全國版2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章圓錐曲線與方程第2講雙曲線試題1理含解析

第第頁第十章圓錐曲線與方程其次講雙曲線練好題·考點(diǎn)自測1.給出以下關(guān)于雙曲線的命題:①雙曲線y29-x24=1的漸近線方程是②若點(diǎn)(2,3)在焦距為4的雙曲線x2a2-y2b③若點(diǎn)F,B分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(④等軸雙曲線的漸近線相互垂直,離心率等于2;⑤若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與y2b2-x2以上說法正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.[2024全國卷Ⅰ,5,5分][理]已知方程x2m2+nA.(-1,3) B.(-1,3)C.(0,3) D.(0,3)3.[2024全國卷Ⅲ,10,5分][理]雙曲線C:x24-y22=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|A.324 B.3224.[2024全國卷Ⅱ,8,5分][理]設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=a與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)A.4 B.8 C.16 D.325.[2024大同市調(diào)研測試]如圖10-2-1,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作線段F2P與C交于點(diǎn)Q,且Q為PF2的中點(diǎn).若等腰三角形PF1F2的底邊PF圖10-2-1A.-2+2157 B.436.[2024天津,7,5分][理]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且A.x24-y2C.x23-y27.[2024北京,14,5分]已知雙曲線C:x26-y23=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為8.[2024全國卷Ⅰ,15,5分][理]已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),A為C的右頂點(diǎn),B為C上的點(diǎn),且BF垂直于x軸拓展變式1.(1)[2024廣東七校第一次聯(lián)考]P是雙曲線C:x22-y2=1右支上一點(diǎn),直線l是雙曲線C的一條漸近線.P在l上的射影為Q,F1是雙曲線C的左焦點(diǎn),則|PF1|+|PQ|的最小值為(A.1 B.2+155 C.4+155 D.2(2)[2024全國卷Ⅲ,11,5分][理]設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為5.P是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PFA.1 B.2 C.4 D.82.[2024天津,5,5分][理]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為2A.x24-yC.x24-y3.[2024成都三診]已知F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A,且π6≤∠A.[5,13] B.[5,3] C.[3,13] D.[7,3]答案其次講雙曲線1.D對于①,雙曲線y29-x24=1的漸近線方程應(yīng)是對于②,雙曲線的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(對于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中點(diǎn)坐標(biāo)(±c2,±b2)不滿意雙曲線的漸近線方程y=±b對于④,由等軸雙曲線的性質(zhì)可得④正確;對于⑤,由共軛雙曲線的性質(zhì)可知⑤正確.故選D.2.A解法一因?yàn)殡p曲線x2①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),22=②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),22=綜上,-1<n<3.故選A.解法二取n=0,滿意題意,解除C,D;取n=2,滿意題意,解除B.選A.解法三不考慮雙曲線焦點(diǎn)的位置,依據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得(m2則-1<n<3,故選A.3.A設(shè)點(diǎn)P在第一象限,依據(jù)題意可知c2=6,所以|OF|=6.又tan∠POF=ba=22,所以等腰三角形PFO底邊OF上的高h(yuǎn)=62×22=4.B由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±bax.因?yàn)镈,E分別為直線x=a與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn),所以不妨設(shè)D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=12×a×|DE|=12×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)等號(hào)成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以5.C連接F1Q,由△PF1F2是以PF2為底邊的等腰三角形,且Q是PF2的中點(diǎn),知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=c2,由雙曲線的定義可得|F1Q|=c2+2a,依據(jù)F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(c2)2+(c2+2a)2=(2c)2,化簡整理得7c2-4ac-8a2=0,方程兩邊同時(shí)除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e6.C解法一因?yàn)橹本€AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn),所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取雙曲線的一條漸近線為直線bx-ay=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+解法二由直線AB過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸,d1+d2=6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b=3.因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以ca=2,所以a7.(3,0)3雙曲線C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,∴c=3,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),C的漸近線方程為y=±36x,即x±2y8.2設(shè)B(c,yB),因?yàn)锽為雙曲線C:x2a2-y2b2=1上的點(diǎn),所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因?yàn)锳B的斜率為3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-1.(1)D設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2,因?yàn)閨PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,F2三點(diǎn)共線,且P在Q,F2之間時(shí),|PF2|+|PQ|最小,且最小值為點(diǎn)F2到直線l的距離.由題意可得直線l的方程為y=±22x,焦點(diǎn)F2(3,0),點(diǎn)F2到直線l的距離d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值為22+1,故選D(2)A解法一設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則由雙曲線的定義得m-n=2a.由題意得S△PF1F2=12mn=4,且m2+n2=4c解法二(結(jié)論解法)由題意及雙曲線焦點(diǎn)三角形的結(jié)論(詳見主書P207【思維拓展】(4)),得S△PF1F2=b2tan45°=4,得b2=4,又c2a2.B由e=2知,雙曲線為等軸雙曲線,則其漸近線方程為y=±x,