第八章平面解析幾何

平面解析幾何

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第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程

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1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.

2.掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式

等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

<>主干知識?練中回扣。ZHUGASZHISHI1.1\NZHOS<；HVIK(>f憶教材夯基提能

??>知識清單

一、必備知識

1.直線的傾斜角與斜率

(1)直線的傾斜角

①一個(gè)前提：直線1與X軸相交；

一個(gè)基準(zhǔn)：取區(qū)作為基準(zhǔn)；

兩個(gè)方向：X軸正方向與直線1向上的方向.

②當(dāng)直線1與X軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為

③傾斜角的取值范圍為笆3).

(2)直線的斜率

①定義：若直線的傾斜角。不是90。，貝IJ斜率k=tan&

②計(jì)算公式：若由A(xi,y,),B(X2,y2)確定的直線不垂直于x軸，貝U1<=池三3

X?一耳』

2.直線方程的幾種形式

名稱條件方程適用范圍

y-y丘

點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(xo,y°)不含直線X=Xo

k(x—xp)

斜截式斜率k與截距bY=kx+b不含垂直于X軸的直線

y-yi_

y2—y】一不含直線X=Xi(Xi=X2)和

兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(xi,yi),(X2,y)

2X-X]直線y=yi(yi=y2)

X2-X』

x.y不含垂直于坐標(biāo)軸和過原

截距式截距a與b=+.=]

a-b—點(diǎn)的直線

Ax+By+C=0(A2+平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線

一般式—

B2,0)都適用

二、必記結(jié)論

直線的斜率k與傾斜角e之間的關(guān)系

00°0°<0<90°90°90°<0<180°

k0k>0不存在k<0

牢記口訣：

“斜率變化分兩段，90。是分界線；

遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.

??>對點(diǎn)演練

一、思考辨析

判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“小，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何?條直線均有傾斜角與斜率.()

⑵過點(diǎn)M(a,b),N(b,a)(arb)的直線的傾斜角是45。.()

(3)直線的傾斜角越大，斜率k就越大.()

(4)經(jīng)過點(diǎn)P(x(),y°)的直線都可以用方程y—yo=k(x—X。)表示.()

(5)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P|(X[,y,),P2(x2)y2)的直線都可以用方程(y-yi)(X2—xD=(x

一xD(y2-yi)表示?()

提示：(1)錯(cuò)誤.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角，但斜率不一定存在.

⑵錯(cuò)誤.因?yàn)檫^點(diǎn)M(a,b),N(b,a)(arb)的直線的斜率為-1,故其傾斜角是13為.

(3)錯(cuò)誤.因?yàn)閗=tanO偌)當(dāng)Oe0,桐，0越大，斜率k就越大，同樣0金兀)時(shí)

也是如此，但當(dāng)06(0,兀)且0奇時(shí)，不符合。越大，斜率k就越大.

(4)錯(cuò)誤.經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y。)的直線只有當(dāng)其斜率存在時(shí)才可以用方程丫-丫0=1<儀-*0)表示.

(5)正確.直線PR的方程不管其斜率存在與否都可以用方程(y-yi)(x2-xi)=(x-xj(y2

-yi)表示.

答案：(l)x(2)x(3)x(4)x(5)4

二、牛刀小試

1.直線x=2的斜率為()

A.0B.2C.4D.不存在

解析：選D因?yàn)橹本€x=2垂直于x軸，故其斜率不存在.

2.直線小x—y+a=O的傾斜角為()

A.30°B.60°C.150°D.120°

解析：選Bk=tana=y[3,X00<a<180°,/.a=60°.

3.(2015?臨川模擬)直線kx-y+2=4k,當(dāng)k變化時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)()

A.(0,0)B.(2,1)C.(4,2)D.(2,4)

解析：選C直線方程可化為k(x-4)-(y-2)=0,所以直線恒過定點(diǎn)(4,2).

4.過兩點(diǎn)A(0,1),B(-2,3)的直線方程為.

解析：由兩點(diǎn)式方程可得='三，整理得x+y-l=O.

3-1-2-0

答案：x+y-l=O

5.若點(diǎn)A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為.

5—3a—3

解析：k=7—-=1,k=-~^=@-3.由于人，B,C三點(diǎn)共線，所以a-3=1,即a

AC6-4AB5-4

=4.

