專題01 集合與常用邏輯用語（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識

專題01集合與常用邏輯用語（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1集合與元素1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號或表示3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法4、常見數(shù)集的記法與關(guān)系圖集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR知識點2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言圖形語言基本關(guān)系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（則）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A或相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集知識點3集合的基本運(yùn)算1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形語言符號語言2、集合運(yùn)算中的常用二級結(jié)論（1）并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.（2）交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.（3）補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．知識點4充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件2、充要條件（1）充要條件的定義如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。（2）充要條件的含義若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結(jié)論不同。（3）充要條件的等價說法：是的充要條件又常說成是成立當(dāng)且僅當(dāng)成立，或與等價。知識點5全稱量詞與存在量詞1、全稱量詞與全稱量詞命題（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“”表示．【注意】（1）全稱量詞的數(shù)量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應(yīng)的詞語是“都”（2）全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．符號表示：通常，將含有變量的語句用，，，…表示，變量的取值范圍用表示，那么，全稱量詞命題“對中任意一個，成立”可用符號簡記為【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補(bǔ)出來。如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。2、存在量詞與存在量詞命題（1）存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“”表示．【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。符號表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為【注意】（1）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質(zhì)的命題；（2）一個存在量詞命題可以包含多個變量；（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．（1）全稱量詞命題的否定：一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題：．（2）存在量詞命題的否定：一般地，存在量詞命題“”的否定是全稱量詞命題：．（3）命題與命題的否定的真假判斷：一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假．即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然．（4）常見正面詞語的否定：正面詞語等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有n個否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個重難點01已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數(shù)值．（1）確定性的運(yùn)用：利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值；（2）互異性的運(yùn)用：根據(jù)集合中元素的互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗．【典例1】（23-24高三上·廣東惠州·月考）集合，若且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為且，所以且，解得.故選：B.【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得且，解得．故選：A重難點02利用兩個集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍第一步：弄清兩個集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)，求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.【典例1】（2024·陜西西安·三模）設(shè)集合，，若，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1或2【答案】C【解析】因為，且，所以，則或，解得或，當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，符合題意.綜上可得.故選：C【典例2】（2024·黑龍江·二模）已知，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，又，所以，故.故選：A.重難點03根據(jù)集合運(yùn)算的結(jié)果確定參數(shù)的取值范圍法一：根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果確定集合對應(yīng)區(qū)間的端點值之間的大小關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍.法二：（1）化簡所給集合；（2）用數(shù)軸表示所給集合；（3）根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式（組）；（4）解不等式（組）；（5）檢驗.【注意】（1）確定不等式解集的端點之間的大小關(guān)系時，需檢驗?zāi)芊袢　?”；（2）千萬不要忘記考慮空集?！镜淅?】（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，則，即此時，，不符合要求；當(dāng)時，，則，即此時，，符合要求；故.故選：B.【典例2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由不等式，解得或，所以或，又由不等式，當(dāng)時，不等式解集為空集，不滿足，不符合題意，舍去；當(dāng)時，解得，即，此時不滿足，不符合題意，舍去；當(dāng)時，解得，即，要使得，則滿足，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.重難點04利用充分必要條件求參數(shù)的策略1、巧用轉(zhuǎn)化法求參數(shù)：把充分條件、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；2、端點取值需謹(jǐn)慎：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍?！镜淅?】（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，解得，設(shè)，，若是的充分不必要條件，則，則有，且等號不會同時取到，解得，則實數(shù)的取值范圍是.【典例2】（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·月考）（多選）若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由不等式，可得或，因為是的必要不充分條件，可得或，解得或，即實數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項，可得A、D符合題意.故選：AD.重難點05根據(jù)全稱（存在）量詞命題的真假求參數(shù)1、全稱量詞命題求參的問題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進(jìn)行考察，一般在題目中會出現(xiàn)“恒成立”等詞語，解決此類問題時，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍；2、存在量詞命題求參數(shù)范圍的問題中常出現(xiàn)“存在”等詞語，對于此類問題，通常時假設(shè)存在滿足條件的參數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立；否則，假設(shè)不成立。解決有關(guān)存在量詞命題的參數(shù)的取值范圍問題時，應(yīng)盡量分離參數(shù)。【典例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，即，故選：A．【典例2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知命題：為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知命題：為假命題，則命題：為真命題，故當(dāng)時，，即為，符合題意；當(dāng)時，需滿足，解得，綜合可得實數(shù)的取值范圍是，故選：D一、子集的個數(shù)問題如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．【典例1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】因為，所以可以是，共8個，故選：D【典例2】（2024·全國·一模）已知集合，，則子集的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以，所以子集的個數(shù)為.故選：D二、判斷集合與集合的關(guān)系判斷集合間關(guān)系的常用方法：1、列舉觀察法：列出幾何中的全部元素，通過定義得出集合間關(guān)系；2、集合元素特征法：首先確定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷集合間關(guān)系；3、數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或韋恩圖判斷集合間關(guān)系，如不等式的解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法?！镜淅?】（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，所以.故選：A【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，解得或，則，，則不是B的子集，不是的子集，，，故選：D．三、韋恩圖的應(yīng)用元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系，一般都能通過韋恩圖形象表達(dá)。有時題設(shè)條件比較抽象，也應(yīng)借助于韋恩圖尋找解題思路。這樣做有助于直觀地分析問題、解決問題。【典例1】（2024·山西長治·一模）已知集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，圖中陰影部分表示的集合為：或，故選：A.【典例2】（2024·河北邢臺·二模）下列集合關(guān)系不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A：因為，故A正確；B：由空集的定義可知，故B正確；C：由圖可知C正確；D：因為空集中不包含任何元素，故D錯誤；故選：D.四、集合新定義問題在集合新定義問題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運(yùn)算法則和運(yùn)算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運(yùn)算。解題時，要抓住兩點：（1）分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并且能夠應(yīng)用到具體的解題過程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本運(yùn)算是解題的突破口，要熟練掌握?！镜淅?】（2024·貴州黔東南·二模）若對任意，，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，但，不符合題意，故A錯誤；對于選項B：因為，但無意義，不符合題意，故B錯誤；對于選項C：例如，但，不符合題意，故C錯誤，對于選項D：對任意，均有，符合題意，故D正確；故選：D.【典例2】（23-24高三下·甘肅·月考）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構(gòu)成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（

