2024-2025學(xué)年黑龍江省友誼縣紅興隆管理局第一高級(jí)中學(xué)下學(xué)期高三期末檢測(cè)試題考試數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025學(xué)年黑龍江省友誼縣紅興隆管理局第一高級(jí)中學(xué)下學(xué)期高三期末檢測(cè)試題考試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．3．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12804．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、5．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A． B．C． D．6．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形，俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．10．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．11．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．14．“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機(jī)選出一種，若相同則平局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适莀_____.15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見(jiàn)，譬如“憋臑”意指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為_(kāi)_________．16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，其中為左焦點(diǎn).點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，若不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).21．（12分）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.22．（10分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）若，證明：．（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，可得含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬基礎(chǔ)題.3．A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為：化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為：A.求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).4．A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.5．A【解析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸），設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6．A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.7．A【解析】由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為故答案為A.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.8．B【解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計(jì)算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．9．D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.10．A【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè)，再利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè)，具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，有以下3種位置1____，__1__，____1．剩下2個(gè)空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都是，但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為，事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：個(gè)．故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，.故選：A本題考查了分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題11．B【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.12．B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?，所以不合題意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見(jiàn)方法為排除法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數(shù)有意義,則,即.則定義域?yàn)?.故答案為:本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.14．【解析】

用樹(shù)狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù)，再計(jì)算即得.【詳解】由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為.故答案為：本題考查隨機(jī)事件的概率，是基礎(chǔ)題.15．【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個(gè)面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點(diǎn).所以，，填?！军c(diǎn)睛】三視圖還原，當(dāng)出現(xiàn)三個(gè)尖點(diǎn)在一個(gè)位置時(shí)，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，所以本題的球心為AC中點(diǎn)。16．【解析】

設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得到，從而有，根據(jù)，得到，再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義得，由雙曲線的定義得，所以，因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切危?，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，即，而，因?yàn)?，所以在上遞增，所以.故答案為：本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）將有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相異實(shí)根，令求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立，令，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，求出其最值即可得結(jié)果.【詳解】（1）有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根由，知有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，，原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立對(duì)一切恒成立.令令，，則在上單增又，，使即①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在遞減，在遞增，由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問(wèn)題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.18．矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為v本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點(diǎn)在切線上以及斜率等于，構(gòu)造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程的兩個(gè)正根，，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當(dāng)時(shí)，，，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，是方程的兩個(gè)正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.20．（1）；（2）最小值為，此時(shí)【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程.利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標(biāo)方程是（2）設(shè)，的最小值就是點(diǎn)到直線的最小距離.設(shè)在時(shí)，，是最小值，此時(shí)，所以，所求最小值為，此時(shí)本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值，屬于中檔題.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ），，兩式相減化簡(jiǎn)整理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）由題設(shè)可得，可得，利用錯(cuò)位相減法即可得出．【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)?，故，兩式相減可得，，故，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，∴，又，所以，故，所以；（Ⅱ）由題設(shè)可得