3-1激光半經(jīng)典理論

激光半經(jīng)典理論8/16/202418/16/20242Lamb的半經(jīng)典激光理論自洽條件：先假定存在一個(gè)電磁場(chǎng)E，這個(gè)電磁場(chǎng)在活性介質(zhì)中感生出微觀電偶極矩<pi>，把這些電偶極矩相加得到介質(zhì)的宏觀極化強(qiáng)度P，該極化強(qiáng)度作為麥克斯韋方程的輻射源。自洽條件就是要求在這個(gè)循環(huán)中，產(chǎn)生的電磁場(chǎng)E’等于開(kāi)始假定的電磁場(chǎng)E。自洽8/16/20243一、電磁場(chǎng)方程使用mks單位制的麥克斯韋方程來(lái)描述激光腔中的電磁輻射：其中為了避免復(fù)雜的邊界值問(wèn)題，假定存在一個(gè)電導(dǎo)率為σ的介質(zhì)，這相應(yīng)于由衍射和反射鏡的透射而產(chǎn)生的介質(zhì)損耗。8/16/20244得到波動(dòng)方程：8/16/20245由得到則有因此波動(dòng)方程變?yōu)椋?/16/20246對(duì)于大菲涅耳數(shù)的激光器，光場(chǎng)差不多集中在腔的軸線附近，場(chǎng)在垂直于諧振腔軸線的方向上變化不大，即腔內(nèi)光波場(chǎng)可以近似為沿軸線傳播的平面波。若令腔的軸線為z軸,并假設(shè)光波場(chǎng)為線偏振，則矢量方程式簡(jiǎn)化為如下標(biāo)量方程式阻尼項(xiàng)強(qiáng)迫項(xiàng)8/16/20247幅度和相位在光頻周期內(nèi)變化很慢。其中正則模函數(shù)為相應(yīng)地，介質(zhì)的感生極化強(qiáng)度可以寫(xiě)為將電場(chǎng)用腔的正則模展開(kāi)，波動(dòng)方程的時(shí)間依賴關(guān)系可以與空間依賴關(guān)系分開(kāi)，8/16/20248在光頻周期內(nèi)變化很慢，而且損耗很小,將電場(chǎng)和極化強(qiáng)度代入波動(dòng)方程，投影到U(z)上，就得到忽略后得到其中表示腔的頻率。8/16/20249調(diào)整電導(dǎo)率，化簡(jiǎn)方程后，令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等，得到自洽方程這是我們用來(lái)推算的兩個(gè)基本方程。下面考慮它的物理意義。8/16/2024101、當(dāng)沒(méi)有活性介質(zhì)時(shí)，即，此時(shí)方程變?yōu)閺?qiáng)度呈現(xiàn)指數(shù)衰減而模振蕩頻率正好就是無(wú)源腔的頻率。8/16/2024112、當(dāng)有活性介質(zhì)時(shí)，即，用極化率表示極化強(qiáng)度將上式代回自洽方程得到虛部依賴于振幅，導(dǎo)致飽和及耦合效應(yīng)；實(shí)部依賴于模頻率，產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虛部決定介質(zhì)的吸收實(shí)部決定介質(zhì)的色散8/16/202412一個(gè)給定模式的單位體積的能量hn

與場(chǎng)振幅的平方成正比，即它的運(yùn)動(dòng)方程為這說(shuō)明：能量的時(shí)間變化率等于腔損耗和從介質(zhì)中得到的增益之差。在穩(wěn)態(tài)下，可以重新得到飽和增益等于損耗這一振蕩條件。8/16/202413頻率關(guān)系式表示第n個(gè)模式的振蕩頻率由無(wú)源腔的頻率偏移一定量，這表明激活介質(zhì)折射率（即激發(fā)之后對(duì)基質(zhì)的相對(duì)折射率）因?yàn)榭紤]稀薄的活性介質(zhì)，有且所以得到8/16/202414激光器的增益介質(zhì)影響振蕩頻率，而在經(jīng)典的吸收問(wèn)題中介質(zhì)影響波長(zhǎng)。其原因在于激光理論中要求腔內(nèi)光場(chǎng)滿足自洽性，即往返一次的光程差必須是波長(zhǎng)之整數(shù)倍。8/16/202415二、增益介質(zhì)的宏觀極化強(qiáng)度考慮二能級(jí)原子介質(zhì)，其極化強(qiáng)度用密度矩陣表示為極化強(qiáng)度按腔的本征模展開(kāi)則有8/16/202416將上式兩邊乘上，對(duì)z積分，并利用正交關(guān)系則可得到緩變的復(fù)極化強(qiáng)度通過(guò)確定密度矩陣元素，就能夠把上式與自洽方程的兩個(gè)式子聯(lián)立，得到確定振幅和頻率的方程。8/16/202417實(shí)際的原子系統(tǒng)由于碰撞或者其它的效應(yīng)總會(huì)衰減，設(shè)自發(fā)輻射衰減速率為．此時(shí)密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程為：其中阻尼項(xiàng)：8/16/202418密度矩陣元方程可寫(xiě)為8/16/202419在穩(wěn)態(tài)的條件下，可以得到原子布居和原子相干：其中8/16/202420密度矩陣的對(duì)角元表示能級(jí)的布居數(shù)，而非對(duì)角元決定單個(gè)原子的復(fù)偶極矩．

由電偶極強(qiáng)度的定義可得到線性極化率的實(shí)部和虛部表達(dá)式8/16/202421介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)完全由極化率決定，極化率的實(shí)部和虛部分別表示介質(zhì)對(duì)光場(chǎng)的色散和吸收。下圖給出了二能級(jí)原子介質(zhì)的色散和吸收對(duì)失諧量的變化曲線，以原子衰減速率為單位。選擇初始條件8/16/202422吸收色散8/16/202423特點(diǎn):在共振頻率附近，折射率高時(shí)，吸收也強(qiáng)當(dāng)吸收變小時(shí)，折射率本身又太小中心負(fù)色散,但吸收最大二能級(jí)系統(tǒng)的吸收色散性質(zhì)不具有好的應(yīng)用性。8/16/202424從圖中我們可以