高中數(shù)學知識點總結(jié)

數(shù)

學

知

識

點

總

結(jié)

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念及基本初等函數(shù)（指、對、嘉函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3:算法初步、統(tǒng)計、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面對量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個中學學生所必需學習的。

上述內(nèi)容覆蓋了中學階段傳統(tǒng)的數(shù)學基礎學問和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、

不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時，進一步強

調(diào)了這些學問的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應用，而不在技巧及難度上做過高的要求。

此外，基礎內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：

系列1：由2個模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線及方程、導數(shù)及其應用。

選修1—2：統(tǒng)計案例、推理及證明、數(shù)系的擴充及復數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線及方程、

空間向量及立體幾何。

選修2—2：導數(shù)及其應用，推理及證明、數(shù)系的擴充及復數(shù)

選修2—3：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。

系列3：由6個專題組成。

選修3—1：數(shù)學史選講。

選修3—2：信息平安及密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱及群。

選修3—5：歐拉公式及閉曲面分類。

選修3—6：三等分角及數(shù)域擴充。

系列4：由10個專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4一2：矩陣及變換。

選修4—3：數(shù)列及差分。

選修4—4：坐標系及參數(shù)方程。

選修4一5：不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法及試驗設計初步。

選修4一8：統(tǒng)籌法及圖論初步。

選修4一9：風險及決策。

選修4一10：開關電路及布爾代數(shù)。

2.重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面對量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù)

難點：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關考點：

⑴集合及簡易邏輯：集合的概念及運算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射及函數(shù)、函數(shù)解析式及定義域、值域及最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)及指數(shù)

函數(shù)、對數(shù)及對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用

（4）三角函數(shù)：有關概念、同角關系及誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的

圖象及性質(zhì)、三角函數(shù)的應用

⑸平面對量：有關概念及初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用

⑹不等式：概念及性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、肯定值不等式、不等式的應用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線及圓的位置關系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線及圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用

⑼直線、平面、簡潔幾何體：空間直線、直線及平面、平面及平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

?概率及統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用

?復數(shù)：復數(shù)的概念及運算

中學數(shù)學必修1學問點

第一章集合及函數(shù)概念

K1.12集合

[1.1.1]集合的含義及表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或M表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，A表示實數(shù)集.

(3)集合及元素間的關系

對象a及集合”的關系是aeM,或者兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集

(0).

[1.1.2)集合間的基本關系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

A^B(DACA

(或A中的任一元素都(2)0QA

子集或

屬于B(3)若A=3且8=C,則A=C

(4)若A=5且BQA,則A=B

4a且B中至(1)0uA(A為非空子集)

AuB

真子集*少有一元素不屬于

(2)若AuB且3uC,則AuC

(或A*工*

BnA)

A中的任一元素都

集合(DACB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BcA

一元素都屬于A

（7）已知集合A有〃（"21）個元素，則它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它有2"-1個非空子集，它有2"-2非空

真子集.

[1.1.3]集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(1)AA=A

[x\xeA,且

Af|B(2)A0=0

交集

(3)4BeA

xeB]

AByBGD

(1)AA=A

{X|XG4,或

A|JB(2)A0=A

并集

(3)ABoA

XGB}

AB2BC?

1A@A)=0*

{x\xeA]旗A8)=(")”8)

補集

賴A8)=(“A)(”)2A(QX)=U)④

【補充學問】含肯定值的不等式及一元二次不等式的解法

（1）含肯定值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0)[x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)x\x<-a^Lx>a}

把ox+〃看成一個整體，化成|x|＜。，

Iax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|＞。（。＞0）型不等式來求解

（2）一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

△=〃-4ac

y

二次函數(shù)Ij

y=ax2+bx+c(a>0)

0*口

的圖象

一元二次方程

ax2+bx+c-0（?＞0）（其中為＜z）無實根

的根

1

ax+bx+c>0(a>0){x\x<x1或XAxJ{x|R

的解集

ax2+0x+c＜0（。＞0）

{x|Xj<x<x2}00

的解集

K1.23函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設A、3是兩個非空的數(shù)集，假如依據(jù)某種對應法則/,對于集合A中任何一個數(shù)X,在集合B中都有唯一確

定的數(shù),f(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,B以及A到8的對應法則/)叫做集合A到B的一個函

數(shù)，記作

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則.

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設。是兩個實數(shù)，且。＜。，滿意人的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做必,切；滿意。＜》＜匕的實數(shù)x

的集合叫做開區(qū)間，記做(a,。)；滿意或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做年功)，

(〃,加；滿意x2a,x＞a,xW匕,x＜匕的實數(shù)x的集合分別記做[a,+oo),(a,+oo),(-oo,.

