各地中考數(shù)學(xué)解析版試卷分類匯編：綜合性問題

綜合性問題

一、選擇題

1.（2017?湖北鄂州）如圖，菱形ABCD的邊AB=8,ZB=60°,P是AB上一點，BP=3,

Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點為A，,當(dāng)CA'的長度最

小時，CQ的長為（）

A.5B.7C.8D.與

DQC

【考點】菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題.

【分析】如下圖所示，由題意可知，^ABC為等邊三角形；過C作CHLAB,則AH=HB；

連接DH；要使CA'的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對應(yīng)點A'應(yīng)落在

CH上，且對稱軸PQ應(yīng)滿足PQ〃DH；因為BP=3,易知HP=DQ=1,所以CQ=7.

【解答】解：如圖，過C作CHJ_AB,連接DH；

YABCD是菱形，ZB=60°

.,.△ABC為等邊三角形；

.*.AH=HB=f=4；

VBP=3,

要使CA'的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對應(yīng)點A，應(yīng)落在CH

上，且對稱軸PQ應(yīng)滿足PQ〃DH；

由作圖知，DHPQ為平行四邊形

；.DQ=HP=1,

CQ=CD-DQ=8T=7.

故正確的答案為：B.

【點評】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性

質(zhì)，最值問題.本題作為選擇題，不必直接去計算，通過作圖得出答案是比較便捷的方

法。弄清在什么情況下CA'的長度最?。ㄏ喈?dāng)于平移對稱軸）是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2017?四川資陽）如圖，兩個三角形的面積分別是9,6,對應(yīng)陰影部分

的面積分別是m,n,則m-n等于（）

V

A.2B.3C.4D.無法確定

【考點】三角形的面積.

【分析】設(shè)空白出的面積為x,根據(jù)題意列出關(guān)系式，相減即可求出m-n

的值.

【解答】解：設(shè)空白出圖形的面積為X,

根據(jù)題意得：m+x=9,n+x=6,

則m-n=9-6=3.

故選B.

3.（2017?四川自貢）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，反比例函數(shù)y=與正比例函數(shù)

y=bx在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（）

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，可得a、b的值，根據(jù)a、b的值，可得相

應(yīng)的函數(shù)圖象.

【解答】解：由y=ax?+bx+c的圖象開口向下，得a<0.

由圖象，得-給>0.

2a

由不等式的性質(zhì)，得b>0.

a<0,y=圖象位于二四象限，

b>0,y=bx圖象位于一三象限，

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸得出a、b的

值是解題關(guān)鍵.

4.（2017?山東棗莊）若關(guān)于X的一元二次方程f—2x+姑+1=0有兩個不相等的實

數(shù)根,則一次函數(shù)y=履+b的圖象可能是

【答案】B.

t解析】

試題分析：由方程x：-2x+汕+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得△=4-4(kb+1)>0,解得kb<0,即a、

b異號，當(dāng)k>0,b<0時，一次函數(shù)j=kx+b的圖象過一三四象限，當(dāng)k<0,b>0時，一次函數(shù)、=kx+b

的圖象過一二四象限，故答案選B.

考點：根的判別式；一次函數(shù)的性質(zhì).

二、填空題

1.(2017?湖北鄂州)如圖,AB=6,0是AB的中點，X線/經(jīng)過點°，々=120°,

P是直線/上一點。當(dāng)aAPB為直角三角形時，AP=\,.

AB

【考點】外接圓，切線，直角三角形的判定，勾股定理，三角翻，分類討論思想.

【分析】確定P點在直線/上的位置是解決本題的關(guān)鍵。要使4APB為直角三角形，我

們就聯(lián)想到以AB為直徑的外接圓，但AB也有可能為直角邊，所以要分類討論。我

們將滿足條件的P逐一畫在圖上。如圖，P>,已在以0為圓心的外接圓上，P.,P2

在。0的切線上，再根據(jù)題目的已知條件逐一解答即可。

【解答】解：分類討論如下：

(1)在RSAPB中,VZ1=12O°,0PFOB,

AZOBP,=ZOP1B=3O°,

AAPi=1AB={X6=3；

(2)在RSAP?B中，VZ1=12O°,0P2=OB,

ZP2B0=ZOP2B=60°,

AAP，={AB=cosZOBP2X6=4X6=3A/3；

(3)P：,B為以B為切點的。。的切線，

?21=120°,0P2=OB,

ZP2B0=Z0P2B=60°,

ZP30B=60",

在RtaOPE中，ABPs=tanZP3OBX3=73X3=373；

在RtAAP：（B中,AP3=QAB+BP；=質(zhì)（3月）2=3"

（4）P,B為以A為切點的。（）的切線，

VZl=120°,0Pi=OA,

NPiA0=Z0P,A=60°,

ZP.,0A=60°,

在RtAOP.A中，.*.AP,=tanZP.OAX3=V3X3=3JJ.

