第5.3節(jié) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)(2)（原卷版）

第五章·磁場(chǎng)第3節(jié)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)（2）◎目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)問要點(diǎn)難易度1．軌道半徑2．周期T=3．確定帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、軌跡，半徑、周期，時(shí)間的方法★★★★★★★★★★◎?qū)W問精講1.學(xué)問結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖2.圓心的確定（1）已知入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、入射方向和出射方向時(shí)，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓心（如圖甲所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)）（2）已知入射方向、入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過入射點(diǎn)作入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓心（如圖乙所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)）3.半徑的確定（1）用幾何學(xué)問求半徑，一般稱為幾何半徑，通常構(gòu)建三角形，利用三角函數(shù)或勾股定理求解.（2）用物理學(xué)問求半徑，即r=mvqB4.運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定（1）周期為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=（2）速度為v的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的弧長為s時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=（3）粒子速度的偏向角（φ）等于圓心角（α），并等于弦AB與切線的夾角（弦切角θ）的2倍（如圖所示），即φ=α=2θ=ωt5.兩類典型的動(dòng)態(tài)問題（1）速度方向肯定，大小不同：軌跡半徑隨速度的變化而變化，軌跡圓圓心共線（放縮法）（2）速度大小肯定，方向不同：軌跡半徑不變化，軌跡圓圓心在一個(gè)圓周上（旋轉(zhuǎn)法）◎考點(diǎn)題型題型01求帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間例1.如圖，三個(gè)速度大小不同的同種帶電粒子沿同一方向從圖示長方形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊緣射入，當(dāng)它們從下邊緣飛出時(shí)，相對(duì)入射方向的偏角分別為90°、60°、30°，則它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為()A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.3∶2∶1 D.3∶2∶1例2.如圖所示，兩相鄰且范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向平行、大小分別為B和2B.一帶正電粒子(不計(jì)重力)以速度v從磁場(chǎng)分界線MN上某處射入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，其速度方向與磁場(chǎng)方向垂直且與分界線MN成60°角，經(jīng)過t1時(shí)間后粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，又經(jīng)過t2時(shí)間后回到磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ。設(shè)粒子在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分別為ω1、ω2，則()A.ω1∶ω2=1∶1 B.ω1∶ω2=2∶1 C.t1∶t2=1∶1 D.t1∶t2=2∶1題型02帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用方法總結(jié)：①帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題的解題方法。②幾何關(guān)系：圓心角，弦切角；相切；多解。例3.(多選)如圖所示，在邊界上方存在著垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有兩個(gè)電荷量、質(zhì)量均相同，分別帶正電和負(fù)電的粒子(不計(jì)重力)，從邊界上的O點(diǎn)以相同速度先后射入磁場(chǎng)中，入射方向與邊界成θ角，則兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中()A.運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相同 B.重新回到邊界所用時(shí)間相同C.重新回到邊界時(shí)速度大小和方向相同 D.重新回到邊界時(shí)與O點(diǎn)的距離相等例4.如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面對(duì)外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a=60°，∠b=90°，邊長ac=L。一個(gè)粒子源在a點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子中，速度的最大值是()A.qBL2m B.3qBL6m 題型03帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方法技巧“5步”突破帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題：①明性質(zhì)：要清楚場(chǎng)的性質(zhì)、方向、強(qiáng)弱、范圍、是否做功等。②定運(yùn)動(dòng)：帶電粒子依次通過不同場(chǎng)區(qū)時(shí)，由受力狀況確定粒子在不同區(qū)域的運(yùn)動(dòng)狀況。③畫軌跡：正確畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。④用規(guī)律：依據(jù)區(qū)城和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不同，將運(yùn)動(dòng)過程分解處理：勻加速、圓周運(yùn)動(dòng)、類平拋等。⑤找關(guān)系：分析帶電粒子通過不同場(chǎng)區(qū)的交界處時(shí)速度的大小和方向，通常上一區(qū)域的末速度往往是下一個(gè)區(qū)域的初速度；分析臨界點(diǎn)的物理含義，將其轉(zhuǎn)化為物理量關(guān)系式。例5.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的其次象限內(nèi)有平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向沿y軸負(fù)方向。在第一、四象限內(nèi)有一個(gè)半徑為R的圓，圓心坐標(biāo)為(R，0)，圓內(nèi)有方向垂直于xOy平面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電的粒子(不計(jì)重力)，以速度v0從其次象限內(nèi)的P點(diǎn)沿平行于x軸的方向向右射入電場(chǎng)，通過坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入第四象限，速度方向與x軸正方向成30°角，最終從Q點(diǎn)平行于y軸離開磁場(chǎng)，已知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2h。求:(1)帶電粒子的比荷qm(2)圓內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；(3)帶電粒子從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)到從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)經(jīng)受的總時(shí)間。題型04帶電粒子在疊加場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例6.如圖，粗糙絕緣豎直平面MN左側(cè)同時(shí)存在相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向水平向右，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁場(chǎng)方向垂直紙面對(duì)外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小滑塊從A點(diǎn)由靜止開頭沿MN下滑，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)離開MN做曲線運(yùn)動(dòng)。