四川省南充市南充高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可求得集合，易知，可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得，易知，所以.故選：D2.已知函數(shù)，則（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】代入數(shù)值，即可求解.詳解】令，得，則.故選：A3.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得，由奇偶性定義和周期公式可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以是最小正周期為，且，為奇函?shù)；可得是最小正周期為的奇函數(shù).故選：C4.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件和不等式的性質(zhì)，分別判斷各選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確．【詳解】因?yàn)椋?，則，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，?，則，即，所以，即，則B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋葿選項(xiàng)可知，所以，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.函數(shù)的圖象大致為：（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)定義域，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及特殊值法可得結(jié)果.【詳解】要使函數(shù)有意義，即，所以故的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng)BC.當(dāng)時(shí)，，所以，所以排除選項(xiàng)A，故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】由，計(jì)算，由，利用兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，則，.故選：A7.“雙碳”戰(zhàn)略倡導(dǎo)綠色?環(huán)保?低碳的生活方式.加快降低碳排放的步伐，有利于引導(dǎo)綠色技術(shù)創(chuàng)新，提高產(chǎn)業(yè)和經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)力.某企業(yè)準(zhǔn)備在新能源產(chǎn)業(yè)上布局，計(jì)劃第1年投入萬(wàn)元，此后每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)，到第年，投入的資金首次超過(guò)萬(wàn)元，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)增長(zhǎng)率，列不等式求解【詳解】令，解得，故.故選：D8.已知函數(shù)，則“”是“在上恰好存在3個(gè)不同的滿足”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍，求滿足題意的的范圍；由，求在區(qū)間上的解，分別判斷充分性和必要性得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，若在上恰好存在3個(gè)不同的滿足，則，解得，必要性成立.若，有，則時(shí)，當(dāng)或或時(shí)，有或或滿足，即在上恰好存在3個(gè)不同的滿足，充分性成立.所以“”是“在上恰好存在3個(gè)不同的滿足”的充要條件.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.是冪函數(shù) B.是減函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】分別判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的類型和性質(zhì)即可.【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，選項(xiàng)正確；由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則是增函數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)定義域?yàn)镽，，是奇函數(shù)，選項(xiàng)正確.函數(shù)定義域?yàn)镽，，所以是偶函數(shù)，選項(xiàng)正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.是偶函數(shù)D.不等式的解集是【答案】ACD【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式，降冪公式，輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，通過(guò)解析式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，研究最大值，對(duì)稱中心，奇偶性，解正弦不等式.【詳解】.，則的最大值為，故A選項(xiàng)正確.令，解得，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.是偶函數(shù)，則C選項(xiàng)正確.，即，即，則，解得，即不等式的解集是，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)最小值為D.若方程有兩個(gè)解，則【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象的對(duì)稱性，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；令函數(shù)，則，即，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，且在上單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)槿〉葪l件不同，所以取不到等號(hào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因，所以.令函數(shù)，則，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若方程有兩個(gè)解，則，D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的形式，求解函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：13.如圖1，這是一副扇形裝飾掛畫(huà)，可將其視為如圖2所示的扇形環(huán)面（由扇形挖去扇形后構(gòu)成的），米.該扇形環(huán)面的周長(zhǎng)為4米，則該扇形環(huán)面的面積是__________平方米.【答案】0.96【解析】【分析】設(shè)米，利用扇形環(huán)面的周長(zhǎng)，表示出與的關(guān)系，代入面積公式求扇形環(huán)面的面積.【詳解】設(shè)米，則弧的長(zhǎng)度，弧的長(zhǎng)度.因?yàn)樵撋刃苇h(huán)面的周長(zhǎng)為4米，所以，即4，整理得.則該扇形環(huán)面的面積：平方米.故答案為：0.96.14.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________；當(dāng)取得最小值時(shí)，的最小值為_(kāi)_________.【答案】①.3②.4【解析】【分析】由已知等式得，利用基本不等式求最小值；此時(shí)，利用配方法求最小值.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為3；此時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：3；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解絕對(duì)值不等式，得到，利用并集的概念求出并集；（2）根據(jù)交集的結(jié)果得到，分和兩種情況，得到不等式，求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，故，解得，由題意可得，當(dāng)時(shí)，，則；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，解得，綜上，的取值范圍是.16.已知函數(shù).（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式，把所有的形式都轉(zhuǎn)化為表示，進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可；（2）利用齊次式形式，將因式轉(zhuǎn)為表示，用求值即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，則，故.17.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義可判斷是偶函數(shù)；（2）易知函數(shù)的值域?yàn)?，利用換元法以及二次函數(shù)性質(zhì)可得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以是偶函?shù).【小問(wèn)2詳解】令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則有解，又開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，解得.當(dāng)時(shí)，，可得，即，解得或.又，所以.綜上可得的取值范圍是.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象可求得，可得，再結(jié)合可求得，又由，求得，從而可求解.（2）利用整體代換法可求出的單調(diào)遞增區(qū)間.（3）由可得，然后求得的最小值為，即，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，則，因?yàn)?，且，所以，由圖可知，則，解得，因?yàn)?，所以，由圖可知，解得，故.【小問(wèn)2詳解】令，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最小值.因?yàn)榇嬖?，使得，所以，解得，則的取值范圍是.19.已知是定義在上的奇函數(shù).（1）求的值域；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，求出的值，根據(jù)解析式和奇偶性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求值域；（2）依題意，函數(shù)在上的