矩陣的概念教案

§2.1.1矩陣的概念

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.駕馭矩陣的概念以及基本組成的含義(行、歹!J、元素)

2.駕馭零矩陣、行矩陣、列矩陣、矩陣相等的概念.

3.嘗試將矩陣與生活中的問題聯(lián)系起來，用矩陣表示豐富的問題,

體會矩陣的現(xiàn)實意義.

過程與方法：

從具體的實例起先，通過具體的實例讓學(xué)生相識到，某些幾何變換可以用矩

陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點來相識

矩陣、解線性方程組

情感、看法與價值觀：體會代數(shù)與幾何的有機結(jié)合，突出數(shù)形結(jié)合的重要思想

教學(xué)重點：矩陣的概念以及基本組成的含義

教學(xué)難點：矩陣的概念以及基本組成的含義

教學(xué)過程：

一、問題情境:

設(shè)0(0,0),0(2,3),則向量講=(2,3),將/的坐標(biāo)排成一列，并簡記為[]

2.日常生活一一矩陣

(1)某電視臺舉辦歌頌競賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成果如下:

初賽復(fù)賽

甲8090

乙8688

(2)某牛仔褲商店經(jīng)銷兒B、C、D、￡五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍大小分別有28英

寸、30英寸、32英寸、34英寸四種,在一個星期內(nèi)，該商店的銷售狀況可用下列矩陣形

式表示:

ABCDE

28英寸13012

30英寸58612

32英寸23560

34英寸01103

3.圖——矩陣

矩陣：

記號：A,B,C,…或(a”)(其中i,j分別元素a」所在的行和列)

要素：行一一列一一元素

矩陣相等行列數(shù)目相等并且對應(yīng)元素相等。

特別：(1)2義1矩陣，2X2矩陣(二階矩陣)，2X3矩陣

(2)零矩陣

(3)行矩陣:[an,ai2]

an

列矩陣：，一般用2,，等表示。

.321_

(4)行向量與列向量

三、教學(xué)運用

例1、用矩陣表示圖中的AABC,其中A(-l,0),B(0,2),C(2,0).

思索：假如用矩陣M』0*34表示平面中的圖形，那么該圖形有什么幾何

0220

特征？

例2、某種水果的產(chǎn)地為Ai,A2,銷地為BI,B2,請用矩陣表示產(chǎn)地Ai運到銷

地Bj的水果數(shù)量(a)其中i=l,2,j=l,2.

例3、用矩陣表示下列方程組中的未知量的系數(shù).

x+4y=73x+2y+z——1

(1)<(2)

—3x+y=-62x—3y+7z-6

x3I

例4、已知A=,B=’,若A=B,試求x,y,z.

4-2z

四、課堂小結(jié)

五、課堂練習(xí)：

1.書Pio1,2,4

「2x1「加+〃x+y]#、,j在一

2.設(shè)A=,B=，右A=B,試求x,y,m,n的值.

y3J\2x—ym-n

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

L用矩陣表示圖中的aABC,其中A(2,3),B(-4,6),C(5,-3).

2.在學(xué)校組織的數(shù)學(xué)智力競賽中，甲、乙、丙三位同學(xué)獲得的成果分別為：甲

95分，乙99分，丙89分，假如分別用1,2,3表示甲、乙、丙三位同學(xué)，試

用矩陣表示各位同學(xué)的得分狀況.

、“1xm-nx+y什、上.

3.設(shè)A=,B=，右A=B,試求x,y,m,n.

y3x-2ym+n

4.下圖是各大洋面積統(tǒng)計表.

海洋名面積/萬千米2

太平洋17967.9

大西洋9165.5

印度洋7617.4

北冰洋1475.0

假如分別用1,2,3,4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋，試用矩陣表示

各大洋的面積.

010

5.請設(shè)計一個可用矩陣120來表示的實際問題.

230

§2.1.2二階矩陣與平面列向量的乘法二

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：

1.駕馭二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則，并了解其現(xiàn)實背景.

2.理解變換的含義，了解變換與矩陣之間的聯(lián)系.