留意：對于集合｛x[a＜x＜。｝及區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于"，而后者必需

。＜》，(前者可以不成立，為空集；而后者必需成立).

(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③/(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，.

⑥零(負)指數(shù)基的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交

集.

⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域為必,切，其復合函數(shù)/[g(x)]的定義域應由不

等式a4g(x)4Z?解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，依據(jù)問題詳細狀況需對字母參數(shù)進行分類探討.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，假如在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),

這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值及值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域

及最值的常用方法：

①視察法：對于比較簡潔的函數(shù)，我們可以通過視察干脆得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式及常數(shù)的和，然后依據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=f(x)可以化成一個系數(shù)含有)，的關于x的二次方程a(y)x2+伙y)x+c(y)=O,則在

a(y)/O時，由于為實數(shù)，故必需有△=4a(y)-c(y)?O,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最

值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域及值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.21函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關

系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

(6)映射的概念

①設4、8是兩個集合，假如依據(jù)某種對應法則/,對于集合A中任何一個元素，在集合8中都有唯一的元素和

它對應，那么這樣的對應(包括集合A,8以及A到8的對應法則f)叫做集合A到B的映射，記作了:A,3.

②給定一個集合A到集合3的映射，且aeAAwB.假如元素a和元素匕對應，那么我們把元素匕叫做元素”的

象，元素”叫做元素6的原象.

K1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性及最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

假如對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的隨意兩個二)(2)利用已知函數(shù)

自變量的值X|、X2,當之、的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象

X2時，都有f(X[)<f(X2),f(Xj

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

01~xTx一x象上升為增)

間上是增圖數(shù)A2A

函數(shù)的(4)利用復合函數(shù)

單調(diào)性假如對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個區(qū)間上的隨意兩個yy=f(X)(2)利用已知函數(shù)

自變量的值Xi、X2,當X1<f(x?的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象

X2時，都有f(X1)>f(x2),

(在某個區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個區(qū)

0Xix,X象下降為減)

間上是誠酉教.

(4)利用復合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函

數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復合函數(shù)y=/Tg(x)],令〃=g(x),若y=為增，“=g(x)為增，則y=/Tg(x)]為增；若y=/(〃)

為減，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(u)為增，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為減；若y=/(〃)

為減，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為減.

(2)打“J”函數(shù)的圖象及性質(zhì)

y

/(x)分別在［6,8。)上為增函數(shù)，分別在

［—6,0)、(0,6］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,假如存在實數(shù)Mf滿

X

意：(1)對于隨意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)

/(x)的最大值，記作_4空。)=".

②一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,假如存在實數(shù)機滿意：(1)對于隨意的xe/,都有/(x)Nm；(2)

存在x(,e/,使得/(與)=m.那么，我們稱機是函數(shù)f(x)的最小值，記作7max(x)=m-

［1.3.2］奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

假如對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)隨意一個X,都有(a,f(a))先推斷定義域是否

?一整亍［！g),那么函數(shù)rr.關于原點對稱)

一a

f(x)叫做奇用數(shù).oax(2)利用圖象(圖

象關于原點對稱)

(-a.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性假如對于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)隨意一個X,都有先推斷定義域是否

(-a,f(-a)).(a.f(a))

f(—x)=f(X)，那么函數(shù)關于原點對稱)

f(x)叫做假發(fā)裝.(2)利用圖象(圖

-adax象關于y軸對稱)

②若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的

積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)及一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

R補充學問】函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③探討函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要精確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖

象.

①平移變換

-"＞o,左移〃個單■位＞1，一f(x+h)v—f(x］—1＞。，上移"個單位〉丫_+Z

)v一八“松。,右移㈤個單位＞y-j(x+n)y-jw-o.卜?移出個單位＞y-jw+K

②伸縮變換

y=/(x)畸患〉y=/3)

0<4<1.縮?y=4/(x)

y=/(x)4>1,伸

③對稱變換

y=/(x)」Uy=-/(x)y=/(x)，軸>y=/(-x)

y=/(X)原點>y=y=/(x)直線尸|>y=

去掉y軸左邊圖象

y=f(x)俁由>軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象?y=/(|x|)

彳呆留.飾hl二方圖象、?ft\?