答案：4

<2>熱點(diǎn)題型?分類突破<>"""、一?,析考點(diǎn)強(qiáng)化認(rèn)知

考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率

[1501]⑴直線2xcosa—y—3=O(ad余部的傾斜角的取值范圍是()

(2)直線1過點(diǎn)P(l,0),且與以A(2,1),B(O,小)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線I斜

率的取值范圍為.

[聽前試做]⑴直線2xcosa-y-3=0的斜率k=2cosct,因?yàn)閍e聿，鼻，所以3cos

因此k=2-cosad[l,小].設(shè)直線的傾斜角為0,則有tan0d[l,小].又。e[0,

兀)，所以0G1,即傾斜角的取值范圍是，!

(2)

1—0

如圖，?..kAP=7T7=l,

,小-0H

kBP=q"7=-W，

kG(-oo,-?。軺［1,+co).

答案：(1)B(2)(-00,-小］U［1,+oo)

［探究1］若將題(2)中P(l,0)改為P(-l,0),其他條件不變，求直線1斜率的取值范圍.

解：0),A(2,1),B(0,小),

..I-Q_1

,,KAP-2-(-1)-3'

kBP=oW］；)=6

如圖可知，直線1斜率的取值范圍為去?。?/p>

［探究2］若將題(2)條件改為“經(jīng)過P(0,一1)作直線1,若直線1與連接A(l,-2),B(2,

1)的線段總有公共點(diǎn)”，求直線1的傾斜角a的范圍.

—2—(—1)］—(—［)

解：法一：如圖所示，kpA=----1----=-1,kpB=----------=L由圖可觀察出:

直線1傾斜角a的范圍是向,U律兀)

法二：由題意知，直線I存在斜率.設(shè)直線1的斜率為k,

則直線1的方程為y+1=kx,即kx-y-1=0.

VA,B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線I上.

A(k+2-l)(2k-1-1)<0,即2(k+l)(k-l)<0.

:.-l<k<l.

.,.直線1的傾斜角a的范圍是在，；］口［,，兀).

［探究3］將題(2)改為：已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=8,當(dāng)2sxs3時(shí)，則制最大值為

;最小值為?

解析：本題可先作出函數(shù)y=8-2x(2Wx/3)的圖象，把(看成過點(diǎn)(x,y)和原點(diǎn)的直線的

斜率進(jìn)行求解.

如圖，設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)閤,y滿足2x+y=8,且2gxS3,所以點(diǎn)P(x,y)在線段AB上

移動，并且A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,4),B(3,2).因?yàn)?的幾何意義是直線OP的斜率,

2V2

且koA=2,k<)B=7,所以己的最大值為2,最小值為、

3X3

答案：212

方法?規(guī)律

求傾斜角的注意點(diǎn)及其取值范圍的一般步驟

求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.求其取值范圍的一般步驟為：

(1)求出斜率k=tana的取值范圍；

(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角a的取值范圍.

一變式訓(xùn)練

已知兩點(diǎn)A(一小，3),B(l,一啊,直線1的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則直線

1的斜率為.

解析：設(shè)直線1的傾斜角為a,則直線AB的傾斜角為2a,

3-(一小)

則由題可知tan2a

一小-I_布

所以2a=120。，解得tana=小，即直線1的斜率為小.

答案：A/3

考點(diǎn)二直線方程

［例2］求適合下列條件的直線方程：

(1)直線過點(diǎn)(一3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；

(2)直線過點(diǎn)(5,10),且原點(diǎn)到直線的距離為5.

［聽前試做］(1)由題設(shè)知截距不為0,設(shè)直線方程為：一=1,

a1幺a

—34

從而---+;o_=1,解得a=-4或9.

a12.一a

故所求直線方程為4x-y+16=0或x+3y-9=0.

(2)依題設(shè)知此直線的斜率可能不存在.

當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x-5=0;

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k,則y-10=k(x-5),

即kx-y+(10-5k)=0.

iin-skia

由點(diǎn)到直線的距離公式得：喂當(dāng)=5,解得卜=去

+14

故所求直線的方程為3x-4y+25=0.

綜上，所求直線的方程為x-5=0或3x-4y+25=0.

方族?規(guī)律

求直線方程的注意點(diǎn)

在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.

(1)用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在；

(2)兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直

線，故在解題時(shí)，若采用截距式，注意分類討論，判斷截距是否為零.