綜上，當(dāng)aAPB為直角三角形時，AP=3,或3g，或3近.

故答案為：3或或3斤.

【點評】本題考查了外接圓，切線，直角三角形的判定，勾股定理，三角函數(shù)，分類討

論思想.注意分類討論思想的運用；本題難度雖然不大，但容易遺漏.四種情況中，有

兩種情況的結(jié)果相同。

2.（2017.咸寧）如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接笆0,點E是AB上的一動點（不

與A、B重合），點F是BC上的一點，連接0E,0F,分別與AB,BC交于點G,H,且N

E0F=90°,有下列結(jié)論：

d）AE=BF\

②aOGH是等腰直角三角形；

③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化;

④△GBH周長的最小值為4+V2.

其中正確的是.

（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）.

【考點】正方形的性質(zhì)，圓心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四

邊形的面積，三角形的周長，動點問題，最值問題.

【分析】①連接OA,0B,如圖167,根據(jù)正方形的性質(zhì)，珀/前B=90°=NEOF,又/

BOE共用，故可得NAOE=/BOF,再根據(jù)圓心角定理可得①AE=BF；故①正確；

②連接OB,0C,如圖16-2,證明△OGBg^OHC,可得OG=OH,即可得出△OGH

是等腰直角三角形；故②正確；

③如圖16-3,過點0作OM_LBC,ON±AB,易證得△OGN^^OHM,因此可得出S

△愉=SAOW,故不管點E的位置如何變化，四邊形OGBH的面積不變；故③錯誤；

④過點B作B關(guān)于OF的對稱點P（易知點P在。0上），連接PH,則PH=BH；過

點B作B關(guān)于0E的對稱點Q（易知點Q在。0上），連接QG,則QG=BG；連接PQ,易證

明PQ過圓心0,則PQ=，甲+4,=4a」4+1,故④錯誤.

【解答】解：①連接OA,0B,如圖167,

根據(jù)正方形的性質(zhì)，知NA0B=90°=NE0F,

ZAOB-ZBOE=ZEOF-ZBOE,

即NA0E=NB0F,

根據(jù)相等的圓心角所對的弧相等，可彳GE4F；

故①正確；

（圖16-1）（圖16-2）

②連接OB,0C,如圖16-2,則OB=OC,

由①知彘=耐

YABCD為正方形，，AB=BC

.,JkB=BC

/.AB-AE^I3C1B'P

即官=福

ZBOG=ZCOH

又?.?N0BG+N0BC=90°,Z0CH+Z0BC=90°,

ZOBG=N0CH

在AOGB和aOHC中，

'ZOBG-ZOCH

\ZBOG=ZCOH

、OB=OC

?.AOGB^AOHC,

.?.OG=OH,

XvZE0F=90°

...△OGH是等腰直角三角形；

故②正確；

③如圖16-3,過點。作OMLBC,ON±AB,

（圖16-3）

又?.?正方形ABCD內(nèi)接于。0,

；.OM=ON

由②知，OG=OH,

ftftAOGN和RtAOHM中，

-OG=OH,

OM=ON

.,.RtAOGN^RtAOHM,

??SAOGN—SAOIBI,

又?.?四邊形BMOG公共

???不管點E的位置如何變化，四邊形OGBH的面積不變；

故③錯誤；

④過點B作B關(guān)于OF的對稱點P（易知點P在。0上），連接PH,則PH=BH；過

點B作B關(guān)于0E的對稱點Q（易知點Q在。0上），連接QG,則QG=BG；

（圖16-4）

連接PQ,易證明PQ過圓心0,

.*.PQ=742+42=4^24+42,

故④錯誤.

綜上，①②正確，③④錯誤.