3.能夠嫻熟進行由矩陣確定的變換

過程與方法：

從具體的實例起先，通過具體的實例讓學(xué)生相識到，某些幾何變換可以用矩

陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點來相識

矩陣、解線性方程組

情感、看法與價值觀：體會代數(shù)與幾何的有機結(jié)合，突出數(shù)形結(jié)合的重要思想

教學(xué)重點：二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則

教學(xué)難點：二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則

教學(xué)過程：

一、問題情境：

在某次歌頌競賽中，甲的初賽和復(fù)賽的成果用A=[8090]表示，乙的初賽

*04

和復(fù)賽成果用B=[6085]表示，C='表示初賽和復(fù)賽成果在競賽總分中所

0.6

占的比重，那么如何用矩陣的形式表示甲、乙的最終成果呢？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.行矩陣和列矩陣的乘法規(guī)則

2.二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則

3.變換

三、教學(xué)運用

21F3-101020'

例1、計算:(1)1][-2_⑵

012001J|_y

一32

例2、求在矩陣°$對應(yīng)的變換作用下得到點(3,2)的平面上的點P的坐標(biāo).

例3、(1)已矢口變換,試將它寫成坐標(biāo)變換的形式;

y32山」

(2)已知變換*一,"一力’，試將它寫成矩陣乘法的形式.

y

例4、求aABC在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的幾何圖形，其中A(l,

0-1

2),B(0,3),C(2,4).

例5、求直線y=2x在矩陣作用下變換得到的圖形.

四、課堂小結(jié)

五、課堂練習(xí):

六、回顧反思:

七、課外作業(yè):

30-llP4

1.計算⑴⑵1oj[1

2

xx

2.(1)已知一,,試將它寫成坐標(biāo)變換形式;

_y]|_y02]\_y_

2x+3y

(2)已知試將它寫成矩陣的乘法形式.

4x+5y

12

3.(1)點A(5,7)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點為

34

3I

⑵在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(19,-19)的平面上點P的坐標(biāo)

4-5

為

一1二一2

4.已知矩陣P=2,Q=且Px=Q,求矩陣x.

03段

5.線段AB,A(-2,3),B(1,-4)在矩陣:；作用下變換成何種圖形？與原線段

有何區(qū)分？

6.求直線x+y=l在矩陣；作用下變換所得圖形.

§2.2幾種常見的平面變換(1)-恒等變換、伸壓變換

教學(xué)目標(biāo):

學(xué)問與技能：

1.駕馭恒等變換矩陣和伸壓變換矩陣的特點.

2.嫻熟運用恒等變換和伸壓變換進行平面圖形的變換

過程與方法：

借助立體幾何圖形的三視圖來探討平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程

情感、看法與價值觀：供應(yīng)自4

總結(jié)過程，得出結(jié)論。

教學(xué)重點：恒等變換、伸壓變

教學(xué)難點：恒等變換、伸壓變

教學(xué)過程：

一、問題情境：

已知4ABC,A(2,0),B(-l,0),C(0,2),它們在變換T作用下保持位置不

變，能否用矩陣M來表示這一變換？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.恒等變換矩陣(單位矩陣)

2.恒等變換

3.伸壓變換矩陣

4.伸壓變換

三、教學(xué)運用

例1、求x2+y2=l在矩陣M=；;作用下的圖形

例2、已知曲線y=sinx經(jīng)過變換T作用后變?yōu)樾碌那€C,試求變換T對

應(yīng)的矩陣M,以及曲線C的解析表達式.

例3、驗證圖C:x2+y2=l在矩陣A=；:對應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)橐粋€橢圓,

并求此橢圓的方程.

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：P331,2.

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

L已知平行四邊形ABCD,A(-l,0),B(0,2),C(3,2),D(0,2),它們在變換T作

用前后保持位置不變，則變換矩陣M=.

2.已知菱形ABCD,A(2,0),B(0,l),C(-2,0),D(0,-l),在矩陣M=；;作用

下變?yōu)锳',B',C',D',求A',B',C',D'的坐標(biāo)，并畫出圖形.

20

3.求aOBC在矩陣02作用下變換的結(jié)果，其中。為原點,B(-l,0),C(0,1).

4.求正方形ABCD在矩陣卯用下得到的圖形’并畫出示意凰其中AQ,

0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-l).

