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專題08解三角形及其應(yīng)用(思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯)知識點1正、余弦定理及應(yīng)用1、正、余弦定理與變形定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(3)eq\f(a+b+c,sinA+sinB+sinC)=eq\f(a,sinA)=2RcosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc);cosB=eq\f(c2+a2-b2,2ac);cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形時,可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對角的正弦值確定角的值時,要注意避免增根或漏解,常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對大角,大角對大邊”及三角形內(nèi)角和定理去考慮問題.2、解三角形中的常用結(jié)論(1)三角形內(nèi)角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;變形:eq\f(A+B,2)=eq\f(π,2)-eq\f(C,2).(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系=1\*GB3①sin(A+B)=sinC;=2\*GB3②cos(A+B)=-cosC;=3\*GB3③sineq\f(A+B,2)=coseq\f(C,2);=4\*GB3④coseq\f(A+B,2)=sineq\f(C,2).(3)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.(4)三角形中的大角對大邊:在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB.3、三角形常用面積公式(1)S=eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高);(2)S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)bcsinA;(3)S=eq\f(1,2)r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).知識點2解三角形的實際應(yīng)用名稱意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中,目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角,目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角從某點的指eq\a\vs4\al(北)方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角,方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的eq\a\vs4\al(銳)角,通常表達(dá)為北(南)偏東(西)例:(1)北偏東α:(2)南偏西α:【注意】(1)方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的,方向角是方位角的一種表達(dá)形式,是同一問題中對角的不同描述.(2)將三角形的解還原為實際問題時,要注意實際問題中的單位、近似值要求,同時還要注意所求的結(jié)果是否符合實際情況.重難點01解三角形中的最值范圍問題1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量:根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系,利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角或邊角關(guān)系,并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量,確定基本量的范圍.(2)構(gòu)建函數(shù):根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示.(3)求最值:利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(1)涉及求范圍的問題,一定要搞清已知變量的范圍,利用已知的范圍進(jìn)行求解,已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)注意題目中的隱含條件,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大邊對大角等.類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍【典例1】(23-24高三下·山西·模擬預(yù)測)鈍角中,角的對邊分別為,,,若,則的最大值是.【典例2】(23-24高三下·福建廈門·三模)記銳角的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若,則的取值范圍是.類型2邊或周長的最值范圍【典例1】(23-24高三下·江蘇·月考)在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知(1)若求的大小;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.【典例2】(23-24高三下·安徽淮北·二模)記的內(nèi)角的對邊分別為,已知(1)試判斷的形狀;(2)若,求周長的最大值.類型3三角形面積的最值范圍【典例1】(23-24高三下·廣東茂名·一模)在中,內(nèi)角的對邊分別是,且.(1)求的大??;(2)若是邊的中點,且,求面積的最大值.【典例2】(23-24高三下·湖北武漢·二模)在中,角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)已知,求的最大值.重難點02解三角形角平分線的應(yīng)用如圖,在?ABC中,AD平分∠BAC,角A、B,C所對的邊分別問a,b,(1)利用角度的倍數(shù)關(guān)系:∠(2)內(nèi)角平分線定理:AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線,則AB說明:三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比,再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu),就可以轉(zhuǎn)化為向量了,一般的,涉及到三角形中“定比”類問題,運用向量知識解決起來都較為簡捷。(3)等面積法:因為S?ABD+S所以b+cAD=2bccosA2,【典例1】(23-24高三下·江西·模擬預(yù)測)在中,內(nèi)角所對的邊分別為,其外接圓的半徑為,且.(1)求角;(2)若的角平分線交于點,點在線段上,,求的面積.【典例2】(23-24高三下·河北滄州·模擬預(yù)測)在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求證:;(2)若的角平分線交AC于點D,且,,求BD的長.重難點03解三角形中線的應(yīng)用1、中線長定理:在?ABC中,AD是邊BC上的中線,則AB【點睛】靈活運用同角的余弦定理,適用在解三角形的題型中2、向量法:AD【點睛】適用于已知中線求面積(已知BDCD的值也適用)【典例1】(23-24高三下·山西·三模)在中,內(nèi)角所對的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點,則長為(
)A. B. C. D.【典例2】(23-24高三下·黑龍江哈爾濱·三模)已知的內(nèi)角的對邊分別為,且邊上中線長為1,則最大值為(
)A. B. C. D.一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題,實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化,解題的思路是:1、選定理.(1)已知兩角及一邊,求其余的邊或角,利用正弦定理;(2)已知兩邊及其一邊的對角,求另一邊所對的角,利用正弦定理;(3)已知兩邊及其夾角,求第三邊,利用余弦定理;(4)已知三邊求角或角的余弦值,利用余弦定理的推論;(5)已知兩邊及其一邊的對角,求另一邊,利用余弦定理;2、巧轉(zhuǎn)化:化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化;若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系,則式子一般比較復(fù)雜,要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.3、得結(jié)論:利用三角函數(shù)公式,結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)(如大邊對大角,三角形的內(nèi)角取值范圍等),并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等?!镜淅?】(23-24高三下·浙江金華·三模)在中,角的對邊分別為,,.若,,,則為(