故答案為：①②.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形

的判定，四邊形的面積，三角形的周長，動點問題，最值問題.運用圓心角定理是解答

①的關(guān)鍵；在②中連接OB,0C,證明三角形全等是解題的關(guān)鍵；在③中，運用證明三角

形全等，從而證明面積相等以解決不管點E的位置如何變化，四邊形0GBII的面積不變

的問題；解答④的關(guān)鍵是運用軸對稱解決最小周長問題.作為填空題，解題時要注意技

巧.

x-y=-5Ix=-4

3.（2017?四川巴中）已知二元一次方程組，c的解為，，則在同一平面

x+2y=-2[y=l

直角坐標系中，直線h：y=x+5與直線12：Y=-X-1的交點坐標為（-4,直.

【考點】一次函數(shù)與二元一次方程（組）.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系進行解答即可.

x-y=_5fx=-4

【解答】解：?.,二元一次方程組，°的解為《，

x+2y=-2[y=l

二直線h：y=x+5與直線L：y=-x-1的交點坐標為（-4,1）,

故答案為：（-4,1）.

4.（2017?呼和浩特）以下四個命題：

①對應(yīng)角和面積都相等的兩個三角形全等；

②“若x2-x=0,則x=0”的逆命題；

'-x+y—a=0

③若關(guān)于x、y的方程組，，，八有無數(shù)多組解，則a=b=l；

bx-y+l=0

④將多項式5xy+3y-2x?y因式分解，其結(jié)果為-y（2x+l）（x-3）.

其中正確的命題的序號為①②③④.

【考點】命題與定理.

【分析】①正確，根據(jù)相似比為1的兩個三角形全等即可判斷.

②正確.寫出逆命題即可判斷.

③正確.根據(jù)方程組有無數(shù)多組解的條件即可判斷.

④正確.首先提公因式，再利用十字相乘法即可判斷.

【解答】解：①正確.對應(yīng)角相等的兩個三角形相似，又因為面積相等，所以相似比為

1,所以兩個三角形全等，故正確.

②正確.理由：“若x2-x=0,則x=0”的逆命題為x=0,則x2-x=0,故正確.

'_x+y-a=0

③正確.理由：???關(guān)于x、y的方程組,有無數(shù)多組解，

bx-y+l=O

.-1]-a

.?.a=b=l,故正確.

④正確.理由：5xy+3y-2x2y=-y(2x2-5x-3)=-y(2x+l)(x-3),故正確.

故答案為①②③④.

三、解答題

1.(2017?四川資陽)在RtAABC中，ZC=90",RtAABC繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)到RSADE的位置，點E在斜邊AB上，連結(jié)BD,過點D作DFLAC

于點F.

(I)如圖1,若點F與點A重合，求證：AC=BC；

(2)若NDAF=ZDBA,

①如圖2,當(dāng)點F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點F在線段CA上時，設(shè)BE=x,請用含x的代數(shù)式表示線段AF.

【考點】幾何變換綜合題.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)得到NBAC=ZBAD,而DF_LAC,從而得出NABC=45。,

最后判斷出△ABC是等腰直角三角形；

（2）①由旋轉(zhuǎn)得到NBAC=NBAD,再根據(jù)NDAF=NDBA,從而求出

ZFAD=ZBAC=ZBAD=60°,最后判定△AFD空△BED,即可；

②根據(jù)題意畫出圖形，先求出角度，得到△ABD是頂角為36。的等腰三角

形，再用相似求出，祟=1+”最后判斷出△AFD-ABED,代入即可.

BD2

【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)得，ZBAC=ZBAD,

??DF±AC,

??.ZCAD=90°,

??.ZBAC=ZBAD=45。,

ZACB=90°,

??.ZABC=45°,

AC=CB,

(2)①由旋轉(zhuǎn)得，AD=AB,

ZABD=ZADB,

,/ZDAF=ZABD,

ZDAF=ZADB,

/.AFIIBB,

??.ZBAC=ZABD,

ZABD=ZFAD

由旋轉(zhuǎn)得，ZBAC=NBAD,

ZFAD=NBAC=NBAD=LX180°=60。,

3

由旋轉(zhuǎn)得，AB=AD,

△ABD是等邊三角形，

AD=BD,

在^AFD和△BED中，

"NF=NBED=90°

"ZFAD=ZBED，

AD=BD

/.AAFD空△BED,

AF=BE,

②如圖，

由旋轉(zhuǎn)得，ZBAC=ZBAD,

NABD=NFAD=NBAC+ZBAD=2NBAD,

由旋轉(zhuǎn)得，AD=AB,

ZABD=ZADB=2zBAD,

??,ZBAD+ZABD+ZADB=180。，

??.ZBAD+2ZBAD+2ZBAD=180°,

??.ZBAD=36°,

設(shè)BD=x,作BG平分NABD,

??.ZBAD=ZGBD=36°

AG=BG=BC=x,

.?.DG=AD-AG=AD-BG=AD-BD,

ZBDG=ZADB,

△BDG-△ADB,

.BDJG

"AD^DB,

.BDAD-BD

…礦BD'

