件中發(fā)現(xiàn)k件不合格品．試求R的最大似然估計值．標準答案：設a是這批產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)，b是合格品的件數(shù)．從而，a=Rb，合格品率為p=設X是“隨意抽取的一件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)”，則X服從參數(shù)為p的0-1分布．對于來自總體X的簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，記vn=X1+X2+…+Xn，則似然函數(shù)和似然方程為L(R)=1nL(R)=vnlnR－nln(1+R)，=0．由條件知vn=X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估計值．知識點解析：暫無解析6、在△ABC中任取一點P，而△ABC與△ABP的面積分別記為S與S1。若已知S1=12，求ES1。標準答案：如圖建立坐標系，設AB長為r，△ABC高為h，C點坐標為(u，h)。設△ABC所圍區(qū)域為G，則G的面積S==12．又設P點坐標為(X，Y)，則隨機變量(X，Y)在G上服從均勻分布，其概率密度為知識點解析：暫無解析7、設齊次線性方程組為正定矩陣，求a，并求當｜X｜=時XTAX的最大值．標準答案：因為方程組有非零解，所以=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因為A是正定矩陣，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3．當a=3時，由｜λE一A｜==(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0得A的特征值為1，4，10．因為A為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使得f=XTAXy12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32)而當｜X｜=時，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=｜X｜=2所以當｜X｜=時，XTAX的最大值為20(最大值20可以取到，如y1=y1=0，y3=)．知識點解析：暫無解析8、設隨機變量X，Y相互獨立，且X～P(1)，Y～P(2)，求P{max(X，Y)≠0)及P{min(X，Y)≠0}．標準答案：P{max(X，Y)≠0}=1一P{max(X，Y)=0}=1一P(X=0，Y=0)=1一P(X=0)P(Y=0)=1一e一1e一2=1一e一3P{min(X，Y)≠0}=1一P{min(X，Y)=0}，令A={X=0}，B={Y=0}，則{min(X，Y)=0)=A+B，于是P{min(X，Y)=0}=P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=e一1+e一2一e一1．e一2=e一1+e一2一e一3，故P{min(X，Y}≠0)=1一e一1一e一2+e一3．知識點解析：暫無解析假設二維隨機變量(X，Y)在矩形區(qū)域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布．記求：9、U和V的聯(lián)合分布；標準答案：解一如圖3．3．1．1所示，設二維隨機變量(X，Y)在區(qū)域A，B，C中取值的事件依次記為A，B，C；S表示有關區(qū)域的面積．因(X，Y)在G上服從均勻分布，故而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．于是得到(U，V)的聯(lián)合分布律為解二因(X，Y)在區(qū)域G上服從均勻分布，G的面積SG=2，故其概率密度函數(shù)為因而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．知識點解析：暫無解析10、U和V的相關系數(shù)ρ．標準答案：解一將(U，V)的聯(lián)合分布律改寫成下述同一表格的形式：于是E(U)=3／4，E(V)=1／2，E(UV)=1／2，E(U2)=3／4，E(V2)=1／2．因而D(U)=E(U2)－[E(U)]2=3／4－9／16=3／16，D(V)=E(V2)－[E(V)]2=1／2－1／4=1／4，cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=1／2－(3／4)(1／2)=1／8，解二由(U，V)的聯(lián)合分布律及U、V的分布律，由命題3．3．1．3知，U服從參數(shù)為p1=3／4的0-1分布，故E(U)=p1=3／4，D(U)=p1(1－p1)=3／16；V服從參數(shù)為p2=1／2的0-1分布，故E(V)=p2=1／1D(V)=p2(1－p2)=1／4．而E(UV)=P(U=1，V=1)=1／2，故注：命題3．3．1．3已知(X1，X2)的聯(lián)合分布律，其中單個隨機變量X1與X2分別服從參數(shù)為p1，p2的0-1分布，則E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（解答題）專項練習試卷第8套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、證明：D=標準答案：知識點解析：暫無解析2、設袋中有7紅6白13個球，現(xiàn)從中隨機取5個球，分(1)不放回；(2)放回兩種情形下，寫出這5個球為3紅2白的概率(寫出計算式即可)．標準答案：知識點解析：暫無解析3、設f(x)在[0，1]二階可導，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b為非負常數(shù)，求證：對任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．標準答案：考察帶拉格朗日余項的一階泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f"(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0<θ<1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+f"(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f"(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面兩式相減得f(1)一f(0)=f，(c)+[f"(ξ2)(1一c)2一f"(ξ1)c2]．從而f’(c)=f(1)一f(0)+[f"(ξ1)c2一f"(ξ2)(1一c)2]，兩端取絕對值并放大即得其中利用了對任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．知識點解析：證明與函數(shù)的導數(shù)在某一點取值有關的不等式時，常常需要利用函數(shù)在某點的泰勒展開式．本題涉及證明｜f’(c)｜≤2a+，自然聯(lián)想到將f(x)在點x=c處展開．4、設函數(shù)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．標準答案：令u=2x－t，則t=2x－u，dt=－du．當t=0時，u=2x；當t=x時，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,兩邊對x求導，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=．知識點解析：暫無解析5、計算不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析6、設y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．標準答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(tǒng)(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt知識點解析：暫無解析7、設a1=2，證明：標準答案：(1)顯然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：對任意的非負數(shù)x，y必有x+y≥易知因此{an}單調遞減且有下界，故極限存在．知識點解析：暫無解析8、標準答案：知識點解析：暫無解析一電子儀器由兩個部件構成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命(單位：千小時)．已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為9、問X與Y是否相互獨立?標準答案：解一設X，Y的分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則故當x≥0，y≥0時，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而當x＞0或y＜0時，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以對任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，則X與Y獨立．解二先求出(X，Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x，y)及邊緣密度fX(x)，fY(y)．當x≥0，y≥0時，有于是有因而同理，可求得易驗證對x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．對x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故對任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命題3．3．5．1(1)知，X與Y相互獨立．注：命題3．3．5．1(1)對任意二維隨機變量(X，Y)，有X，Y相互獨立對任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互獨立對任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．知識點解析：暫無解析10、求兩個部件的壽命都超過100小時的概α．標準答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)(因X，Y相互獨立)=[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)]=e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互獨立，故解三由上題的解一知，X，Y相互獨立，