一變式訓(xùn)練

經(jīng)過點(diǎn)P(-5,-4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是()

A.8x+5y+20=0或2x-5y-12=0

B.8x-5y-20=0或2x-5y+10=0

C.8x+5y+10=0或2x+5y-10=0

D.8x-5y+20=0或2x-5y-10=0

解析：選D由題意設(shè)所求方程為y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由-

482

4|-r-5=5得，k=w或k=w.將k代入可得直線方程.

KDJ

考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用

直線方程是解析幾何的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，在高考中經(jīng)常與其他知識結(jié)合考查，多以選

擇、填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大，多為中、低檔題目，且主要有以下幾個(gè)命題角度：

角度一：與基本不等式結(jié)合求最值問題

［例3］(2014?四川高考)設(shè)mGR,過定點(diǎn)A的動直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動直線

mx—y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則|PAHPB|的最大值是.

［聽前試做］易求定點(diǎn)A(0,0),B(l,3).當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，因?yàn)镻為直線x

+my=0與mx-y-m+3=0的交點(diǎn)，且易知兩直線垂直,則PA_LPB,所以|PA『+|PB|2=|AB|2

ipAi2+|PBF

=10,所以|PAHPB|g-_'-MSI當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=小時(shí)，等號成立)；當(dāng)P與A或B

重合時(shí)，|PA|-|PB|=0,故|PAHPB|的最大值是5.

答案:5

角度二：與圓相結(jié)合求解直線方程

［例4］(2014?福建高考)已知直線1過圓x2+(y-3)2=4的圓心，且與直線x+y+1=0

垂直，貝也的方程是()

A.x+y—2=0B.x—y+2=0

C.x+y—3=0D.x—y+3=0

［聽前試做」依題意，得直線1過點(diǎn)(0,3),斜率為1,所以直線1的方程為y-3=x-0,

即x-y+3=0.故選D.

答案：D

角度三：由直線方程求參數(shù)問題

22

［例5］(2015?泰安模擬)已知直線h：ax—2y=2a—4,12：2x+ay=2a+4,當(dāng)0<a<2

時(shí).，直線h,b與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a=.

［聽前試做］由題意知直線h,b恒過定點(diǎn)P(2,2),直線L的縱截距為2-a,直線I2的

橫截距為J+2,所以四邊形的面積S=；x2x(2-a)+；x2x(a?+2)=a?-a+4=(a-J)+與，

當(dāng)a=g時(shí)，面積最小.

答案：|

方法?規(guī)律

與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等

式求解最值.

(2)求直線方程.弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.

(3)求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性或基本不等式求解.

口變式訓(xùn)練

L已知直線1過點(diǎn)M(l,1),且與x軸，y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原

點(diǎn)，則當(dāng)QA|+|OB|取得最小值時(shí)，直線1的方程為.

解析：設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).設(shè)直線1的方程為：+*=1,則,+1=1,所以

3DaD

|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(；+()=2+^+^>2+2-^^=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號，

此時(shí)直線I的方程為x+y-2=0.

答案：x+y—2=0

2.(2015?濟(jì)寧一模)如果直線x—2y+b=0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1,

那么b的取值范圍是()

A.[—2,2]B.(—co,—2]U[2,+oo)

C.[-2,0)0(0,2]D.(-00,+oo)

解析：選C令x=0,得y=?,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面積為:號|-

b|=1b*2,且b邦，1b2<l,所以b2",所以be［-2,0)U(0,2］.

［課堂歸納——通法領(lǐng)悟］

1個(gè)關(guān)系——直線的傾斜角和斜率的關(guān)系

斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角aW90。時(shí)，k=tana.直線都有傾斜角，但并不是每條直線

都存在斜率，傾斜角為90。的直線無斜率.

2種方法——求直線方程的方法

(1)直接法：根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程.

(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件中構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)

的方程(組)，求出待定系數(shù)，從而求出直線方程.

4個(gè)注意點(diǎn)——直線方程的4個(gè)注意點(diǎn)

(1)利用兩點(diǎn)式計(jì)算斜率時(shí)易忽視X|=X2時(shí)斜率k不存在的情況.

(2)用直線的點(diǎn)斜式求方程時(shí)，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，

否則會造成失誤.

(3)直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式.