.AD1+V5

..--z:-----,

BD2

ZFAD=ZEBD,ZAFD=ZBED,

&AFD-△BED,

.AD_AF

,?麗福_

AF=15.XBE=^^X.

2.(2017?四川資陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，點A、B、C的坐標分

別是(1,0)、(3,1)、(3,3),雙曲線y=—(kxO,x>0)過點D.

x

(1)求雙曲線的解析式；

(2)作直線AC交y軸于點E,連結(jié)DE,求ACDE的面積.

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)在平行四邊形ABCD中，點A、B、C的坐標分別是(1,

0)、(3,1)、(3,3),可以求得點D的坐標，又因為雙曲線y=k(kxO,x

x

>0)過點D,從而可以求得k的值，從而可以求得雙曲線的解析式；

(2)由圖可知三角形CDE的面積等于三角形EDA與三角形ADC的面積

之和，從而可以解答本題.

【解答】解：(1)；在平行四邊形ABCD中，點A、B、C的坐標分別是

(1,0)、(3,1)、(3,3),

二點D的坐標是(1,2),

■.,雙曲線y=-(kxO,x>0)過點D,

X

2=p得k=2,

即雙曲線的解析式是：y=2；

X

(2),?,直線AC交y軸于點E,

cc7(2-0)X1(2-0)X(3-1)

CDE=OAEDA+OAADC=----------------------+----------------------------------=1+2=3,

即△CDE的面積是3.

3.(2017?四川自貢)計算：()'+(sin60°-1)°-2cos30°+|?-11

【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)幕；負整數(shù)指數(shù)累；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的定義化簡即可.

【解答】解：原式=2+1-T+F-1

=2.

【點評】本題考查負整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)靠、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值等知識，熟

a(a>0)

練掌握這些知識是解決問題的關(guān)鍵,記住a.P=」Va/0),a°=1(axO),|a|=，0(a=0)

-a(a<0)

屬于中考常考題型.

4.(2017?四川自貢)拋物線y=-x?+4ax+b(a>0)與x軸相交于0、A兩點(其中O

為坐標原點)，過點P(2,2a)作直線PM，x軸于點M,交拋物線于點B,點B關(guān)于

拋物線對稱軸的對稱點為C(其中B、C不重合)，連接AP交y軸于點N,連接BC

和PC.

(1)a=時，求拋物線的解析式和BC的長；

(2)如圖a>l時，若APJ_PC,求a的值.

y

N

O

x

M

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì).

【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過原點b=0,把a=、b=0代入拋物線解析式，即可求出拋

物線解析式，再求出B、C坐標，即可求出13（2長.

（2）利用APCB”&APM,得空=轉(zhuǎn)，列出方程即可解決問題.

AMPM

2

【解答】解：（1）???拋物線y=-x+4ax+b（a>0）經(jīng)過原點O,

*.b=0,

.*a=,

??拋物線解析式為y=-x2+6x,

「x=2時，y=8,

點B坐標（2,8）,

.*對稱軸x=3,B、C關(guān)于對稱軸對稱，

?.點C坐標（4,8）,

*.BC=2.

(2)\AP±PC,

zAPC=90°,

ZCPB+ZAPM=90°,ZAPM+zPAM=90°,

??.ZCPB=ZPAM,

???ZPBC=ZPMA=90°,

?.△PCB-△APM,

.PBBC

…AM-PM，

.6a-4_4a~~4

4a-22a'

整理得a2-4a+2=0,解得a=2士找，

a>0,

a=2+^"^.

【點評】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題

的關(guān)鍵是利用相似三角形性質(zhì)列出方程解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?？碱}型

5.(2017?新疆)如圖，DABCD中，AB=2,AD=1,ZADC=60°,將。ABCD沿過點A

的直線1折疊，使點D落到AB邊上的點D，處，折痕交CD邊于點E.