一30一

5.求拋物線y=x2在矩陣0］作用下得到的新的曲線C,并求曲線C的函數(shù)表

達式.

10

6.探討函數(shù)y=cosx在矩陣1變換作用下的結(jié)果.

0—

L2J

§2.2幾種常見的平面變換（2）-反射變換.

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.理解反射變換的有關(guān)概念，熟知常用的幾種反射變換矩陣.

2.能嫻熟地對各種平面圖形進行反射變換.

過程與方法：

借助立體幾何圖形的三視圖來探討平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程

情感、看法與價值觀：供應(yīng)自主探究的空間，通過探討實例，學(xué)會從實際動身探究問題,

總結(jié)過程，得出結(jié)論。

教學(xué)重點：反射變換的概念

教學(xué)難點：反射變換矩陣

教學(xué)過程：

一、問題情境：

已知在平面直角坐標(biāo)的第一象限有一張汽車圖片F(xiàn),將它做關(guān)于x軸、y軸

和坐標(biāo)原點對稱的變換，分別得到圖片B,F2,F3,這些變換能用矩陣來刻畫

嗎？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.反射變換的有關(guān)概念

2.常用的幾種反射變換矩陣

3.二階非零矩陣對應(yīng)的變換的特點及線性變換.

三、教學(xué)運用

例1、求直線y=4x在矩陣::作用下變換所得的圖形.

例2、求曲線y=4(x20)在矩陣；作用下變換所得的圖形.

0-]

例3、求矩形OBCD在矩陣作用下變換所得的圖形，并畫出示意圖，其

10

中0(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).

練習(xí)：1.如圖，已知格紙上有一面小旗子，請在格紙上畫出它關(guān)于x軸、y

軸和原點對稱的圖形，并利用矩陣計算進行驗證.

-10

2.求平行四邊形ABCD在矩陣M=作用下變換所得的

01

幾何圖形，并畫出示意圖，其中A(0,0),B(3,0),C(4,2),D(l,2).

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

1.將圖形變換為關(guān)于X軸對稱的圖形的變換矩陣為.

將圖形變換為關(guān)于y軸對稱的圖形的變換矩陣為.

將圖形變換為關(guān)于原點對稱的圖形的變換矩陣為.

--Io'

2.求4ABC在矩陣M=0［作用下變換得到的圖形，其中A(1,1),B(4,2),

C(3,0).

-10

3.求出曲線y=L(x>0)在矩陣M=作用下變換得到的曲線.

X0-1

4.求曲線y=lgx(x>0),在矩陣M=；;作用下變換得到的曲線.

5.求曲線丫=取經(jīng)M尸；和M2=；；作用下變換得到的曲線.

§2.2幾種常見的平面變換(3)-旋轉(zhuǎn)變換一

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.理解旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)概念，駕馭旋轉(zhuǎn)變換的特點.

2.嫻熟運用旋轉(zhuǎn)變換矩陣對平面圖形進行旋轉(zhuǎn)變換

過程與方法：

借助立體幾何圖形的三視圖來探討平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽

象的過程

情感、看法與價值觀：供應(yīng)自主探究的空間，通過探討實例，學(xué)會從實際動身探

究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。

教學(xué)重點：旋轉(zhuǎn)變換的概念

教學(xué)難點：旋轉(zhuǎn)變換矩陣

教學(xué)過程：

一、問題情境:

如圖,0P繞。點逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角到0P',這種幾何變換如何用矩陣來

刻畫?

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)概念

2.旋轉(zhuǎn)變換的特點

三、教學(xué)運用

例1、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD繞原點逆時針旋

轉(zhuǎn)90°后得到的圖形，并求出其頂點坐標(biāo)，畫出示意圖.

思索：若旋轉(zhuǎn)30°,結(jié)果如何呢？旋轉(zhuǎn)45°呢?

G_1_

T~2

例2、求4ABC在矩陣M=作用下變換得到的圖形，并畫出示意圖,

\_

,2~2.

其中A(0,0),B(2,V3),C(0,3).

例3、已知曲線C:y=lgx,將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到曲線C',求C'

的方程.