>=f(x)將遒由下方圖象翻折上去‘y力八切

(2)識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、改變趨勢、對稱性等方面探討函數(shù)的定義域、值域、單

調(diào)性、奇偶性，留意圖象及函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為探討數(shù)量關系問題供應了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)

果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

其次章基本初等函數(shù)(I)

K2.12指數(shù)函數(shù)

(2.1.1]指數(shù)及指數(shù)新的運算

(1)根式的概念

①假如x"=a,a€R,x€R,〃>l,且〃€乂，那么x叫做a的〃次方根.當〃是奇數(shù)時，。的〃次方根用符號

心表示；當“是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的〃次方根用符號板表示，負的〃次方根用符號4表示；0的〃次方根

是0；負數(shù)。沒有〃次方根.

②式子標叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當n為奇數(shù)時，a為隨意實數(shù)：當n為偶數(shù)時，?>0.

③根式的性質(zhì)：(標)"=a；當〃為奇數(shù)時，V7=a；當〃為偶數(shù)時，技=|。|=,".

[-a(a<0)

(2)分數(shù)指數(shù)哥的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是：41=痂(4>0,m,〃€"+，且〃>1).0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)基的意義是：/7=(L)；=N+，且”>1).0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有

aVa

意義.留意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

①/?〃$=優(yōu)+'(。>0/,s￡R)②(優(yōu))s=a^(a>0,r,seR)

③(aby=arbr(a>0,/?>O,reR)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù))，=ax{a>0且a工1)叫做指數(shù)函數(shù)

JTv=wI\v=ay

a>10<?<1

圖象

定義域R

值域(0,+oo)

過定點圖象過定點(0,1)，即當x=0時，y=\.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

函數(shù)值的

改變狀況

。改變對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在其次象限內(nèi)，。越大圖象越低.

K2.23對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)及對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義

①若，=N(a>0,且owl),則x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式及指數(shù)式的互化：x=log,,N=優(yōu)=N(a>0,a片1,N>0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

b

logfll=0,logfla=l,\ogaa=b.

(3)常用對數(shù)及自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即10gHlN；自然對數(shù)：數(shù)N,即log*(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)假如。>0,。*1,知>0,77>0,那么

M

①加法：log“M+log“N=log“(MV)②減法：logaM-log?N=log?—

③數(shù)乘：〃log“V=log“AT5eR)④-N=N

⑤log“M"=41og〃MSwO,z?eR)⑥換底公式：108“雙=獨23>(),且/,片1)

blogAa

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log”x(a>0且。工1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<〃<1

yn\;xl>J=iog?x\X=1

y；J=log.X

r

圖象

\：(1,0)

0|/：(1,0)x0

定義域(0,+oo)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+CO)上是減函數(shù)

函數(shù)值的

改變狀況

a改變對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設函數(shù)y=f(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=/(x)中解出X,得式子x=/(y).假如對于y在C中

的任何一個值，通過式子x=0(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x=°(y)表示x是y的函數(shù)，

函數(shù)尤=G(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習慣上改寫成y=/共口.

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=r'(y)改寫成y=廣'(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(x)及反函數(shù)y=尸(x)的圖象關于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/7(x)的值域、定義域.

③若P(a,h)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則P'S,。)在反函數(shù)y=r'(幻的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必需為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)累函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做幕函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

（2）幕函數(shù)的圖象

（3）棄函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限（圖

象關于y軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關于原點對稱）；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第

一象限.

②過定點：全部的器函數(shù)在（0,+。。）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③單調(diào)性：假如a>0,則箱函數(shù)的圖象過原點，并且在L0,+o。）上為增函數(shù).假如a<0,則基函數(shù)的圖象在（0,+8）

上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸及y軸.

④奇偶性：當a為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當a為偶數(shù)時，幕函數(shù)為偶函數(shù).當（其中〃國互質(zhì)，p和geZ）,若

幺1

p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x〃是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y=x0是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則

1

y=X0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：幕函數(shù)y=x",%e(0,+oo),當a>l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若x〉l,其圖象在直

線y=x上方，當a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若龍〉1,其圖象在直線y=x下方.

K補充學問》二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(x)="2+法+c(a#0)②頂點式：.f(x)=a(x-/^)2+Z(a*0)③兩根式：

求二次函數(shù)解析式的方法

/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a0)(2)

①己知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或及對稱軸有關或及最大(小)值有關時，常運用頂點式.

③若已知拋物線及x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/(x)更便利.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(x)=ax1+bx+c(a豐0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是.

②當。>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；當“<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在

上遞減，當時，.