(1)求證：四邊形BCED，是菱形；

(2)若點P時直線1上的一個動點，請計算PD+PB的最小值.

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；軸對稱-最短路線問題；翻折變換(折疊問

題).

【分析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出NDAE=NEAD，=NDEA=N

DEA,進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DADE是平行四邊形，進而求出四

邊形BCED，是平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AD,然后又菱形的判定定理即可

得到結(jié)論；

(2)由四邊形DADE是平行四邊形，得到可)AD，E是菱形，推出D與D關(guān)于AE對稱,

連接BD交AE于P,則BD的長即為PD+PB的最小值，過D作DGJ_BA于G,解直

角三角形得到AG=/DG§,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)?.?將口ABCD沿過點A的直線1折疊，使點D落到AB邊上的點D，

處，

AZDAE=ZD/AE,NDEA=ND'EA,ND二NAD'E,

???DE〃AD-

AZDEA=ZEAD/,

JZDAE=ZEADZ=ZDEA=ZDZEA,

.\ZDADZ=ZDEDZ,

???四邊形DAD舊是平行四邊形，

???DE=AD',

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=DC,AB〃DC,

/.CE=D,B,CE〃DB

???四邊形BCED，是平行四邊形；

VAD=AD/,

...□DADE是菱形，

(2):四邊形DADE是菱形，

；.D與D，關(guān)于AE對稱，

連接BD交AE于P,則BD的長即為PD4PB的最小值,

過D作DG_LBA于G,

；CD〃AB,

.../DAG=NCDA=60。，

VAD=1,

.".AG=—,DG=回

22

5

.\BG=—,

2

?'-BD=VDG2+BG2=VT'

.?.PD+PB的最小值為聽.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，最短距離問題，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì),

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2017?云南)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,ZABC：ZBAD=1：

2,BEIIAC,CEIIBD.

(1)求tanNDBC的值；

(2)求證：四邊形OBEC是矩形.

【考點】矩形的判定；菱形的性質(zhì)；解直角三角形.

【專題】計算題；矩形菱形正方形.

【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形，得到對邊平行，且BD為角平分線，利用兩直

線平行得到一對同旁內(nèi)角互補，根據(jù)已知角之比求出相應(yīng)度數(shù)，進而求出NBDC度數(shù),

即可求出tanzDBC的值；

（2）由四邊形ABCD是菱形，得到對角線互相垂直，利用兩組對邊平行的四邊形是平

行四邊形，再利用有一個角為直角的平行四邊形是矩形即可得證.

【解答】（1）解：,??四邊形ABCD是菱形，

ADIIBC,NABC,

2

ZABC+ZBAD=180°,

/ZABC：ZBAD=1：2,

??.ZABC=60°,

ZBDC=—ZABC=30°,

2

貝l]tanNDBC=tan3（T=返；

3

（2）證明：,四邊形ABCD是菱形，

AC±BD,即NBOC=90。，

BEIIAC,CEIIBD,

BEIIOC,CEIIOB,

四邊形OBEC是平行四邊形，

則四邊形OBEC是矩形.

【點評】此題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，以及解直角三角形，熟練掌握判定與性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

7.（2017?云南）（12分）（2017?云南）有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：

第一個數(shù)是壺■;

第二個數(shù)是另

第三個數(shù)是裝？

對任何正整數(shù)n,第n個數(shù)與第(n+1)個數(shù)的和等于^

nX(n+2)

(1)經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn):1=1_1111=1_1

1X2=712X3下33X4,~4

設(shè)這列數(shù)的第5個數(shù)為a,那么a》占Y，一當(dāng)哪個正確？

565656

請你直接寫出正確的結(jié)論;

(2)請你觀察第1個數(shù)、第2個數(shù)、第3個數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個數(shù)(即用正整數(shù)n

表示第n數(shù))'并且證明你的猜想滿足"第n個數(shù)與第(n+D個數(shù)的和等于忌場";

(3)設(shè)M表示士，當(dāng)，-V,...?」蘇，這2017個數(shù)的和，即

I2223220162

20162)

求證：梁〈需■.

20172016

【考點】分式的混合運算；規(guī)律型:數(shù)字的變化類.