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：練習(xí)：書P337,8

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

一顯_叵

22

1.矩陣對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角0=___________

y/2V2

.TT.

-1o

矩陣對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角0=(0°<o<360°)

0-1

2.已知aABC,A(0,0),B(2,0),C(1,2),求AABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后

所得到的圖形，并求出其頂點坐標(biāo)，畫出示意圖.

3.已知0ABeD,A(0,0),B(2,0),C(3,1),D(1,1),求QABCD繞原點順時

針旋轉(zhuǎn)90°后所得到的圖形，并求出其頂點坐標(biāo).

4.探討函數(shù)y=sinx,x￡[0,2n]的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的曲線.

5.已知曲線xy=l,將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到什么曲線？曲線方程是什

么？

§2.2幾種常見的平面變換（4）-投影變換.

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.理解投影變換的有關(guān)概念，駕馭投影變換的特點.

2.熟知常用的幾種投影變換矩陣，能嫻熟地對各種平面圖形進行投

影變換.

過程與方法：

借助立體幾何圖形的三視圖來探討平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽

象的過程

情感、看法與價值觀：供應(yīng)自主探究的空間，通過探討實例，學(xué)會從實際動身探

究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。

教學(xué)重點：投影變換的概念

教學(xué)難點：投影變換的矩陣

教學(xué)過程：

一、問題情境：

1.探討矩陣F0］所確定的變換.

00

2.探討矩陣1所確定的變換.

10

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.投影變換矩陣，投影變換.

2.投影變換的特點.

三、教學(xué)運用

例1、矩陣10°對應(yīng)的變換是投影變換嗎？它的變換作用如何?

01

]_

2-2

例2、探討線段AB在矩陣作用下變換得到的圖形，其中A(O,O),B(1,

~22

2).

10

例3、探討直線x+y=O在矩陣作用下變換得到的圖形.

10

_.11

22

例4、AABC在矩陣作用下變換得到何種圖形？并畫出示意圖，其中

_L_1

_2~2.

A(l,1),B(1,0),C(0,1).

四、課堂小結(jié):

五、課堂練習(xí)：練習(xí)：P349,10

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

1.直線x+2y=5在矩陣::對應(yīng)的變換作用下變成了什么圖形?

2.探討AABC在矩陣J;作用下其面積發(fā)生了什么變更？其中A(1,1),B(2,

0),C(3,1)

3.圓x2+y2=l在矩陣::對應(yīng)的變換作用下變成了何種圖形?

-or-or

4.求直線y=4x在矩陣變換后，再經(jīng)過矩陣的變換，最終得到什么

_10__01

圖形？

1

5.說明線段AB在矩陣j；作用下變換得到的圖形，其中A(1,1),B(2,

_~22.

3).

§2.2幾種常見的平面變換（5）-切變變換一

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.駕馭切變變換的特點，熟知常用的幾種切變變換矩陣.

2.能嫻熟地對各種平面圖形進行切變變換

過程與方法：

借助立體幾何圖形的三視圖來探討平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽

象的過程

情感、看法與價值觀：供應(yīng)自主探究的空間，通過探討實例，學(xué)會從實際動身探

究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。

教學(xué)重點：切變變換的概念

教學(xué)難點：切變變換的矩陣

教學(xué)過程：

一、問題情境：

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.切變變換

2.切變變換矩陣

3.切變變換的特點

三、教學(xué)運用

例1、如圖所示，已知矩形ABCD在變換T的作用下變成圖形A'B'C'D',

試求變換T對應(yīng)的矩陣M.

例2、求矩形ABCD在矩陣?2作用下變換得到的幾何圖形，其中A(-2,0),

01

B(2,0),C(2,2),D(-2,2),并說明圖形的變換特點.

例3、求把三角形ABC變成三角形A'B'C的變換矩陣，其中A(2,1),B(1,

3),C(4,2),A,(|,3),C,(5,2).

例4、探討函數(shù)丫=3$*在矩陣；;變換作用下的結(jié)果.

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：練習(xí)：P3411,12

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

-13'

1.矩陣0］的作用是把平面上的點P(x,y)沿x軸方向平移個單位,

當(dāng)y>0時，沿x軸方向移動，當(dāng)y<0時，沿x軸方向移動,

當(dāng)y=0時，原地不動，在此變換作用下,__________上的點為不動點.