(4)由一般式Ax+By+C=0確定斜率k時(shí)易忽視判斷B是否為。的情況，當(dāng)B=0時(shí)，

A

k不存在；當(dāng)B#0時(shí)，k=-g.

<>能力素養(yǎng)?綜合驗(yàn)收。NKNGLIStYZOSCHEY.WSHOI練技,能查漏補(bǔ)缺

?對應(yīng)學(xué)生用書P302

［全盤鞏固］

一、選擇題

1.直線1：xsin30o+ycos150。+1=0的斜率是()

A坐B.A/3C.一小D.—j

解析：選A設(shè)直線1的斜率為k,則k=-丹黑=坐

2.(2015?西安模擬)過點(diǎn)(小，一2)的直線1經(jīng)過圓x2+y2-2y=0的圓心，則直線I的傾

斜角大小為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

-2-1

解析：選C圓心坐標(biāo)為(0,1),斜率k=tana=小_0-=-小,，傾斜角a=120。.

22

3.過點(diǎn)A(4,-1)和雙曲線/一根=1的右焦點(diǎn)的直線方程為()

A.y=x—5B.y=2x—9

C.y=3x—7D.y=4x—17

X2v2、

解析：選A由于雙曲線不-y=1的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(5,0),因此過點(diǎn)A(4,-1)和雙

y10

X2丫21

曲線§-七=1的右焦點(diǎn)的直線方程為y=yr^x(x-5),即y=x-5.

4.直線ax+by+c=0同時(shí)要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a,b,c應(yīng)滿足()

A.ab>0,bc<0B.ab>0,bc>0

C.ab<0,bc>0D.ab<0,bc<0

解析：選A由于直線ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方

程變形為丫=一&一a易知d<0且一，>0,故ab>0,be<0.

bbbb

5.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=3,則直線2ax—by—12=0必過定點(diǎn)()

A.(-2,8)B.(2,8)

C.(-2,-8)D.(2,-8)

角翠析：選Da+2b=34a+8b—12=0,X2ax-by-12=0,比較可次口x=2,y=-8,

故選D.

6.(2013?山東高考)過點(diǎn)(3,1)作圓(x—1)?+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則直

線AB的方程為()

A.2x+y—3=0B.2x—y—3=0

C.4x—y—3=0D.4x+y—3=0

解析：選A根據(jù)平面幾何知識，直線AB一定與點(diǎn)(3,1),(1,0)的連線垂直，這兩點(diǎn)

連線的斜率為:，故直線AB的斜率一定是-2,只有選項(xiàng)A中直線的斜率為-2.

7.(2015?深圳調(diào)研)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線11：ax+y+b=0和直線卜：bx+y

+a=0有可能是()

ABCD

解析：選B直線1］：ax+y+b=0的斜率的=-a,在y軸上的截距為-b;直線b：bx

+y+a=0的斜率k2=-b,在y軸上的截距為-a.在選項(xiàng)A中k的斜率-b<0,而1］在y軸

上截距-b>0,所以A不正確.同理可排除C、D.

兀

8.(2015?哈爾濱模擬)函數(shù)y=asinx—bcosx的一條對稱軸為x=1,則直線1：ax—by+

c=0的傾斜角為()

A.45°B.60°C.120°D.135°

解析：選D由函數(shù)丫=悶=25畝乂-卜0$乂的一條對稱軸為乂=：知，f(0)=(§,即-b

=a,二直線1的斜率為-1,二傾斜角為135。.

二、填空題

9.若直線1與直線y=l,x=7分別交于點(diǎn)P,Q,且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),

則直線1的斜率為.

解析：設(shè)P(xp,1),由題意及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得xp+7=2,解得Xp=-5,即P(-5,1),

所以k=-；.

答案：一g

10.(2015?中山模擬)過點(diǎn)M(-3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為

解析：(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=-1x;

(2)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為:+1—=1,

即x-y=a.代入點(diǎn)(-3,5),得a=-8.

即直線方程為x-y+8=0.

答案：y=—|x或x—y+8=0

11.(2015?泉州模擬)若點(diǎn)(m,n)在直線4x+3y—10=0上，則n?+i?的最小值是.

解析：因?yàn)辄c(diǎn)(m,n)在直線4x+3y-10=0上，所以4m+3n-10=0,利用rr^+n?表

示為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的最小值來分析可知，m*2*+n2的最小值為4.