【分析】(1)由已知規(guī)律可得；

(2)先根據(jù)已知規(guī)律寫出第n、n+1個數(shù)，再根據(jù)分式的運算化簡可得；

(3)將每個分式根據(jù)工--^-=^-V<_T<r1n=~^T-工，展開后再全部相

nn+1n(n+l)nn(n-1)n-1n

加可得結(jié)論.

【解答】解：(1)由題意知第5個數(shù)

5X656

(2)???第n個數(shù)為小k，第(n+1)個數(shù)為/,

nkn+D(n+1)(n+2J

...]1]J(1,1A

n(n+l)(n+1)(n+2)n+1nn+2

二，Xn+2+n

n+1n(n+2)

=J2(n+l)

n+1n(n+2)

2

n(n+2)

即第n個數(shù)與第(n+1)個數(shù)的和等于

nX(n+2)

(3)一二------------<"y=l

21X2i2

L-1-11-i_1

232X3221X22

—--=~-----=--—

343X4322X323

11_1__1_-1_11

201520162015X2016201522014X201520142016

]1=1<1<1=11

20162017~2016X2017201622015X2016-20152016,

1111111

201712223220152201622016

nn201611111,4031

201712223220152201622016

.2016-/4031

"20172016'

【點評】本題主要考查分式的混合運算及數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知規(guī)律

nkn+lJn

J1

士得到工---=^-v<A-<-7--7T=-^T-工是解題的關(guān)鍵.

n+1nn+1n(n+l)nn(n-Dn-1n

9.(2017?云南)計算：V27-(-1)20,7-3tan6O°+(-2017)

【考點】實數(shù)的運算.

【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)幕的性質(zhì)分別化簡

求出答案.

【解答】解：原式=3?-1-3x?+l=O.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

8.(2017?黑龍江大慶)如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,以BC為直徑的。0交斜邊

AB于點若H是AC的中點，連接MH.

(1)求證：MH為。。的切線.

(2)若MH=N，tanZABC=-,求。。的半徑.

24

(3)在(2)的條件下分別過點A、B作。。的切線，兩切線交于點D,AD與。0相切于

N點，過N點作NQLBC,垂足為E,且交00于Q點，求線段NQ的長度.

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)連接OH、0M,易證OH是AABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明

△C0H/△M0H,所以NHC0=NHM0=90°,從而可知MH是。。的切線；

(2)由切線長定理可知：MH=HC,再由點M是AC的中點可知AC=3,由tanNABC=§,

4

所以BC=4,從而可知。。的半徑為2；

(3)連接CN,AO,CN與A0相交于I,由AC、AN是。0的切線可知AOJ_CN,利用等面

積可求出可求得CI的長度，設(shè)CE為x,然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑

定理即可求得NQ.

【解答】解：(1)連接OH、0M,

是AC的中點，。是BC的中點，

/.OH^AABC的中位線，

工ZCOH=ZABC,NMOH=ZOMB,

又：0B=0M,

Z0MB=ZMB0,

.,.ZC0H=ZM0H,

在△COH與aMOH中，

rOC=OM

"ZCOH=ZMOH-

QH=OH

/.△COH^AMOH(SAS),

.,.ZHC0=ZHM0=90°，

；.MH是。0的切線；

(2)VMH>AC是。。的切線，

3

??.HC=MH=9

2

???AC=2HC=3,

3

VtanZABC=4，

4

?AC_3

??—’—，

BC4

：.BC=4,

.??。0的半徑為2；

(3)連接0A、CN、ON,0A與CN相交于點I,

YAC與AN都是。0的切線，

AAC=AN,A0平分/CAD,

.-.AO±CN,

VAC=3,0C=2,

由勾股定理可求得：AO=SW，

V-^AC*OC=^AO?CI,

22

13

由垂徑定理可求得：CN」2

13

設(shè)OE=x,

由勾股定理可得：CN2-CE2=0N2-0E2,

...瑪?-(2+x)2=4-x2,

13

.10

.2。

..CE至,

由勾股定理可求得：EN=瞿,

X0

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì),

切線的判等知識內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來.

9.（2017?黑龍江大慶）若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋

物線3：yi=-2x?+4x+2與C2：*=-C+mx+n為''友好拋物線”.

（1）求拋物線C2的解析式.

(2)點A是拋物線Cz上在第一象限的動點，過A作AQ_Lx軸，Q為垂足，求AQ+OQ的

最大值.