③二次函數(shù)/(x)-ax2+bx+c(a^0)當△=/??-4ac>0時，圖象及x軸有兩個交點

1?1

(4)一元二次方程內(nèi)2+云+。=0(。40)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分學問在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整,

且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根及系數(shù)關系定理(韋達定理)的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，

系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設一元二次方程or?+bx+c=0(ax0)的兩實根為％,毛，且為4W.令f(x)=ox?+bx+c,從以下四個方面來

分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：③判別式：△④端點函數(shù)值符號.

②K\Wxz〈kO

⑤有且僅有一個根x,(或檢)滿意怎〈?(或檢)<feo/a,)/(fe)<0,并同時考慮了(h)=o或/(他)=o

這兩種狀況是否也符合

?ki<Xi<Xi<pzO

此結(jié)論可干脆由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=a?+笈+c(“wO)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設/")在區(qū)間［",4］上的最大值為M,最小值為加，令.

(I)當。>0時(開口向上)

①若，則機=/(p)②若，則③若，則m=/(q)

①若，則M=/(q)②，則”=/(p)

(H)當a<0時(開口向下)

①若，則M=/(p)②若，則③若，則M=/(q)

第三章函數(shù)的應用

一、方程的根及函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=/(x)(xe￡>),把使/(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xe。)的零

點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象及x軸交點

的橫坐標。即:

方程/(x)=0有實數(shù)根o函數(shù))，=/(x)的圖象及x軸有交點o函數(shù))=/(x)有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

求函數(shù))=/*)的零點：

①(代數(shù)法)求方程f(x)=0的實數(shù)根；

(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它及函數(shù)曠=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找

出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y-ax~+bx+c(ah0).

1)A>0,方程"2+"+c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象及x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.

2)A-0,方程a/+6x+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象及x軸有一個交點，二次函數(shù)有

一個二重零點或二階零點.

3)A<0,方程ax2+6x+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象及x軸無交點，二次函數(shù)無零點.

中學數(shù)學必修2學問點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構特征

A

底面

(1)棱柱：定義：有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所

圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDE-AAC力E'或用對角線的端點字母，如五棱柱A?！?/p>

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面

是及底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐尸一AAC力E

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于頂點到截面距離及高的比的平方。

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺「一A'8'C力E

幾何特征：①上下底面是相像的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線及軸平行；③軸及底面圓的半徑垂直；④側(cè)面綻開圖是一個矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的兒何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面綻開圖是一個扇形。

(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面綻開圖是一個弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上隨意一點到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標軸的線依舊平行于坐標軸；

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積及體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積S=2m-/+2m,3圓錐的表面積S=mV+R'

4圓臺的表面積5=河/+成2+冰/+成25球的表面積S=4成?

(二)空間幾何體的體積

1柱體的體積^=5底乂力2錐體的體積

3臺體的體積3=g(S上+內(nèi)S卜+SQxJ4球體的體積

其次章直線及平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、6、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者

相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，

符號表示為

AEL

BEL=>LCa

AEa

BEa

公理1作用：推斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,

使AWa、Bea、CWa。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

(3)公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：peanp=〉anB=L,且PGL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線及直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點;

共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行。

符號表示為：設a、b、c是三條直線

a//b=>a//c

c〃b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這特性質(zhì)都適用。

公理4作用：推斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補

4留意點：

①a'及b’所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，及。的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條

上；

②兩條異面直線所成的角()型(0,)；

③當兩條異面直線所成的角層直角時，我們就說這兩條異面直線相互垂直，記作a，b；

④兩條直線相互垂直，有共面垂直及異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線及平面、平面及平面之間的位置關系

1、直線及平面有三種位置關系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有多數(shù)個公共點

(2)直線及平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線及平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來表示

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線及平面平行的判定

1、直線及平面平行的判定定理：平面外一條直線及此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線及此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

bC0｝二＞a〃Q

2.2.2平面及平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線及另一個平面平行，則這兩個平面平行。

，b一一。/符號表示：

/力二/C

ICB

b〃a」

2、推斷兩平面平行的方法有三種：

(1)用定義；

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線及平面、平面及平面平行的性質(zhì)

1,定理：一條直線及一個平面平行，則過這條直線的任一平面及此平面的交線及該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。f------------------\

符號表示：?\

b

a〃Q]

au8?a〃b

anP=b-

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：假如兩個平面同時及第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表示：

a〃B】

any=a卜a//b

BCY=b-

作用：可以由平面及平面平行得出直線及直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線及平面垂直的判定

1、定義

假如直線L及平面a內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線L及平面a相互垂直，記作L，a,直線L叫做平面

a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線及平面垂直時,它們唯一公共點P