新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章　§2.8　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（原卷版）

§2.8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考試要求1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．知識(shí)梳理1．對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN.以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN.2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，SKIPIF1<0＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．常用結(jié)論1．logab·logba＝1，SKIPIF1<0＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.()(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．()(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝SKIPIF1<0的圖象重合．()教材改編題1．若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的定義域是[0,1]，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)2．函數(shù)y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)________．3．eln2＋eq\f(log202216,log20224)＝________.題型一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算例1(1)若2a＝5b＝10，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值是()A．－1B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,10)D．1(2)計(jì)算：log535＋SKIPIF1<0－log5eq\f(1,50)－log514＝________.思維升華解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知2a＝3，b＝log85，則4a－3b＝________.(2)(lg5)2＋lg2lg5＋eq\f(1,2)lg4－log34×log23＝________.題型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿(mǎn)足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1(2)已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是________．思維升華對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝SKIPIF1<0的圖象可能是()(2)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為()題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)式的大小例3已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<a<b命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式例4若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例5設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在(－∞，－3)上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)，且在(－3,3)上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在(3，＋∞)上單調(diào)遞增D．是偶函數(shù)，且在(－3,3)上單調(diào)遞增思維升華求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三個(gè)問(wèn)題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3] B．(1,3)C．(0,1) D．(1，＋∞)(2)若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．課時(shí)精練1．函數(shù)f(x)＝eq\r(log0.52x－1)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D．[1，＋∞)2．若函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,3)，則f(log28)等于()A．－1B．1C．2D．33．函數(shù)f(x)＝log2(|x|－1)的圖象為()4．按照“碳達(dá)峰”“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時(shí)期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060年，純電動(dòng)汽車(chē)在整體汽車(chē)中的滲透率有望超過(guò)70%，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：Ah)，放電時(shí)間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C＝In·t，其中n為Peukert常數(shù)，為了測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)n，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流I＝20A時(shí)，放電時(shí)間t＝20h；當(dāng)放電電流I＝30A時(shí)，放電時(shí)間t＝10h．則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為()(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(8,3)D．25．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－|x|，則不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．?6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列說(shuō)法正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,0)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減C．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上的最小值為0D．若對(duì)任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]7．計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋SKIPIF1<0＝______.8．函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)_______．9．已知f(x)＝SKIPIF1<0(1)若a＝2，求f(x)的值域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．10．已知函數(shù)f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函數(shù)．(1)求k；(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．11．若非零實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足2a＝3b＝6c＝k，則()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c) B.eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,c)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c) D.eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)12．(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列說(shuō)法正確的是()A．f(x)的最大值為1B．f(x)在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)C．f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)D．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)13．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>1，則不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集為()A．(ln2，＋∞) B．(－∞，ln2)C．(ln2,1) D．(0，