(3)設(shè)拋物線C2的頂點為C,點B的坐標為(-1,4),問在弓的對稱軸上是否存在

點M,使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB',且點B'恰好落在拋物線C,上？

若存在求出點M的坐標，不存在說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)先求得yJ頂點坐標，然后依據(jù)兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、n的

值；

(2)設(shè)A(a,-a2+2a+3).則0Q=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQ與a的函數(shù)關(guān)系

式，最后依據(jù)配方法可求得OQ+AQ的最值；

(3)連接BC,過點B'作B'D1CM,垂足為D.接下來證明,由全等

三角形的性質(zhì)得到BC=MD,CM=B'D,設(shè)點M的坐標為(1,a).則用含a的式子可表示

出點夕的坐標，將點B，的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M的

坐標.

【解答】解:(1)VyF-2X2+4X+2=--2(x-1)2+4,

拋物線G的頂點坐標為(1,4).

???拋物線G：與Cz頂點相同,

???_]><2=1'7+m+n=4.

解得:m=2,n=3.

工拋物線G的解析式為uz=-x?+2x+3.

(2)如圖1所示：

設(shè)點A的坐標為(a,-a2+2a+3).

VAQ=-a2+2a+3,0Q=a,

q9i

AQ+OQ=-a~+2a+3+a=-a“+3a+3=-(a-一+—

24

.?.當(dāng)a。時，AQ+OQ有最大值，最大值為烏.

24

（3）如圖2所示；連接BC,過點B'作B'DLCM,垂足為D.

VB（-1,4）,C（1,4）,拋物線的對稱軸為x=l,

ABCICM,BC=2.

VZBMB,=90°,

AZBMC+ZB/MD=90°.

VB,D±MC,

.'./MB'D+NB'MD=90°.

.'./MB'D=ZBMC.

'/MB'D=ZBMC

在aBCM和△MDB'中，-ZBCM=ZMDB?，

；.BC=MD,CM=B'D.

設(shè)點M的坐標為（1,a）.則B'D=CM=4-a,MD=CB=2.

.,?點B，的坐標為（a-3,a-2）.

-（a-3）+2（a-3）+3=a-2.

整理得：a2-7a-10=0.

解得a=2,或a=5.

當(dāng)a=2時，M的坐標為（1,2）,

當(dāng)a=5時，M的坐標為（1,5）.

綜上所述當(dāng)點M的坐標為（1,2）或（1,5）時，B，恰好落在拋物線G上.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點

坐標公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、函數(shù)圖象上點的坐標與

函數(shù)解析式的關(guān)系，用含a的式子表示點B'的坐標是解題的關(guān)鍵.

10.（2017?湖北鄂州）（本題滿分10分）如圖，在m△AB&tN^ACB=90°,A0是

△ABC的角平分線。以0為圓心，0C為半徑作

B

D

（1）（3分）求證：AB是。。的切線。

（2）（3分）已知A0交。0于點E,延長A0交。。于

1AE

點D,tanD=-,求---的值。

2AC

（3）（4分）在（2）的條件下，設(shè)00的半徑為3,求

AB的長。第3題圖

【考點】切線，角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組.

【分析】（1）過0作OF，AB于F,由角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得證；

（2）連接CE,證明△ACEs/\ADC可得AE/AC=CE/CD=tanD=l/2；

（3）先由勾股定理求得AE的長，再證明△BOFS/\BAC,得BF/BC=

BO/BA=OF/AC,設(shè)BO=y,BF=z,列二元一次方程組即可解決問題.

【解答】⑴證明：作OF_LAB于F（1分）

IJ

VAO是NBAC的角平分線，ZACB=90°

.\OC=OF（2分）

.?.AB是。0的切線（3分）

⑵連接CE（1分）

?.?A0是NBAC的角平分線,

...NCAE=NCAD

,/ZACE所對的弧與NCDE所對的弧是同弧

，ZACE=ZCDE

△ACEADC

=

*,*-AAC2=CD=tianUD~2（3分）

⑶先在aACO中，設(shè)AE=x,

由勾股定理得

(x+3)2=(2x)2+32,解得x=2,（1分）

ZBF0=90°=ZACO

易證RtABOF^RtABAC（2分）

得BF/BC=BO/BA=OF/AC,

設(shè)BO=yBF=z

y/4+z=z/3+y=3/4即/=9+3y

4yti2+3z

解得z=^y=^（4分）

.\AB=f+4=^（5分）

【點評】本題主要考查了切線，角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二元

一次方程組.作OF_LAB于F是解題的關(guān)鍵.