2.直線x—2y=3在矩陣；；對應(yīng)的變換作用下變成了什么圖形？畫出此圖形.

3.求曲線y=|x|在矩陣1°對應(yīng)的變換作用下變成的圖形.

10

4.求出正方形ABCD在矩陣M=1作用后的圖形，其中A(0,0),B(2,0),

一1

\_2」

C(2,2),D(0,2).

5.求把4ABC變換成AA'B'C'的變換矩陣，其中A(-2,1),B(0,1),C(0,

-1),A'(-2,-3),B'(0,1),C'(0,-1).

§2.3.1矩陣乘法的概念.

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.駕馭二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義.

2.能靈敏運用矩陣乘法進行平面圖形的變換.

3.了解初等變換及初等變換矩陣的含義.

過程與方法：從實例中理解矩陣乘法的代數(shù)運算和幾何意義，駕馭運算規(guī)則，從幾何角度

驗證乘法規(guī)則

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義

教學(xué)難點：二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義

教學(xué)過程：

一、問題情境：

X1Q得到向量「，再對

對向量先做變換矩陣為N=的反射變換Ti,

LJJL°-d

1ox"

所得向量做變換矩陣為M=的伸壓變換T2得到向量〃這兩次變換能

02j

否用一個矩陣來表示？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.矩陣乘法的乘法規(guī)則

2.矩陣乘法的幾何意義

3.初等變換，初等變換矩陣

三、教學(xué)運用

[[

2222

例1、⑴已知A=,B=；計算AB.

]_]_

22_~22.

10'14-

(2)已知A=，B=計算AB,BA

02_-23_

ri01010

(3)已知A=,B=,c=[o2J計算AB、AC.

_00__01J

10

例2、已知A=1，求A2,A3,A4,你能得到A11的結(jié)果嗎？(nGN*)

0—

L3J

例3、已知梯形ABCD,其中A(0,0),B(3,0),C(1,2),D((l,2),先將梯形作

關(guān)于x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°.

(1)求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M;

(2)求點A,B,C,D在TM作用下所得到的結(jié)果；

(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩次變換對應(yīng)的幾何圖形，并驗證⑵中的結(jié)

cosa一sinacos/?-sin[5

例4、已知A=,求AB,并對其幾何意義賜

sinacosasinpcosp

予說明.

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：練習(xí)：P46L2

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

1.計算：

0.8-150

-0.210-5

2.已知A=Cos6)-Sm6),求A2,A3,你能得到An的結(jié)果嗎？(n￡N*).

sin0cos6

01b01

3.計算,并用文字描述二階矩陣對應(yīng)的變換方式.

10d10

4.已知△ABC,其中A(1,2),B(2,0),C(4,-2),先將三角形繞原點按順時針旋

轉(zhuǎn)90°,再將所得圖形的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變.

(1)求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M;

(2)求點A,B,C在變換矩陣M作用下所得到的結(jié)果；

(3)假如先將圖形的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，再將所得圖形繞原點順時針旋

轉(zhuǎn)90°,則連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M'是什么呢？

2

5.設(shè)m,nek,若矩陣A=把直線/:x—5y+l=0變換成另始終線I':

0n

2x+y+3=0,試求出m,n的值.

§2.3.2矩陣乘法的的簡潔性質(zhì)一

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.能從矩陣運算和圖形變換的角度理解矩陣乘法的簡潔性質(zhì).

2.能運用矩陣乘法的簡潔性質(zhì)進行矩陣乘法的運算

過程與方法：

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：矩陣乘法的簡潔性質(zhì)

教學(xué)難點：矩陣乘法的簡潔性質(zhì)

教學(xué)過程：

一、問題情境：

實數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和消去律，那么矩陣的乘法是否也滿足這

些運算律呢？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.矩陣的乘法不滿足交換律

2.矩陣的乘法滿足結(jié)合律

3.矩陣的乘法不滿足消去律

三、教學(xué)運用：

例1、已知梯形ABCD,A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),變換Ti對應(yīng)

的矩陣P=:；,變換T2對應(yīng)的矩陣Q=j:,計算PQ,QP,比較它們是

否相同，并從幾何變換的角度予以說明.

