2024-2025學(xué)年通化市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷卷數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025學(xué)年通化市重點(diǎn)中學(xué)高三下學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，則等于（）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．若時(shí)，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．5．達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若所有點(diǎn)，所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，則（）A． B． C．1 D．7．已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為（）A． B． C． D．8．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“3+2+1”模式，即“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種9．已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的解集是（）A． B．C． D．11．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度，若，，則（）A． B．C．6 D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過(guò)點(diǎn)作小圓的切線交大圓于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，點(diǎn)為劣弧上的任一點(diǎn)（不包括兩點(diǎn)），則的最大值是__________．14．電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無(wú)悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第2個(gè)盒子里放的是丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是小明說(shuō)：“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為_(kāi)________15．過(guò)動(dòng)點(diǎn)作圓：的切線，其中為切點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值是__________．16．若，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2018年9月，臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國(guó)多個(gè)省市登陸，造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成五組：，，，，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議，為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶，現(xiàn)從這50戶并且損失超過(guò)4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花，為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：（記纖維長(zhǎng)度不低于311的為“長(zhǎng)纖維”，其余為“短纖維”）纖維長(zhǎng)度甲地（根數(shù)）34454乙地（根數(shù)）112116（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)1.125的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)附：（1）；（2）臨界值表；1．111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長(zhǎng)度是否為“長(zhǎng)纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測(cè)，在這8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知橢圓的離心率為，直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(均異于左、右頂點(diǎn)).（1）求橢圓的方程；（2）已知直線,為橢圓的右頂點(diǎn).若直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，試判斷是否為定值，若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.20．（12分）[選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求取最大值時(shí)的值21．（12分）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，，求證：若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.22．（10分）在中，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由于為純虛數(shù)，則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中，實(shí)部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，得所以.故選A項(xiàng)本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念，屬于簡(jiǎn)單題.2．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以是減函數(shù)，又因?yàn)椋?，，所以，，所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.3．D【解析】

由題得對(duì)恒成立，令，然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對(duì)恒成立，令，在單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又在單調(diào)遞增，，的取值范圍為.故選：D本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問(wèn)題，可采用參變量分離法去求解.4．D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱，排除AB，計(jì)算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.5．A【解析】

由已知，設(shè)．可得．于是可得，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，設(shè)．則．，．設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為．則，．故選：A．本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6．D【解析】

依題意，可得，在上單調(diào)遞增，于是可得在上的值域?yàn)?，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因?yàn)椋?，所以，在上單調(diào)遞增，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，所以，解得，故選：D.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．B【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形，平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?，所?所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為.故選：B本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.8．C【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有種組合；因此共有種組合.故選C本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，熟記其計(jì)數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.9．C【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積．10．B【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時(shí)的解析式和，進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在處有意義時(shí)，的情況.11．D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.12．D【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選：D.本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，從而可得、，，，然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設(shè)，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、利用向量解決幾何問(wèn)題，同時(shí)考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.14．A或D【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：假設(shè)甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則乙說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是；假設(shè)甲說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是．故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或．故答案為：或本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題．15．【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關(guān)系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點(diǎn)到直線的距離公式得：MN的最小值為：.16．【解析】

因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，又，所以，所?.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）3360元；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算每個(gè)農(nóng)戶的平均損失；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算隨機(jī)變量X的可能取值，再求X的分布列和數(shù)學(xué)期望值．【詳解】（1）記每個(gè)農(nóng)戶的平均損失為元，則；（2）由頻率分布直方圖，可得損失超過(guò)1000元的農(nóng)戶共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（戶），損失超過(guò)8000元的農(nóng)戶共有0.00003×2000×50＝3（戶），隨機(jī)抽取2戶，則X的可能取值為0，1，2；計(jì)算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為；X012P數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×＝．本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題．18．（1）在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表，利用列聯(lián)表求出，結(jié)合所給數(shù)據(jù)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)可作出判斷；（2）寫出的所有可能取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，可列出分布列并進(jìn)一步求出的數(shù)學(xué)期望．試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維91625短纖維11415總計(jì)212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得所以，在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”．（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為，的可能取值為：1,1,2,3，，，，．∴的分布列為：1123∴．19．（1）（2）定值為0.【解析】

（1）根據(jù)直線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，即得c，再根據(jù)離心率得，（2）先設(shè)直線方程以及各點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),所以，因?yàn)殡x心率為，所以，（2），設(shè)直線，則因此由得，所以，因此即本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20．(1)的極坐標(biāo)方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程，再由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式得到一般方程，將代入得，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，，將分別代入曲線、極坐標(biāo)方程得：，，，之后進(jìn)行化一，可得到最值，此時(shí)，可求解.【詳解】（1）由得，將代入得：，故曲線的極坐