答案：4

12.(2015?貴陽模擬)直線1經(jīng)過點(diǎn)A(l,2),在x軸上的截距的取值范圍是(一3,3),則

其斜率的取值范圍是.

,2

解析：設(shè)直線1的斜率為k,則方程為y-2=k(x-1),在x軸上的截距為1-令-3

K

21

<1-r<3,解得k〈-1或k>T.

K，

答案：(-8,-l)uQ,+8)

三、解答題

13.已知兩點(diǎn)A(-l,2),B(m,3).

(1)求直線AB的方程；

(2)已知實(shí)數(shù)mW—坐一1,小一1,求直線AB的傾斜角a的取值范圍.

解：(1)當(dāng)m=-l時(shí)，直線AB的方程為x=-1;

當(dāng)mW-1時(shí)，直線AB的方程為y-2=」~r(x+1).

/m+r7

jr

(2)①當(dāng)m=-1時(shí)，a=2；

②當(dāng)mA1時(shí)，m+le-坐，0)U(0,?。?

?"=尚，(-8，-?。軺停+8),

~71兀、(7127fl

二。n-2)U\2,Tj

綜合①②知，直線AB的傾斜角ad親，朗.

［沖擊名校］

1.設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為a,且sina+cosa=0,則a,b滿足()

A.a+b=1B.a—b=l

C.a+b=0D.a-b=0

解析：選D因?yàn)閟ina+cosa=0,所以tana=-1.又因?yàn)閍為傾斜角，所以斜率卜=

-1.而直線ax+by+c=0的斜率k=-奈所以即a-b=0.

2.(2015?杭州模擬)已知f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，如果F(x)是二次函數(shù)，f(x)的圖象開

口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,小)，那么曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角a的取值范圍

是()

「兀2兀~|「兀、

喝TjDbn)

解析：選B由題意知？(x)=a(x-I)?+，5(a>0),所以F(x)=a(x-1了+仍之小，即tan

r-「兀兀、

a>V3,所以2),

3.(2015?太原模擬)已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為af(缶)⑺。*),其前n項(xiàng)和Sn=

得，則直線言y+；=l與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為()

A.36B.45C.50D.55

解析：選B由斯金(n\)，可知2，，=(-尚，

919

又知工=而，，1-寸7=而，即n=9.

，直線方程為高+'=1,且與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(10,0)和(0,9),

1U7

直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為:x10x9=45.

4.已知直線1與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線1的方

程：

(1)過定點(diǎn)A(—3,4)；

(2)斜率為5.

4

解：(1)設(shè)直線1的方程為y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分另U是-工-3,3k+

K

4,

由已知,得(3k+4)0+3)=±6,

7Q

解得k|=或k2=

故直線1的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

(2)設(shè)直線I在y軸上的截距為b,則直線1的方程是y=3+b,它在x軸上的截距是-

6b,

由已知，得|-6b?b|=6,/.b=±1.

直線1的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

考綱下我

1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

＜＞主干知識?練中回扣。ZHI＜；\XZHISHII.IAXZHOXCHllKOf?憶教材夯基提能

?對應(yīng)學(xué)生用書P152

知識清單

一、必備知識

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

①對于兩條不重合的直線h,b其斜率分別為k1,k2,則有ki=k2；

②當(dāng)不重合的兩條直線h,b的斜率都不存在時(shí)，L與1,的關(guān)系為平行.

(2)兩條直線垂直

①如果兩條直線h,b的斜率存在，設(shè)為如，k2,則hJJ2k|k2=-l；

②如果L,12中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率40時(shí)，h與12的關(guān)系為垂

2.兩條直線的交點(diǎn)

3.三種距離

『嗎=(x]—xi)「+(y)-yi)2

點(diǎn)P1(X1,y,),P2(X2,y2)之間的距離

lAx<)+By(,+C|

點(diǎn)Po(xo,yO)到直線1：Ax+By+C=0的距離

A/A2+B2

兩條平行線Ax+By+C|=0與Ax+By+C2?二￡2]

=0間的距離、/A*

二、必記結(jié)論

常見的直線系方程

:22

(1)過定點(diǎn)P(x(),y())的直線系方程：A(x—Xo)+B(y—yo)+C=O(A+B/0),還可表示為y

—yo=k(x—x())(斜率不存在時(shí)可設(shè)為x=xo).

(2)平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程：Ax+By+G=0(G#3).

(3)垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程：Bx-Ay+G=0.

