2024-2025學年湖北省部分重點高中高三“綿陽三診”熱身考試數(shù)學試題含解析

2024-2025學年湖北省部分重點高中高三“綿陽三診”熱身考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項和中最小的是（）A．或 B． C． D．3．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．14．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．5．設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．6．設等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A． B． C． D．7．平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．8．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．10．若的展開式中的常數(shù)項為-12，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．311．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．12．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前項和為，，且，則__________.14．已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點，則雙曲線的標準方程為______.15．在中，、的坐標分別為，，且滿足，為坐標原點，若點的坐標為，則的取值范圍為__________.16．已知數(shù)列的前項和且，設，則的值等于_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Sn．18．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，求的值．20．（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A．B兩套設備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A，B兩套設備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測某一項質(zhì)量指標值，若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1：A設備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1：B設備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標值頻數(shù)2184814162（1）請估計A．B設備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標值落在內(nèi)的定為一等品，每件利潤240元；質(zhì)量指標值落在或內(nèi)的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A，B兩套設備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟效益的角度考慮企業(yè)應該對哪一套設備加大生產(chǎn)規(guī)模？21．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.22．（10分）某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M

），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離為1

（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．（1）在圖②中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求棧道AB的方程；（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標系中，寫出觀測點P的坐標．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以（逆否命題）必要性成立當，不充分故是必要不充分條件，答案選B本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.2．C【解析】

設公差為，則由題意可得，解得，可得.令

，可得

當時，，當時，，由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設公差為，

則，解得

，.

令

，可得，故當時，，當時，，

故數(shù)列前項和中最小的是.故選：C.本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題.3．D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標表示即可求解．【詳解】因為，且，，則．故選：．本題主要考查了向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．4．B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．5．B【解析】

求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當時，，，，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.6．C【解析】

求得等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，，因此，.故選：C.本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，解答的關鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.7．C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.8．A【解析】

在中，設，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.9．B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，屬于基礎題．10．C【解析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數(shù)項為：，解得，故選：C.本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.11．C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.12．C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意知，繼而利用等比數(shù)列的前項和為的公式代入求值即可.【詳解】解：由題意知，所以.故答案為：.本題考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式，屬于中檔題.14．【解析】

設以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點，能求出雙曲線方程．【詳解】解：設以直線為漸近線的雙曲線的方程為，∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點，∴，∴雙曲線方程為，故答案為：．本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題．15．【解析】

由正弦定理可得點在曲線上，設，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點在曲線上，設，則，，又，，因為，則，即的取值范圍為.故答案為：.本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生計算能力，有一定的綜合性，但難度不大.16．7【解析】

根據(jù)題意，當時，，可得，進而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計算可得，進而可得結(jié)論.【詳解】由題意，當時，，又，解得，當時，由，所以，，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，又，，所以，.故答案為：.本題考查了數(shù)列遞推關系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯位相減法求出，運用分析法證明即可.【詳解】（Ⅰ），當為奇數(shù)時，，又由，得，當為偶數(shù)時，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.本題主要考查了由遞推公式求通項公式，錯位相減法求前項和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學生的運算求解與邏輯推理能力.18．（1），；（2）【解析】

（1）先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程，再分別求出極坐標方程；（2）寫出點M和點N的極坐標，根據(jù)極徑的定義分別表示出和，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解：（1），，即極坐標方程為，，極坐標方程．（2）由題可知，，當時，.本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.19．（1）（2）【解析】

（1）當時，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因為函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，所以，解得，當時，，函數(shù)的圖象與軸沒有交點，不符合題意；當時，，函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，符合題意．綜上，可得．20．（1）30.2，29；（2）B設備【解析】

（1）平均數(shù)的估計值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注意指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品，列出A、B設備利潤分布列，算出期望即可作出決策.【詳解】（1）A設備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標值頻數(shù)41640121810.根據(jù)樣本質(zhì)量指標平均值估計A設備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標平均值為30.2.B設備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標值頻數(shù)2184814162根據(jù)樣本質(zhì)量指標平均值估計B設備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標平均值為29.（2）A設備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為X，B設備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為Y，X240180120PY240180120P若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤作為決策依據(jù)，企業(yè)應加大B設備的生產(chǎn)規(guī)模.本題考查平均數(shù)的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統(tǒng)計綜合題，本題是一道中檔題.21．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點到平面的距離，由是中點，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，由，，得三點共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點到平面的距離，因為是中點，所以為到平面的距離，因為與平面所成的角的正弦值為，即，解得.本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運算求解的能力，屬于中檔題.22．（1）見解析，，x[0，1]；（2）P(，)時，視角∠EPF最大．【解析】

（1）以A為原點，l1為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建系，