）A．7個 B．9個 C．10個 D．14個【答案】D【解析】不妨設(shè)，則：的2劃分有，，，，，，；的3劃分有，，，，，；的4劃分只有.綜上，的劃分共有個，D正確.故選：D.五、充分條件與必要條件的判斷充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法1、定義法：（1）分清命題的條件和結(jié)論；（2）判斷“若p，則q”及“若q，則p”的真假；（3）得出結(jié)論.2、集合法：利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；3、等價轉(zhuǎn)化法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題?！镜淅?】（2024·江西南昌·二模）已知集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【典例2】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知命題p：集合，命題q：集合，則p是q的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】或，或，是的真子集，因此，是的必要不充分條件.故選：B易錯點1對集合表示方法的理解存在偏差點撥：對集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要對本質(zhì)進(jìn)行剖析，需要明確集合中的代表元素類型（點集或者數(shù)集）及代表元素的含義?！镜淅?】（23-24高三下·江西吉安·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解不等式可得，由指數(shù)函數(shù)的值域可得，所以.故選：D【典例2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，得；由得，即.所以.故選：B易錯點2忽視（漏）空集導(dǎo)致錯誤點撥：空集不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在隱含有空集參與的集合問題中，往往容易因忽略空集的特殊性而導(dǎo)致漏解?！镜淅?】（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)若，，則，實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，得，因為，所以，當(dāng)時，無解，此時，滿足題意；當(dāng)時，得，所以或，解得或.綜上，實數(shù)a的值可以為0，，.故選：D．【典例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知全集，集合，．若，則的最大值為．【答案】【解析】因為，當(dāng)時，，若，則．在數(shù)軸上表示出集合，，如圖，則；當(dāng)時，，此時不成立，當(dāng)時，，此時不成立．綜上，的最大值為．易錯點3忽視集合元素的互異性點撥：集合元素的互異性是集合的特征之一，集合中不可出現(xiàn)相同的元素?！镜淅?】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知集合，，若中恰有三個元素，則由a的取值組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為中恰有三個元素，所以或或，結(jié)合集合中元素的互異性，解得或或（舍去）或.故選：D．【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，且，則實數(shù)為（

）A．2 B．3