新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第4章　§4.1　任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念（原卷版）

§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念考試要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)相反角：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23．任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點的任意一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．常用結(jié)論1．象限角2．軸線角思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)－eq\f(π,3)是第三象限角．()(2)若角α的終邊過點P(－3,4)，則cosα＝－eq\f(3,5).()(3)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．()(4)若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形面積為eq\f(3π,2).()教材改編題1.－660°等于()A．－eq\f(13,3)πrad B．－eq\f(25,6)πradC．－eq\f(11,3)πrad D．－eq\f(23,6)πrad2．某次考試時間為120分鐘，則從開始到結(jié)束，墻上時鐘的分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．3．已知角α的終邊經(jīng)過點P(2，－3)，則sinα＝________，tanα＝________.題型一角及其表示例1(1)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或在y軸負半軸上延伸探究若α是第一象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？(2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．思維升華確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．跟蹤訓(xùn)練1(1)“α是第四象限角”是“eq\f(α,2)是第二或第四象限角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)若點P(cosθ，sinθ)與點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))關(guān)于y軸對稱，寫出一個符合題意的θ＝________.題型二弧度制及其應(yīng)用例2已知一扇形的圓心角為α(α>0)，弧長為l，周長為C，面積為S，半徑為r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧長；(2)若C＝16cm，求S的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問題．跟蹤訓(xùn)練2某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，線段BA，CD與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度之和為30，圓心角為θ弧度．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值．題型三三角函數(shù)的概念例3(1)(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過點(－2，－eq\r(3))，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則下列選項正確的是()A．sinθ＝－eq\f(\r(21),7)B．α為鈍角C．cosα＝－eq\f(2\r(7),7)D．點(tanθ，sinα)在第一象限(2)已知角θ的終邊經(jīng)過點(2a＋1，a－2)，且cosθ＝eq\f(3,5)，則實數(shù)a的值是()A．－2 B.eq\f(2,11)C．－2或eq\f(2,11) D．1(3)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)>0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點P的坐標．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)若角α的終邊上有一點P(a,2a)(a≠0)，則2sinα－cosα的值是()A．－eq\f(3\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D.eq\f(3\r(5),5)或－eq\f(3\r(5),5)(2)sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在(3)若A(1，a)是角θ終邊上的一點，且sinθ＝eq\f(\r(33),6)，則實數(shù)a的值為________．課時精練1．與－2023°終邊相同的最小正角是()A．137°B．133°C．57°D．43°2．在平面直角坐標系中，若角θ的終邊經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin

\f(π,6)，cos

\f(π,3)))，則cosθ等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)3．如圖所示的時鐘顯示的時刻為4：30，此時時針與分針的夾角為α(0<α≤π)．若一個半徑為1的扇形的圓心角為α，則該扇形的面積為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D.eq\f(π,16)4．如果點P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，順利將探測器送入預(yù)定軌道，經(jīng)過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月球表面400千米，已知月球半徑約為1738千米，則嫦娥五號繞月每旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，飛過的路程約為(取π≈3.14)()A．1069千米 B．1119千米C．2138千米 D．2238千米6.屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯到漢代．某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為3.6m，內(nèi)環(huán)弧長為1.2m，徑長(外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差)為1.2m，若不計外框，則扇環(huán)內(nèi)需要進行工藝制作的面積的估計值為()A．2.58m2 B．2.68m2C．2.78m2 D．2.88m27．已知角α的終邊上一點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(5π,6)，cos

\f(5π,6)))，則角α的最小正值為________．8.數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是________．9．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義．(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O為坐標原點)，求m的值及sinα的值．10．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于點A(1,0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標為－eq\f(1,2)，求sinα的值和與角α終邊相同的角β的集合；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式．(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形)11．在平面直角坐標系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為()A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)12．(多選)已知點P(sinx－cosx，－3)在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(9π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))13．已知△ABC為銳角三角形，若角θ的終邊過點P(sinA－cosB，cosA－sinC)，則eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1B．－1C．3D．－314．在北京冬奧會短道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37秒348的成績獲得金牌．如圖，短道速滑的比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計算半徑為8.5m，直道長為28.85m，點O為半圓的圓心，點N為彎道與直道的連接點，運動員沿滑道逆時針滑行，在某次短道速滑比賽最后一圈的沖刺中，運動員小夏在彎道上的P點處成功超過所有對手，并領(lǐng)先到達終點Q(終點Q為直道的中點)．若從P點滑行到Q點的距離為31.425m，則∠PON等于()A.eq\f(π,2)B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(2π,3)15.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的