新高考數(shù)學一輪復習講義第3章　§3.6　利用導數(shù)證明不等式（原卷版）

§3.6利用導數(shù)證明不等式考試要求導數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點與極值、數(shù)列等相結合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達到事半功倍的效果．題型一將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題例1已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當a＝1時，令g(x)＝eq\f(2fx,x2).證明：當x>0時，g(x)>1.思維升華待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數(shù)，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．跟蹤訓練1設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.題型二將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值進行比較例2已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當a＝e時，證明f(x)－eq\f(ex,x)＋2e≤0.思維升華若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標．本例中同時含lnx與ex，不能直接構造函數(shù)，把指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：ex＋xlnx＋x2－2x>0.題型三適當放縮證明不等式例3已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)證明：當a≥1時，f(x)≥0.思維升華導數(shù)方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數(shù)式結合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數(shù)進行證明．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號；(2)lnx≤x－1，當且僅當x＝1時取等號．跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝ax－sinx.(1)若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：當x>0時，ex>2sinx.課時精練1．已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx，且曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線與直線4x－y＋1＝0平行．(1)求實數(shù)a的值；(2)求證：當x>0時，f(x)>4x－3.2．已知函數(shù)f(x)＝ex－x－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)當x≥0時，求證：f(x)＋x＋1≥eq\f(1,2)x2＋cosx.3．已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax.(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的最值；(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＋1>eq\f(1,ex＋1)－eq\f(2,e2x)成立．4．已知函數(shù)f(x)＝xeax－ex.(1)當a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當x>0時，f(x)<－1，求a的取值范圍；(3)設n∈N*