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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.32.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.3.集合,,則=()A. B.C. D.4.已知為兩條不重合直線,為兩個不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.5.若為虛數(shù)單位,網格紙上小正方形的邊長為1,圖中復平面內點表示復數(shù),則表示復數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H6.已知P是雙曲線漸近線上一點,,是雙曲線的左、右焦點,,記,PO,的斜率為,k,,若,-2k,成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.8.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.9.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)滿足,當時,,則()A.或 B.或C.或 D.或11.已知雙曲線:,,為其左、右焦點,直線過右焦點,與雙曲線的右支交于,兩點,且點在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.12.德國數(shù)學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結果是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.14.如圖,在正四棱柱中,P是側棱上一點,且.設三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.15.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內切圓面積的最大值是_________.16.給出下列四個命題,其中正確命題的序號是_____.(寫出所有正確命題的序號)因為所以不是函數(shù)的周期;對于定義在上的函數(shù)若則函數(shù)不是偶函數(shù);“”是“”成立的充分必要條件;若實數(shù)滿足則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設,,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,求的值.19.(12分)已知橢圓的焦距是,點是橢圓上一動點,點是橢圓上關于原點對稱的兩點(與不同),若直線的斜率之積為.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)是拋物線上兩點,且處的切線相互垂直,直線與橢圓相交于兩點,求的面積的最大值.20.(12分)在中,角所對的邊分別是,且.(1)求;(2)若,求.21.(12分)已知首項為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項和.22.(10分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點.(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.2.C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.3.C【解析】
先化簡集合A,B,結合并集計算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點睛】本道題考查了集合的運算,考查了一元二次不等式解法,關鍵化簡集合A,B,難度較?。?.D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A,當,,時,則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯誤;對于B,當,,時,則,故不能作為的充分條件,故B錯誤;對于C,當,,時,則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯誤;對于D,當,,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題,屬于基礎題.5.C【解析】
由于在復平面內點的坐標為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由,所以,對應點.故選:C【點睛】此題考查的是復數(shù)與復平面內點的對就關系,復數(shù)的運算,屬于基礎題.6.B【解析】
求得雙曲線的一條漸近線方程,設出的坐標,由題意求得,運用直線的斜率公式可得,,,再由等差數(shù)列中項性質和離心率公式,計算可得所求值.【詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為,且,由,可得以為圓心,為半徑的圓與漸近線交于,可得,可取,則,設,,則,,,由,,成等差數(shù)列,可得,化為,即,可得,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質,主要是漸近線方程和離心率,考查方程思想和運算能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7.C【解析】
分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進而得到結果.【詳解】當“數(shù)”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當“數(shù)”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質進行分類;②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).8.D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數(shù)學運算能力,屬于基礎題.9.B【解析】
根據(jù),可知命題的真假,然后對取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結果.【詳解】對命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用,識記真值表,屬基礎題.10.C【解析】
簡單判斷可知函數(shù)關于對稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調性,并計算,結合對稱性,可得結果.【詳解】由,可知函數(shù)關于對稱當時,,可知在單調遞增則又函數(shù)關于對稱,所以且在單調遞減,所以或,故或所以或故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性以及單調性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗分析能力,屬中檔題.11.D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設直線l的方程x=my+,m>0,設,,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,則F2(,0),設直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查向量知識,屬于中檔題.12.B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結果,故選:B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
作出平面區(qū)域,可知平面區(qū)域為三角形,求出三角形的三個頂點坐標,設三角形的外接圓方程為,將三角形三個頂點坐標代入圓的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,平面區(qū)域為,聯(lián)立,解得,則點,同理可得點、,設的外接圓方程為,由題意可得,解得,,,因此,所求圓的方程為.故答案為:.【點睛】本題考查三角形外接圓方程的求解,同時也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作,考查數(shù)形結合思想以及運算求解能力,屬于中等題.14.【解析】
設正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解:設正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎題.15.【解析】令直線:,與橢圓方程聯(lián)立消去得,可設,則,.可知,又,故.三角形周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍,則內切圓半徑,其面積最大值為.故本題應填.點睛:圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立起目標函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,求函數(shù)最值的常用方法有配方法,判別式法,重要不等式及函數(shù)的單調性法等.16.【解析】
對①,根據(jù)周期的定義判定即可.對②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質判定即可.對③,舉出反例判定即可.對④,求解不等式再判定即可.【詳解】解:因為當時,所以由周期函數(shù)的定義知不是函數(shù)的周期,故正確;對于定義在上的函數(shù),若,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù),故正確;當時不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯誤;若實數(shù)滿足則所以成立,故正確.正確命題的序號是.故答案為:.【點睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)2;(2)見解析【解析】
(1)將化簡為,再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出的值;(2)根據(jù),即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范圍.【詳解】解:(1)由題可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【點睛】本題考查基本不等式的應用,利用基本不等式和放縮法求最值,考查化簡計算能力.18.(1)(2)【解析】
(1)當時,,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集為.(2)由題可得,因為函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,所以,解得,當時,,函數(shù)的圖象與軸沒有交點,不符合題意;當時,,函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,符合題意.綜上,可得.19.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)設點的坐標,表達出直線的斜率之積,再根據(jù)三點均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達式列式求解即可.(Ⅱ)設直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】(Ⅰ)設,,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標準方程為.(Ⅱ)設直線的方程為,,由,故,又,故,因為處的切線相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達定理有設,則.當且僅當時取等號.故的面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點坐標滿足的關系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.20.(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理到,得到答案.(2)計算,再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】(1)由,可得,因為,所以,所
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