福建省龍巖市一級(jí)達(dá)標(biāo)校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE21-福建省龍巖市一級(jí)達(dá)標(biāo)校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題1.已知集合，集合，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得集合，結(jié)合集合的補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，集合，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示，以及集合的運(yùn)算，其中解答中正確表示集合，集合的補(bǔ)集的概念，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.的值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】干脆利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【詳解】．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題．3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，對(duì)于A中，依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以不正確；對(duì)于B中，依據(jù)三角型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以不正確；對(duì)于C中，函數(shù)，可得，所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，又由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；對(duì)于D中，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為上單調(diào)遞減函數(shù)，所以不正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的判定方法，以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的最小正周期是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】干脆利用函數(shù)的周期公式求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期性，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知，則()A. B. C. D.6【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，精確運(yùn)算，即可求解，得到答案.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)，解得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)求解問(wèn)題，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知在扇形AOB中，，弦AB的長(zhǎng)為2，則該扇形的周長(zhǎng)為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件求出，再求出弧的長(zhǎng)，即可求解扇形的周長(zhǎng)，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，且，所以，即，由弧長(zhǎng)公式，可得弧的長(zhǎng)為，所以扇形的周長(zhǎng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，其中解答中作出圖形，求得扇形所在圓的半徑，精確利用扇形的弧長(zhǎng)公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，，，是邊上的中線(xiàn)，則（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】將作為基底表示,再求解即可.【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了基底向量的用法,屬于基礎(chǔ)題型.8.關(guān)于狄利克雷函數(shù)，下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.的值域是 B.是偶函數(shù)C.是奇函數(shù) D.隨意，都有【答案】C【解析】【分析】A．由函數(shù)解析式干脆推斷.B．分是無(wú)理數(shù)和是有理數(shù)，兩種狀況依據(jù)奇偶性的定義探討.C．與B用相同的方法推斷.D．分是無(wú)理數(shù)和是有理數(shù)，兩種狀況，從內(nèi)函數(shù)到外函數(shù)探討.【詳解】A．由函數(shù)解析式干脆得到值域?yàn)?，故A正確，B．若是無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)，此時(shí)，若是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，此時(shí)，綜上恒成立，故函數(shù)是偶函數(shù)，故B正確，C．由B知函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D．若有理數(shù)，則，，若是無(wú)理數(shù)，則，，故D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的基本性質(zhì)，還考查了分類(lèi)探討，理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)，則（）A.4 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的解析式，及對(duì)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】解：函數(shù)，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知向量，，其中，，，則在方向上的投影為()A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由向量的模的公式，化簡(jiǎn)得，，求得，，再結(jié)合向量的投影的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)聯(lián)立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的投影的計(jì)算，其中解答中熟記向量的投影的概念，以及嫻熟應(yīng)用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上隨意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交其圖象于另一點(diǎn)（，可重合），設(shè)線(xiàn)段的長(zhǎng)為，則函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，依據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出的坐標(biāo)，得到線(xiàn)段的長(zhǎng)的函數(shù)模型再進(jìn)行推斷．【詳解】因?yàn)?，如圖：設(shè)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則對(duì)應(yīng)的圖象為D，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，還考查了理解辨析函數(shù)的圖象的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式綻開(kāi)得，依據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求得，平方處理求得，考慮角的范圍即可得解.【詳解】∵即，又∵，∵，解得或，所以，平方得所以，.∵，∴，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)求值問(wèn)題，關(guān)鍵在于依據(jù)已知條件求解三角函數(shù)的取值，嫻熟駕馭同角三角函數(shù)關(guān)系尤其是正余弦之和差積的轉(zhuǎn)化關(guān)系.二、填空題13.已知向量(﹣2,3),(x,1),若⊥,則實(shí)數(shù)x的值是_____.【答案】【解析】【分析】已知向量(﹣2，3)，(x，1)，依據(jù)⊥，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】已知向量(﹣2，3)，(x，1)，因?yàn)椤停越獾霉蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.，，，則從小到大的關(guān)系是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，從而得出的大小關(guān)系．【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因，所以，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，還考查了轉(zhuǎn)化問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.若，則______．【答案】16【解析】【分析】由，通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出，由此再求的值．