0

例2、已知M=3°,P=3,Q=

1,求PMQ.

0—7_.

7.

(1)試求滿足方程MX=N的二階方陣X;

(2)試求滿足方程JYN=M的二階方陣Y.

例4、已知A=?°,B=7°,證明AB=BA,并從幾何變換的角度予

0—101

以說明.

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：練習(xí)：P461,2

六、回顧反思：

七、課外作業(yè):

020

1.(1)已知M=2,N=,求MN,NM.

01

01

12-3-4

(2)已知M=,N=,求MN,NM.

34-1-2

57101-7

2.己知A=,P=,Q=,求PAQ.

-651213101

3.證明下列等式，并從幾何變換的角度賜予說明.

1010

201「20

(1)]__1_

000

22

101TooiriolToo-

⑵

2111~5111

20

4.已知AABC,A(0,0),B(2,0),C(1,2),對它先作M=0〔對應(yīng)的變換，再

作NJ10］對應(yīng)的變換，摸索討變換作用后的結(jié)果，并用一個矩陣來表示這

02

兩次變換.

5.兩個矩陣的乘法的幾何意義是對應(yīng)變換的復(fù)合，反過來，可以對平面中的某

些幾何變換進行簡潔的分解，你能依據(jù)如圖所示變換后的圖形進行分解，從

而知道它是從原來圖形經(jīng)過怎樣的復(fù)合變換過來的嗎？

A:

2x

§2.4.1逆矩陣的概念一

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.理解逆變換和逆矩陣的概念，能用幾何變換的觀點推斷一個矩陣

是否存在逆矩陣.

2.駕馭求矩陣的逆矩陣的方法.

3.駕馭AB可逆的條件及(AB)”的求法，理解矩陣乘法滿足消去解

的條件.

過程與方法：

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：逆變換和逆矩陣的概念

教學(xué)難點：求矩陣的逆矩陣

教學(xué)過程：

一、問題情境：

已知二階矩陣對應(yīng)的變換把點(x,y)變換為(x'，y'),是否存在一個變

換能把點(x',y')變換為(x,y)呢？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.逆變換和逆矩陣的概念

注：①假如A可逆，那么逆矩陣唯一.

②二階矩陣可逆的條件

2.逆矩陣的求法：

①定義法

②幾何變換法

3.AB可逆的條件及(AB)」的求法

4.矩陣乘法滿足消去解的條件.

三、教學(xué)運用：

例1、用幾何變換的觀點推斷下列矩陣是否存在逆矩陣，若存在，求出其逆矩陣.

-0f-0-o-r-1O-

(1)A=(2)B=2(3)C=(4)D=

10?（）10

01_

例2、求下列矩陣的逆矩陣.

-5r--IO-

(1)A=出8=

_73__21

例3、試從幾何變換的角度求解AB的逆矩陣.

-1-0-f-1o-1-

(1)A=,B=(2)A=,B=2

_0-1__10_02_

01

136-3

例4、設(shè)可逆矩陣A=的逆矩陣A-1求a,b.

10b—10ci

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：P631.(1)(2)2.(1)

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

1.用幾何變換的觀點推斷下列矩陣是否存在逆矩陣，若存在，把它求出來.

1行

2一行「12]「20]「10

(1)A=廣2出8=(3)C=(4)D=

由1|_01JSU|_°°

.T2.

2.求下列矩陣的逆矩陣

3.試從幾何變換的角度求矩陣AB的逆矩陣.

d)A=⑵八;

V3

4012

4.己知矩陣A=,B=，求A",B-1,(AB)-1

0234

5.已知二階矩陣A,B,C的逆矩陣分別為A",B",Ct,那么(ABC)",(ACB)

L(BCA)“分別等于什么？你能將你的結(jié)論作進一步的推廣嗎？

§2.4.2二階矩陣與二元一次方程組_

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.駕馭二階行列式的定義及運算方法，了解行列式與矩陣的異同.

2.駕馭運用行列式解方程組的方法.