11.（2017?湖北鄂州）（本題滿分12分）如圖在平面直角坐標系xoy中，直線尸2戶4

與了軸交于A點，與x軸交于B點，拋物線Ci：y=—!X?+bx+c過A、B兩點，與

x軸另一交點為C。

（1）（3分）求拋物線解析式及C點坐標。

（2）（4分）向右平移拋物線3,使平移后的拋物線G恰好經(jīng)過aABC的外心，拋物線

。、C?相交于點D,求四邊形AOCD的面積。

（3）（5分）已知拋物線G的頂點為M,設(shè)P為拋物線G對稱軸上一點，Q為拋物線3

上一點，是否存在以點MQ、P、B為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，直接

寫出P點坐標，不存在，請說明理由。

第4題圖

12.（2017?湖北黃岡）（滿分14分）如圖，拋物線y=-5x2+'x+2與x軸交于點A,

點B,與y軸交于點C,點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點.設(shè)點P

的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線/交拋物線于點Q.

⑴求點A,點B,點C的坐標；

(2)求直線BD的解析式；

(3)當(dāng)點P在線段0B上運動時，直線/交BD于點M,試探究m為何值時，四邊形CQMD

是平行四邊形；

(4)在點P的運動過程中，是否存在點Q,使是以BD為直角邊的直角三角形？若

存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

(第4題)

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)將x=0,y=0分別代入y=-*x2+^x+2=2中，即可得出點A,點B,點C的

坐標；

(2)因為點D與點C關(guān)于x軸對稱，所以D(0,-2)；設(shè)直線BD為y=kx-2,把

B(4,0)代入，可得k的值，從而求出BD的解析式.

(3)因為P(m,0),則可知M在直線BD上，根據(jù)(2)可知點Mr坐標為M(m,

jm-2),因這點Q在y=-?2+3x+2上，可得到點Q的坐標為QQ^iiA4m+Z).要使四

邊形CQMD為平行四邊形，則QM=CD=4.當(dāng)P在線段OB上運動時，QM=(-1m2+1m+2)-

(m-2)=-ym'+m+4=4,解之可得m的值.

(4)Z\BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，但不知直角頂點，因此需要情況討

論：當(dāng)以點B為直角頂點時;則有DQ2=BQ2+BD2.；當(dāng)以D點為直角頂點時，則有DQ2=DQ3+

BD2.分別解方程即可得到結(jié)果.

【解答】解：(1)當(dāng)x=0時，丫=-?2+、x+2=2,

AC(0,2).........................................1分

當(dāng)y=0時,一x，x+2=0

解得xi=-1,X2=4.

0),B(4,0)....................................3分

(2)?.?點D與點C關(guān)于x軸對稱，

.,.1)(0,-2)........................................4分

設(shè)直線BD為y=kx-2,

把B(4,0)代入，得0=4k-2

；.BD的解析式為：y=jx-2..............................6分

(3)VP(m,0),

M(m,m-2),Q(-5-m2+^m+2)

若四邊形CQMD為平行四邊形，：QM〃CD,；.QM=CD=4

當(dāng)P在線段OB上運動時，

QM=(-ym'+ym+2)-(ym-2)=-ym2+m+4:z4,..............8分

解得m=0(不合題意，舍去)，m=2.

/.m=2................................................10分

(4)設(shè)點Q的坐標為(m,+2),

BQ2=(m-4)2+(-m2+4m+2)

BQ-m2+[(-|m2+fm+2)+2]2,BD2=20.

①當(dāng)以點B為直角頂點時，則有DQJBQ2+BD2.

m2+[(-^m2+^m+2)+2]、(m-4)''+(-ym2+4m+2)2+20

解得nu=3,m2=4.

點Q的坐標為(4,0)(舍去)，(3,2)............一11分

②當(dāng)以D點為直角頂點時，則有DQJDQ2+BD2.

/.(m-4)2+(-y01~+ym+2)'=m"+[(-4m+4m+2)+21'+20

解得mi=-1,m，=8.

二點Q的坐標為(-1,0),(8,-18).

即所求點Q的坐標為(3,2),(-1,0),(8,-18)..........14分

注：本題考查知識點較多，綜合性較強，主要考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及待定系

數(shù)法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判