要留意定義域.【詳解】∵，∴，解得，∴．故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)意，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)，在區(qū)間上有2024個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性及周期性及函數(shù)圖象的作法，分別作函數(shù)與的圖象，再視察交點(diǎn)即可得解【詳解】由，，聯(lián)立可得：，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，周期為2，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又的周期為2，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令函數(shù)，得，所以函數(shù)，在區(qū)間上有2024個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上有2024個(gè)零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如下：由圖象知：與在，上有4個(gè)交點(diǎn)，且在上，，，，因?yàn)楹瘮?shù)，在區(qū)間上有2024個(gè)零點(diǎn)，所以：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性及周期性及函數(shù)圖象的作法，屬中檔題．三、解答題17.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：0040（Ⅰ）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并干脆寫(xiě)出函數(shù)的解析式．（Ⅱ）若函數(shù)的值域?yàn)?，集合且，求?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析，（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)上表數(shù)據(jù)已有的數(shù)據(jù)求出，，，再依據(jù)五點(diǎn)法作圖，將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并干脆寫(xiě)出函數(shù)的解析式．（Ⅱ）由可得，先求出函數(shù)的值域，再利用子集關(guān)系求解.【詳解】（Ⅰ）依據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，易知，，，又因?yàn)辄c(diǎn)在圖象上，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以函?shù)表達(dá)式為．補(bǔ)全數(shù)據(jù)如下表：00400（Ⅱ）∵，∴，又，∴．依題意，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的部分圖象求解析式，集合的基本運(yùn)算，還考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題．18.已知，.（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系得出的值，利用半角公式求解即可；（2）由，的范圍得出的范圍，利用平方關(guān)系得出的值，再利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?從而.（2）因?yàn)?，，所以所?所以，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方關(guān)系，半角公式以及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若有最大值81，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（2）利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求出最大值，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域?yàn)?，．?）令，當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，又在上單調(diào)遞增，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．20.若，，且.（1）求函數(shù)的解析式及其對(duì)稱(chēng)中心；（2）函數(shù)的圖象是先將函數(shù)的圖象向左平個(gè)單位，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變得到的.求函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1），對(duì)稱(chēng)中心為（）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等改變即可求解；（2）依據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，，即可求解單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）依題意有，令，則，，∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（）.（2）由（1）得，，∴將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象.由（），即（），又，∴的單調(diào)增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性、以及函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.21.某投資人欲將5百萬(wàn)元資金投人甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品，依據(jù)銀行預(yù)料，甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品的收益與投入資金的關(guān)系式分別為，，其中為常數(shù)且．設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金百萬(wàn)元．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，如何進(jìn)行投資才能使得總收益最大；（總收益）（Ⅱ）銀行為了吸儲(chǔ)，考慮到投資人的收益，無(wú)論投資人資金如何安排，要使得總收益不低于0.45百萬(wàn)元，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）甲種產(chǎn)品投資4百萬(wàn)元，乙種產(chǎn)品投資1百萬(wàn)元時(shí)，總收益最大（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)求出總收益的解析式，結(jié)合一元二次函數(shù)最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（Ⅱ）依據(jù)題意可知對(duì)隨意恒成立，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即對(duì)隨意恒成立，再利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立求解．【詳解】（Ⅰ）設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金百萬(wàn)元，則對(duì)甲種產(chǎn)品投入資金百萬(wàn)元當(dāng)時(shí)，，令，則，，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸，∴當(dāng)時(shí)，總收益有最大值，此時(shí)，．即甲種產(chǎn)品投資4百萬(wàn)元，乙種產(chǎn)品投資1百萬(wàn)元時(shí)，總收益最大（Ⅱ）由題意知對(duì)隨意恒成立，即對(duì)隨意恒成立，令，設(shè)，則，則，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，∴，得，又，∴，②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，可得，符合題意，∴③當(dāng)，即時(shí)，易知在單調(diào)遞增，可得恒成立，，綜上可得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式恒成立問(wèn)題，利用一元二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性與區(qū)間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，還考查了分類(lèi)探討，運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.22.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)意：對(duì)于隨意實(shí)數(shù)都有恒成立，且當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）判定函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)從小到大分別為，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）在上為增函數(shù)；見(jiàn)解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)