(4)過兩條已知直線Aix+Biy+Ci=O,A2x+B2y+Cz=0交點(diǎn)的直線系方程：Aix+B〕y

+C?+X(A2X+B?y+C2)=0(其中不包括直線A2X+B2y+C2=0).

?>>對點(diǎn)演練

一、思考辨析

判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“4”,錯(cuò)誤的打“X”)

(1)當(dāng)直線h和12斜率都存在時(shí)，一定有kI=k2h〃12.()

(2)如果兩條直線h與b垂直，則它們的斜率之積一定等于-1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

(4)點(diǎn)P(x(),%)到直線y=kx+b的距離為)

(5)兩平行直線2x-y+l=0,4x-2y+l=0間的距離是0.()

提示：⑴錯(cuò)誤.當(dāng)直線h和b斜率都存在時(shí)，雖然有ki=k2,但有可能重合.

(2)錯(cuò)誤.兩條直線h與b垂直，它們的斜率之積等于-1,或一條直線斜率不存在，另

一條直線斜率為0.

(3)正確.若兩條直線組成的方程組有唯一解時(shí)，兩條直線必相交.

(4)錯(cuò)誤.點(diǎn)到直線的距離公式的使用條件是直線方程必須是一般式.

(5)錯(cuò)誤.使用兩條平行線間的距離公式的條件是兩條直線方程都是一般式且一次項(xiàng)系數(shù)

相同.

答案：(l)x(2)x(3)4(4)x(5)x

二、牛刀小試

1.原點(diǎn)到直線x+2y—5=0的距離是()

A.1B./C.2D.y[5

I-5|

解析：選Dd=/=y[5.

11+?22?v

2.(2015?煙臺模擬)已知直線h的方程為3x+4y—7=0,直線上的方程為6x+8y+1=0,

則直線h與12的距離為()

83

A.gB，2C.4D.8

解析：選B1]的方程可化為6x+8y-14=0,又因?yàn)椴返姆匠虨?x+8y+1=0,所以

1]與b的￡巨離d」J；/TA

3.兩直線h：3x+4y—2=0和I2：3x+y+2=0的交點(diǎn)為

10

3x+4y-2=0,x=-g,

解析：解方程組

3x+y+2=04

y=3-

104A

交點(diǎn)坐標(biāo)為9'3>

4.若直線x—2y+5=0與直線2x+my—6=0互相垂直，則頭數(shù)m=.

解析：:直線x-2y+5=0與2x+my-6=0互相垂直，=-1,Am=1.

答案：1

<>熱點(diǎn)題型?分類突破。析考點(diǎn)強(qiáng)化認(rèn)知

?對應(yīng)學(xué)生用書P153

考點(diǎn)一兩條直線的平行與垂直問題

[例1](1)(2015?濟(jì)南模擬)已知兩條直線h：(a—l>x+2y+l=0,12：x+ay+3=0

平行，則a=()

A.-1B.2C.0或一2D.-1或2

(2)已知兩直線方程分別為巾x+y=lj：ax+2y=0,若IJb,則a=.

(3)經(jīng)過兩直線h：x—2y+4=0和E：x+y—2=0的交點(diǎn)P,且與直線b：3x—4y+5=

0垂直的直線I的方程為.

[聽前試做](1)若a=0,兩直線方程為-x+2y+1=0和x=-3,此時(shí)兩直線相交，不

平行，所以a和.當(dāng)a#0時(shí)，若兩直線平行，則有=$4，解得a=-l或a=2,選D.

(2)法一："'?k|k2=-I,即5=-1,解得a=-2.

法二：Vhih,r.a+2=0,a=-2.

[x-2y+4=0,fx=0,

(3)法一：由方程組得即P(0,2).

[x+y-2=0,[y=2,

4

Vl±l3,，直線1的斜率k|=

4

直線1的方程為y-2=-鏟，

即4x+3y-6=0.

法二：?.?直線1過直線L和b的交點(diǎn)，

二可設(shè)直線1的方程為x-2y+4+Mx+y-2)=0,

即(1+X)x+(X-2)y+4-2X=0.

-1與b垂直,

/.3(1+X)+(-4)(X-2)=0,"=11,

直線1的方程為12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.

答案：(1)D(2)-2(3)4x+3y—6=0

［探究1］若將題⑵中條件‘'，卜''改為“h〃12”，其他條件不變，求a的值.