3.能利用逆矩陣?yán)斫舛淮畏匠探M的求解過程，駕馭從幾何變換

的角度推斷方程組的解的狀況

過程與方法：

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：二階行列式的定義及運算方法

教學(xué)難點：運用行列式解方程組

教學(xué)過程：

一、問題情境：

關(guān)于x,y的二元一次方程組（依+勿="當(dāng)ab-bc^O時，方程的解為

cx-^-dy=n

md-bn

x-

ahmham

<adfc,視察方程組的解的結(jié)果，與矩陣有

an-cmcdndcn

y=---------

、ad-be

何聯(lián)系？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué):

1.二階行列式及運算公式;

2.二元一次方程組的行列式解法；

3.利用逆矩陣?yán)斫舛淮畏匠探M的求解過程及從幾何變換的角度推斷方

程組的解的狀況.

三、教學(xué)運用:

例1、利用行列式解方程組圖猊二:

思索：如何用逆矩陣的學(xué)問解這個方程組？

例2、利用行列式方法求矩陣的逆矩陣

例3、試從幾何變換的角度說明方程組X+5)'=3解的存在性和唯一性.

[y=2

102

例4、已知二元一次方程組Ax=B,A1°,B=之，試從幾何變換的角度探討

方程組解的狀況.

四、課堂小結(jié):

五、課堂練習(xí):

X|

1.設(shè)A=x=,B=,用兩種方法解方程組Ax=B;

32LyJL2J

0x3

2.已知方程組Ax=B,A=x=,B=試從幾何變換的角度探討方程

02_y]L5

組解的狀況.

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

-2-14'

1.已知M=]2，且det(M)=O,求人.

(1)計算det(A),det(B)

(2)推斷矩陣AB是否可逆，若可逆，求其逆矩陣.

3.利用行列式解下列方程組:

x+4y+2=02x+3y=0

(1乂

3元+2y一5=04x-y=0

4.設(shè)A=用兩種方法解方程Ax=B.

I

5.試從幾何變換角度說明方程/+3y=5的解的存在性和唯一性.

242012

6.已知=A，求使等式成立的矩陣A.

350101

§2.5特征值與特征向量(1)_

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.理解特征值與特征向量的含義.

2.駕馭求矩陣的特征值和特征向量的方法，并能從幾何變換的角度

加以說明.

過程與方法：

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：特征值與特征向量的含義

教學(xué)難點：求矩陣的特征值和特征向量

教學(xué)過程：

一、問題情境：

已知伸壓變換矩陣M=,向量a=；和8=：在M對應(yīng)的變換作用下得到

*20

的向量a'和B'分別與a,B有什么關(guān)系？對伸壓變壓矩陣N=呢？

01_

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1.矩陣的特征值和特征向量的定義.

2.特征多項式

3.矩陣M=「"的特征值和特征向量的計算方法：

cd

⑴構(gòu)造特征多項式f(入)=0；

(2)解方程f(X)=0;

(2)將人代入卜一")：一勿=°,求出對應(yīng)的一個特征向量.

一ci+(/l_d)y=0

注：假如向量a是屬于人的特征向量，那么1<!。金1^,1/0)也是屬于人的特

征向量.

三、教學(xué)運用:

例1.求下列矩陣的特征值和特征向量,并從幾何變換的角度加以說明.

1002

(1)A=⑵B=

0-120

,試求矩陣PAQ的特征值與特征向

里.

例3.已知。是矩陣M屬于特征值入=3的特征向量，其中

且a+b+m=3,求a,b,m.

四、課堂小結(jié)：

五、課堂練習(xí)：P721

六、回顧反思：

七、課外作業(yè)：

1.向量1在矩陣I°變換下（

)

_ojL03_

A.變更了方向，長度不變B.變更了長度，方向不變

C.方向和長度都不變D.以上都不對

2.下列對于矩陣A的特征值人的描述正確的是（）

A.存在向量a,使得Aa=入aB.對隨意向量a,有Aa=入a

C.對隨意非零向量a,Aa=入a成立D.存在一個非零向量a,有Aa=入a

3.矩陣F的特征值為,對應(yīng)的特征向量為

0-1

4.求下列矩陣的特征值和特征向量:

-12

⑵

41

2-5和「5］都是矩陣A的對應(yīng)于不同的特征值的

5.已知M=,試說明

-434

特征向量.