A、C兩點(diǎn)間距離為h，重力加速度為g。(1)求小滑塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小v1；(2)求小滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程中與粗糙豎直平面摩擦產(chǎn)生的熱量Q；(3)若D點(diǎn)為小滑塊在電場(chǎng)力、洛倫茲力及重力作用下運(yùn)動(dòng)過程中速度最大的位置，當(dāng)小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)撤去磁場(chǎng)，此后小滑塊連續(xù)運(yùn)動(dòng)到水平地面上的P點(diǎn)。已知小滑塊在D點(diǎn)時(shí)的速度大小為v2，從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間為t，求小滑塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能大小?！蚍椒偨Y(jié)1.勻強(qiáng)磁場(chǎng)中圓周遠(yuǎn)動(dòng)帶電粒子：速度最大即半徑最大2.勻強(qiáng)磁場(chǎng)中圓周遠(yuǎn)動(dòng)周期T肯定，時(shí)間t和圓心角成正比3.電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交的臨界條件：Eq=qvB，即v=E/B4.勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)同時(shí)存在：等效合力場(chǎng)◎鞏固練習(xí)1.（多選）如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域中存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，比荷相同的兩個(gè)粒子（不計(jì)重力）沿AB方向射入磁場(chǎng)，分別從AC邊上的P、Q兩點(diǎn)射出，則()A.從P點(diǎn)射出的粒子速度大B.從Q點(diǎn)射出的粒子速度大C.從Q點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長D.兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一樣長2.在半徑為的圓形空間內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶電粒子以速度從沿半徑方向入射，并從點(diǎn)射出，如圖所示（為圓心）．已知．若在磁場(chǎng)中，粒子只受洛倫茲力作用，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間（）A． B．C． D．3.如圖所示，矩形區(qū)域MPQN長MN=3d，寬MP=d，一質(zhì)量為m(不計(jì)重力)、電荷量為q的帶正電粒子從M點(diǎn)以初速度v0水平向右射出，若區(qū)域內(nèi)只存在豎直向下的電場(chǎng)或只存在垂直紙面對(duì)外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子均能擊中Q點(diǎn)，則電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小的比值為()A.3v04 B.4v03 4.半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，存在著垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶負(fù)電的粒子(不計(jì)重力)，從A點(diǎn)以速度v0沿半徑方向射入磁場(chǎng)，并從B點(diǎn)射出，∠AOB=120°，如圖所示，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.πRv0 B.23πR3v5.（多選）如圖所示，兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1、B2，虛線MN為抱負(fù)邊界.現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為e的電子以垂直于邊界MN的速度v由P點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，其運(yùn)動(dòng)軌跡為圖中虛線所示的心形圖線.則以下說法正確的是（）A.電子的運(yùn)動(dòng)軌跡為P→D→M→C→N→E→PB.電子運(yùn)動(dòng)一周回到P點(diǎn)所用的時(shí)間T=2πm/eB1C.B1=4B2D.B1=2B26.一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（a，0）點(diǎn)以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限．求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)．7.如圖所示，△ABC為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)（方向垂直紙面對(duì)外）垂直的邊長為a的等邊三角形，比荷為e/m的電子以速度v0，從A點(diǎn)沿AB邊入射，欲使電子經(jīng)過BC邊，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值為()A.B>2mv0ae B.B<2m8.（多選）如圖所示，空間有一邊長為L的正方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域abcd，一帶電粒子以垂直于磁場(chǎng)的速度v從a處沿ab方向進(jìn)入磁場(chǎng)，后從bc邊的點(diǎn)p離開磁場(chǎng)，bp=33L，若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則以下說法中正確的是（A.粒子帶負(fù)電B.粒子的比荷為2C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=D.粒子在p處的速度方向與bc邊的夾角為30°9.如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn).大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以相同速率從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)。這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置均位于PQ圓弧上，PQ圓弧長等于磁場(chǎng)邊界周長的1/3。不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，則該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為（）A.3mv2qRB.mvqR C.3mv10.如圖所示，邊界OA與OC之間分布有垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一粒子源S。某一時(shí)刻，從S平行于紙面對(duì)各個(gè)方向放射出大量帶正電的同種粒子（不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用），全部粒子的初速度大小相同，經(jīng)過一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)。已知，從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間等于（T為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期），則從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為（）A．B．C．D．11.如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在虛線的左側(cè)有垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一絕緣“?”形桿由兩段直桿和一半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長，半圓環(huán)MAP在磁場(chǎng)邊界左側(cè)，P、M點(diǎn)在磁場(chǎng)界線上，NMAP段是光滑的?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小環(huán)套在MN桿上，它所受到的電場(chǎng)力為重力的12。現(xiàn)從M右側(cè)的D點(diǎn)由靜止釋放小環(huán)，小環(huán)剛好能到達(dá)P(1)求D、M間的距離x0；(2)求上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)半圓環(huán)對(duì)小環(huán)作用力的大小；(3)若小環(huán)與PQ間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等)，現(xiàn)將小環(huán)移至M點(diǎn)右側(cè)6R處由靜止釋放，求小環(huán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力所做的功。12.如圖所示，在