新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練7.5 空間向量求空間角（基礎(chǔ)版）（解析版）

7.5空間向量求空間角（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一線線角【例1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，以AB、AD、SKIPIF1<0分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A【一隅三反】1．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)且SKIPIF1<0，將平面ABD沿對(duì)角線BD翻折至二面角SKIPIF1<0為90°，則直線AO與CD所成角余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在平面SKIPIF1<0中過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0；在平面SKIPIF1<0中過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0.由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且交線為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·河南）在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為棱AD，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線EF與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即異面直線EF與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A.考點(diǎn)二線面角【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱臺(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）由題，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得證；由題，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0.即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求PD與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)證明：在四邊形SKIPIF1<0中，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)解：如圖，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)設(shè)P是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求AC與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)設(shè)SKIPIF1<0．在四邊形SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)取AB中點(diǎn)D，連接CD，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．如圖，以B為原點(diǎn)，分別以射線BA，SKIPIF1<0為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．3．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0是等邊三角形；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0為等邊三角形.(2)解：由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.考點(diǎn)三二面角【例3】（2022·青?！ず|市第一中學(xué)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是棱上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接AC，記AC與BD的交點(diǎn)為H，連接MH.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面MBD，SKIPIF1<0平面MBD，∴SKIPIF1<0平面MBD.(2)記O為CD的中點(diǎn)，連接PO，BO.∵SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面ABCD＝CD，∴SKIPIF1<0平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面BDM的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取x＝1得SKIPIF1<0，平面BCD的一個(gè)法向量SKIPIF1<0.設(shè)二面角M－BD－C的平面角為θ，則SKIPIF1<0.∴二面角M－BD－C的余弦值為SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）．設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．由圖知二面角SKIPIF1<0為銳角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．2．（2022·四川成都）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為PC上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求AC的長；(2)若E為AC的中點(diǎn)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)∵SKIPIF1<0平面ABC，AB，SKIPIF1<0平面ABC，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴AC的長為SKIPIF1<0．(2)∵E為AC的中點(diǎn)，由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0．設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，易知二面角SKIPIF1<0為銳角，∴二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））圖1是由矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和菱形SKIPIF1<0組成的一個(gè)平面圖形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將該圖形沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，連接SKIPIF1<0，如圖2．(1)證明：圖2中C，D，E，G四點(diǎn)共面；(2)求圖2中二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：∵四邊形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別是矩形和菱形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面．(2)解：在平面SKIPIF1<0內(nèi)過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，顯然二面角SKIPIF1<0為銳角．∴二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值為SKIPIF1<0．7.5空間向量求空間角（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一線線角1．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，則直線MN，PB所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則直線MN，PB所成角的余弦值為SKIPIF1<0故選：D．2．（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））在正四棱錐SKIPIF1<0中，底面邊長為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，點(diǎn)P是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則當(dāng)A，P兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線BP與直線SC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，連接SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)樗睦忮FSKIPIF1<0為正四棱錐，可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，由底面邊長為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的圓上，所以當(dāng)圓與SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0兩點(diǎn)間距離最小，最小值為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A.3．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)（理））手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長方體的組合圖形，其直觀圖如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P，Q，M，N分別是棱AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線PQ與MN所成角的余弦值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，SKIPIF1<0是棱長為SKIPIF1<0的正方體，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是下底面的棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是上底面的棱SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面交上底面于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.因此，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題組二題組二線面角1．（2022·上海市七寶中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(2)以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直角的等腰直角三角形且SKIPIF1<0.求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.(2)因?yàn)镾KIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直角的等腰直角三角形，由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.則點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且它們的交線為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(2)由（1）知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易求SKIPIF1<0各點(diǎn)坐標(biāo)如下，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<04．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)F在SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0【解析】(1)因?yàn)镾KIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镋為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0；又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)連接SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0的面積最小.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊三角形，因?yàn)镋為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E分別是SKIPIF1<0，AB的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）法一：（1）SKIPIF1<0，D為BC中點(diǎn)，SKIPIF1<0在直三棱柱SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0平面ABC，又ADSKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.法二:如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB=2a，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）法一：由（1）得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設(shè)AB=a，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0法二：SKIPIF1<0，D為BC中點(diǎn)，SKIPIF1<0在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，又ADSKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,設(shè)AB=a，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題組三題組三二面角1．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又M、N分別為BE、AB所在棱的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)由（1）可知，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0法一：向量法（通性通法）如圖建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0