)A.1 B.2 C.3 D.1或3【典例2】(23-24高三下·江蘇·二模)設(shè)鈍角三個內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若,,,則.【典例3】(23-24高三下·廣東江門·二模)是內(nèi)一點,,則(
)A. B. C. D.二、判定三角形形狀的兩種常用途徑1、角化邊:利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷;2、邊化角:通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷【典例1】(23-24高三下·湖南衡陽·模擬預(yù)測)在中,角的對邊分別為,若,則的形狀為.【典例2】(23-24高三下·河北秦皇島·三模)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,,則(
)A.為直角三角形 B.為銳角三角形C.為鈍角三角形 D.的形狀無法確定三、三角形的面積及應(yīng)用1、三角形面積公式的使用原則:對于面積公式S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)bcsinA,一般是使用哪一個角就使用哪一個公式;2、與面積有關(guān)的問題:一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化;3、三角形的周長問題:一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab將問題轉(zhuǎn)化為求兩邊之和的問題?!镜淅?】(23-24高三下·重慶·三模)(多選)在中,角的對邊為若,則的面積可以是(
)A. B.3 C. D.【典例2】(23-24高三下·福建莆田·三模)在中,內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)證明:.(2)若,,求的面積.四、利用正弦定理解三角形的外接圓利用正弦定理:可求解三角形外接圓的半徑。若要求三角形外接圓半徑的范圍,一般將用含角的式子表示,再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍。【典例1】(23-24高三下·云南·月考)在中,角,,所對的邊分別為,,,記的面積為,已知,,,求外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為(
)A. B. C. D.【典例2】(23-24高三下·河南·模擬預(yù)測)在中,角的對邊分別為,且.(1)求;(2)如圖所示,為平面上一點,與構(gòu)成一個四邊形,且,若,求的最大值.五、利用解三角形解決測量距離問題1、解決方法:選擇合適的輔助測量點,構(gòu)造三角形,將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解。2、求距離問題的注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形,要先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.有時需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的量.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.【典例1】(23-24高三下·吉林·二模)如圖,位于某海域處的甲船獲悉,在其北偏東方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東,且與甲船相距的處的乙船,已知遇險漁船在乙船的正東方向,那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為(
)A. B. C. D.【典例2】(23-24高三上·廣東廣州·月考)如圖,、兩點在河的同側(cè),且、兩點均不可到達(dá).現(xiàn)需測、兩點間的距離,測量者在河對岸選定兩點、,測得,同時在、兩點分別測得,,,則、兩點間的距離為(
)A. B. C. D.六、求解高度問題應(yīng)注意的三個問題1、要理解仰角、俯角的定義;2、在實際問題中可能遇到空間與平面(底面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形;3、注意山或塔垂直于底面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。【典例1】(23-24高三下·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測)海寶塔位于銀川市興慶區(qū),始建于北朝晚期,是一座方形樓閣式磚塔,內(nèi)有木梯可盤旋登至頂層,極目遠(yuǎn)眺,巍巍賀蘭山,綿綿黃河水,塞上江南景色盡收眼底.如圖所示,為了測量海寶塔的高度,某同學(xué)(身高173cm)在點處測得塔頂?shù)难鼋菫椋缓笱攸c向塔的正前方走了38m到達(dá)點處,此時測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑩?jù)此可估計海寶塔的高度約為m.(計算結(jié)果精確到0.1)
【典例2】(23-24高三下·廣東湛江·二模)財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū),是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑,同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度,小張選取了大廈的一個最高點A,點A在大廈底部的射影為點O,兩個測量基點B、C與O在同一水平面上,他測得米,,在點B處測得點A的仰角為(),在點C處測得點A的仰角為45°,則財富匯大廈的高度米.易錯點1利用正弦定理解三角形時,若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時,易忽視三角形解的個數(shù)。點撥:正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具,它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系,正弦定理能夠解決兩類問題(1)已知兩角及其一邊,求其它的邊和角。這時有且只有一解。(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào),此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解,可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)?!镜淅?】(23-24高三上·河北正定·月考)在中,已知,,則角B等于(
)A. B.或 C. D.或【典例2】(23-24高三上·安徽·月考)(多選)在中,角所對的邊分別為,那么在下列給出的各組條件中,能確定三角形有唯一解的是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,易錯點2解三角形時,在中忽視的解點撥:解題時容易習(xí)慣性約去相同的項,沒有注意到約分的條件,當(dāng)此時,可以左右兩邊約去,從而造成漏解,所以考生在平時解題養(yǎng)成習(xí)慣,什么時候可以約,要牢記?!镜淅?】(23-24高三下·山東·模擬預(yù)測)記的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知,則.【典例2】(23-24高三下·全國·模擬預(yù)測)在中,角所對的邊分別為,且,的面積為,則(
)A.4 B. C.4或 D.或易錯點3忽視對角的討論點撥:當(dāng)解題過程中出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論,另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時一定要注意條件之間的相互“限制”?!镜淅?】(23-24高三下·全國·模擬預(yù)測)已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,若,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【典例2】(23-24高三下·重慶·月考)銳角中,內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1
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