2022年四川省達州市高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，則＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}2．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸3．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．函數(shù)（），當時，的值域為，則的范圍為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（）A． B． C． D．6．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．7．設(shè)函數(shù)，的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)8．已知函數(shù)滿足=1，則等于（）A．- B． C．- D．9．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+110．若函數(shù)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．11．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．12．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對稱的為（）A． B．，C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為數(shù)列的前項和，若，，且，，則________．14．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，則cosA＝_____．15．已知，，，的夾角為30°，，則_________.16．在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，它的導函數(shù)為．（1）當時，求的零點；（2）當時，證明：．18．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分數(shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.19．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標為，，求的值.22．（10分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（1）請利用正態(tài)分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

按補集、交集定義，即可求解.【詳解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故選：B.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.3．A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因為恒成立，故可以推出且，若成立，當時，有，當時，有，因為恒成立，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因為，所以，若值域為，所以只需，∴.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).5．B【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應用，同時也考查了等差數(shù)列求和，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.7．C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故函數(shù)是奇函數(shù)，故錯誤，為偶函數(shù)，故錯誤，是奇函數(shù)，故正確．為偶函數(shù)，故錯誤，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．8．C【解析】

設(shè)的最小正周期為，可得，則，再根據(jù)得，又，則可求出，進而可得.【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，因為，所以，所以，所以，又，所以當時，，，因為，整理得，因為，，，則所以.故選：C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性，考查學生分析能力和計算能力，是一道難度較大的題目.9．C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./10．B【解析】因為對A不符合定義域當中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域當中的一個元素對應值域當中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因為值域當中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．11．A【解析】

選取中間值和，利用對數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.12．D【解析】

圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(軸)對稱．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題可得，解得，所以，，上述兩式相減可得，即，因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以．14．【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解．【詳解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案為．【點睛】本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，屬于基礎(chǔ)題．15．1【解析】

由求出，代入，進行數(shù)量積的運算即得.【詳解】，存在實數(shù)，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

解法一：曲線上任取一點，利用基本不等式可求出該點到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點坐標，再計算出切點到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點，該點到直線的距離為，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，曲線上任意一點到直線距離的最小值為；解法二（導數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過曲線上任意一點的切線與直線平行，則，解得，當時，到直線的距離；當時，到直線的距離.所以曲線上任意一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點，轉(zhuǎn)化為切點到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動點坐標，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當時，求函數(shù)的導數(shù)，判斷導函數(shù)的單調(diào)性，計算即為導函數(shù)的零點；

當時，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)，計算新函數(shù)的最值可證明．【詳解】(1)的定義域為當時，，，易知為上的增函數(shù)，又，所以是的唯一零點；(2)證明：當時，，①若，則，所以成立，②若，設(shè)，則，令，則，因為，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增；所以，即，故.【點睛】本題主要考查導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性，零點的求法．注意分類討論和構(gòu)造新函數(shù)求函數(shù)的最值的應用．18．（1）；（2）①82，②分布列見解析，【解析】

（1）從20人中任取3人共有種結(jié)果，恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果，利用古典概型的概率計算公式計算即可；（2）①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意服從的是二項分布，不是超幾何分布，利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件，則，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.（2）組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①，估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3，隨機選取1人是“優(yōu)秀”的概率為，∴；；；；∴的分布列為0123∵，∴數(shù)學期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題，涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.19．（1）（2）是定值，且定值為2【解析】

（1）設(shè)出點坐標并代入橢圓方程，根據(jù)列方程，求得的值，結(jié)合求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得點的橫坐標，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得，由此化簡求得為定值.【詳解】（1）已知點在橢圓：（）上，可設(shè)，即，又，且，可得橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，由，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，即，即.即為定值，且定值為2.【點睛】本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，由（1）的結(jié)論對分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，則，當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由（1）易知，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.21．（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方