解：Aa=2.

［探究2］題(2)變?yōu)椋骸癮=2”是“直線ax+2y=0與直線x+y=l平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

角星析：當(dāng)a=2時(shí)，直線ax+2y=0即x+y=0與直線x+y=1平彳亍；當(dāng)直線ax+2y=0

與直線x+y=l平行時(shí)，-1=-1,a=2.綜上所述，“a=2”是"直線ax+2y=0與直線x+y

=1平行”的充要條件，故選C.

答案：C

［探究3］將題(3)中條件“與直線七：3x-4y+5=0垂直”改為“與直線b：3x-4y+5=0

平行“，求此時(shí)直線1的方程.

x-2y+4=0,x=0,

解：法一：由方程組得即P(0,2).

[x+y-2=0,ly=2,

3

直線1的斜率不

3

.?.直線1的方程為y-2=]x,即3x-4y+8=0.

法二：,/直線1過直線I,和12的交點(diǎn)，

可，殳直線1的方程為x-2y+4+X(x+y-2)=0,

即(1+X)x+(A.-2)y+4-2X=0.

VI與13平行，3(X-2)-(-4)(l+X)=0,且(-4)(4-2陰5。-2),

2

:,%=斤,直線1的方程為3x-4y+8=0.

方族?規(guī)律

用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法

I[：A]X+B]y+G=0(A；+B：/))

直線方程

b：A2X+B?y+C2=0(A2+B狂0)

h與b垂直

A\A?+B|B=0

的充要條件2

與平行

hb9皖(A2B2c2劃

的充分條件

h與b相交M(A2B2#))

的充分條件

1］與b重合111

T=B=r(A2B2C2#O)

的充分條件A?￡>25

口變式訓(xùn)練

1.已知兩條直線y=ax—2和y=(a+2)x+1互相垂直，則a=.

解析：因?yàn)閮芍本€垂直，所以a(a+2)+1=0,解得a=-l.

答案：一1

2.若直線ax+2y+3a=0與直線3x+(a—l)y=-7+a平行，則實(shí)數(shù)a的值為.

a3

解析：顯然當(dāng)a=1時(shí)兩直線不平行；當(dāng)arl時(shí)，k[=-3k2=~-----,因?yàn)閮蓷l直線平

行，所以k]=k2,解得a=3或a=-2.經(jīng)檢驗(yàn)，a=-2時(shí)兩直線重合，故a=3.

答案：3

考點(diǎn)二有關(guān)距離問題

[例2](1)(2015?安康模擬)點(diǎn)P到點(diǎn)A(l,0)和直線x=-1的距離相等，且P到直線y

=x的距離等于坐，這樣的點(diǎn)P共有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)已知兩條平行直線h：mx+8y+n=0與卜：2x+my—1=0間的距離為小，則直線h

的方程為.

[聽前試做](1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意知

、（x-1）2+y2=|x+1|,且乎=晟

y=4x,

所以，

|x-y|=1,

y=4x,

x=3-2y[2yx=3+2y[2,

解①得

1,y=2-2y[2y=2+2隹

x=1,

解②得ly=2,

因此，這樣的點(diǎn)P共有3個(gè).

m=-4,

①當(dāng)m=4時(shí)，直線11的方程為4x+8y+n=0,

把12的方程寫成4x+8y-2=0,

.?ID2|==小解得口=-22或18.

y/16+64

故所求直線1|的方程為2x+4y—11=0或2x+4y+9=0.

②當(dāng)m=-4時(shí)，直線1]的方程為4x-8y-n=0,

把12的方程寫成為4x-8y-2=0,

；?L42=小解得n=-18或22.

<16+64v

故所求直線I］的方程為2x—4y+9=0或2x—4y—11=0.

答案：(1)C(2)2x±4y+9=0或2x±4y—11=0

方法?規(guī)律

與距離有關(guān)問題的解題策略

⑴點(diǎn)到直線的距離問題可直接代入點(diǎn)到直線的距離公式去求.

(2)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離相等，一般不直接利用兩點(diǎn)間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)在兩

定點(diǎn)所在線段的垂直平分線上，從而計(jì)算簡便.

口變式訓(xùn)練

已知點(diǎn)P(2,-1),過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線1的方程為,

原點(diǎn)到直線1的最大距離為.

解析：作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如