6.已知a是矩陣A屬于特征值入=—2的特征向量，其中A=aa=2

Llb\'[3

a,b.

7.假如向量a既是矩陣M的特征向量，又是矩陣N的特征向量，證明：a必是

MN及NM的特征向量.

§2.5特征值與特征向量（2）

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：

1.進一步理解特征值與特征向量的概念，能嫻熟求矩陣的特征值和特征向量.

2.能利用矩陣的特征值和特征向量求向量多次變換的結(jié)果.

過程與方法：

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：特征值與特征向量的概念

教學(xué)難點：求矩陣的特征值和特征向量

教學(xué)過程：

—>復(fù)習(xí)回顧：

r「10]

r-171—

1.已知A=,B=3，求矩陣BA的特征值與特征向量；

*|_20

-0-1'

2.說明矩陣沒有實數(shù)特征值和特征向量.

10

11

留意：1.矩陣M有特征值人及對應(yīng)的特征向量a,則Mna=入a（n《N*）.

2.假如矩陣M有兩個不共線的特征向量a?,a2,其對應(yīng)的特征值分

別為入?,入2,那么平面內(nèi)隨意個向量&=5<1.a?,因此Mna=SAJa1+t

n

X2a2.

二、教學(xué)運用：

91n

例1、已知M=,P=,求M?B.

-32][_-4

121

例2、已知M=,B=7計算M50P.

_21JL

例3、已知矩陣M=36有屬于特征值入&的特征向量aI=6

5及屬于

_52]L.

特征值入2=-3的特征向量a2=1.

-1

■31

(1)對向量a=，記作a=a]—3a2,利用這一表達式計算M3a及M，

8

~Q-

(2)對向量B=3,求乂58及乂必8.

三、課堂小結(jié)：

四、課堂練習(xí)：P721

五、回顧反思：

六、課外作業(yè)：

12

L設(shè)A：?I，矩陣A的特征值為()

A.3和1B.3和一1C.一3和1D.一3和一1

1

2

2.設(shè)M=矩陣M的特征向量可以是)

L2~2

后1

D.

13

3.設(shè)A是旋轉(zhuǎn)角為n的旋轉(zhuǎn)變換，口是一個隨意向量，N在A下的象A口=一口,

則A的屬于特征—1的特征向量為平面上的.

-8-5-

4.(1)求矩陣M=的特征值與特征向量；

(2)向量a=求M4a,M?a.

123

5.已知矩陣A=及向量a=

544

⑴計算A%,并分析探討當(dāng)n的值越來越大時,A11a的變更趨勢.

(2)給出Ana的一個近似公式，并利用這一近似公式計算A100a.

6.若矩陣A有特征向量i=:和j=：,且它們所對應(yīng)的特征值分別為入i=2,

入2=-1.

(1)求矩陣A及其逆矩陣A」；

(2)求逆矩陣A”的特征值及特征向量；

X

(3)對隨意向量a="，求Ai0°a及A-k.

y

§2.6矩陣的簡潔應(yīng)用一

教學(xué)目標(biāo)：

學(xué)問與技能：1.熟悉線階矩陣的一些簡潔應(yīng)用，能利用矩陣解決一些簡潔的實際

問題.

2.通過矩陣的一些計算，相識各種問題中的數(shù)學(xué)規(guī)律.

過程與方法：

情感、看法與價值觀：

教學(xué)重點：矩陣的一些簡潔應(yīng)用

教學(xué)難點：利用矩陣解決一些簡潔的實際問題

教學(xué)過程：

一、問題情境：

如圖是A、B、C三個城市間的交通狀況，小月想從其中某一城市動身直達

另一個城市，她可以有幾種選擇？假如她想從某一城市動身，先經(jīng)過一個城市

再到達另一個城市，她又可以有幾種選擇？A

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)：

1網(wǎng).絡(luò)圖

2.一級路矩陣和二級路矩陣

三、教學(xué)運用

'012'

例1、已知一級路矩陣100表示一個網(wǎng)絡(luò)圖,它們的結(jié)點分別為A