新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章　§2.9　指、對、冪的大小比較培優(yōu)課（原卷版）

§2.9指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置．題型一直接法比較大小命題點1利用函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)a＝SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，c＝SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>a命題點2找中間值例2已知a＝log53，b＝SKIPIF1<0，c＝7－0.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>b>a命題點3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<eq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“－1,0，eq\f(1,2)，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，進而可估計log23是一個1～2之間的小數(shù)，從而便于比較．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>b>a D．c>a>b(2)已知a＝eq\f(4,3)，b＝log34，c＝3－0.1，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．b>a>c D．a(chǎn)>c>b題型二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小例4(1)已知a＝SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0，c＝SKIPIF1<0eq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b(2)已知55<84，134<85.設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b思維升華求同存異法比較大小如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(參考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a(2)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，則()A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c題型三構(gòu)造函數(shù)比較大小例5(1)已知a＝eq\f(22－ln2,e2)，b＝eq\f(ln2,2)，c＝eq\f(1,e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a(2)設(shè)a＝0.1e0.1，b＝eq\f(1,9)，c＝－ln0.9，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．a(chǎn)<c<b思維升華某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知a＝68，b＝77，c＝86，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>c>a B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c(2)設(shè)a＝e1.3－2eq\r(7)，b＝4eq\r(1.1)－4，c＝2ln1.1，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b課時精練1．設(shè)a＝SKIPIF1<0，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，c＝log2eq\f(3,2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b2．已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c3．設(shè)a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<c<a B．c<b<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c4．若3x＝4y＝10，z＝logxy，則()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y5．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>1，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系是()A.eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2) B.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)C.eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)6．已知a＝sin2，b＝ln2，c＝SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<a<c D．b<c<a7．設(shè)a＝eq\r(9,10)，b＝9sin

eq\f(1,10)，c＝eq\r(5,3)，則()A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a8．已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．a(chǎn)<b<c9．已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝1