注冊電氣工程師公共基礎(chǔ)高數(shù)大綱

注冊電氣工程師執(zhí)業(yè)資格考試基礎(chǔ)考試大綱(供配電)

1、高等數(shù)學(xué)

1.1空間解析幾何

1.1.1向量代數(shù)

一、向量的概念

1、空間直角坐標(biāo)系

空間兩點(diǎn)M(X],必，4)與“2(%，內(nèi)，Z2)之間的距離

2、向量

既有大小又有方向的量稱為向量。常用有向線段表示向量，其長度為向量的大小稱為

向量的模，其方向?yàn)橄蛄康姆较?。用彳或a表示。

模為1的向量稱為單位向量。模為0的向量稱為零向量，記作0,零向量的方向不定。

和向量。大小相同方向相反的向量稱為向量a的負(fù)向量，記作-a。

設(shè)方=(4],a2，?3)>b=01,岳，慶)是兩個向量，有關(guān)向量有如下一些基本概念要掌

握：

(1)模?C?=Ja：+a；

(2)方向余弦cosa=M，cos/?=魯,cosy=魯且Cbs2?+Cos2?+Cbs2?=l。

同同|?|

(3)向量的加減法1±6=(0±。|々2±62。3坳).

(4)數(shù)乘向量入五=(再儲2.儲3)，其中大為數(shù)量，入不為與萬平行的向量。

(5)數(shù)量積ah-|a||^|cos<>=q仇+a2h2+a3b3,兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù).

jk

(6)向量積axb-Clya2a33痣①一④歷，ayb\—a\by,062一故")，兩個向量的向

向b2&

量積是一個向量.

|ax^|=|?||^|sin<a,b>;g和B;成右手系.

(7)兩個向量平行或垂直的充分必要條件

=G=/或a//bax.b=0

3.向量的坐標(biāo)表達(dá)式

將向量的始點(diǎn)移到空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。。設(shè)向量的終點(diǎn)為M6,y,z),且Ox軸、

A

Oy.Oz軸正方向上的單位向量依次為i,j,k,則°"=d+W+zA,或記為

0M=Cr,y,z),。稱上述兩種表達(dá)式為向量MO的坐標(biāo)表達(dá)式。

例1.1已知兩點(diǎn)A(1,-1,2)和B(3,1,1),qi求

1.1.2平面

1、平面的方程

(1)平面的點(diǎn)法式方程：垂直于平面的非零向量力=(A,B,C)為平面的法向量。過點(diǎn)(心,

泗，zo)以而為法方向的平面方程為：A(X—Xo)+B(y—yo)+C(z—zo)=o。

(2)平面的一般式方程：Ax+5y+Cz+D=0,法方向：H=(A,B,C)。

(3)平面的截距式方程：-+^+-=1,其中aQ,c分別為平面的x截距，y截距，z截

abc

距。

2、特殊的平面方程

Ax+By+Cz=G表示過原點(diǎn)的平面方程。

Ax+By+D=O表示平行于Oz軸的平面方程。

Ax+B=O表示過Oz軸的平面方程。

Cz+D=O表示平行于坐標(biāo)平面Oxy的平面方程。其余可以此類推。

3、兩平面的關(guān)系

平面？1：4x+Biy+Gz+Di=0,法方向R=(A，4，G)；

平面?2：Azx+B2y+C2Z+D2=0,法方向n2=(A,,B2,C2)

(1)相互垂直的充要條件：?1??2??l±n2,即4A2+8山2+CC2=0

(2)相互平行的充要條件：？門??2?%〃%即2=*=g

4^2^2

(3)重合的充要條件：？1與?2重合？—=—=—=—

A2B2C2D2

系數(shù)不滿足以上條件時(shí)，兩平面斜交.

InI,n21____|A?A?+B]+CiC?I

(4)平面?I和?2的夾角e滿足="iI出廠/A"B#CW'+B/璐。

IAx+By,+Cz,+Z)|

4、點(diǎn)⑶，yi，zi)至I」平面Ax+8)：+Cz+D=0的距離為d=匚一1?。

VA2+B2+C2

1.1.3直線

1、直線的方程

如果非零向量T=(“，h,C)平行于一已知直線，則稱/為直線的方向向量。

(1)直線的標(biāo)準(zhǔn)式(點(diǎn)向式或?qū)ΨQ式)方程：

過點(diǎn)。0,泗，Z0)以7為方向向量的直線方程是王玉

ah

X=X。+Qf

（2）參數(shù)式方程：由標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程得\y=y^bt

Z=z0+Ct

（3）一般式方程：兩平面的交線為一直線，即直線的一般方程為

方向向量7=4x為2,其中％=（A，與，G），G=（4,層，。2）。

（4）兩點(diǎn)式方程：過點(diǎn)與M2（x2,y2,z2）的直線方程為：

x—x二y—必_zZ|

九2一七內(nèi)一月Z2-Z]

2、直線與直線的關(guān)系：

直線/l：方向向量4=（%,優(yōu),C1）;直線，2：方向向量，力=（。2也，。2）

（1）相互平行的充要條件：八？?/2?乙〃4即‘■=/=’

a2b2c2

（2）相互垂直的充要條件：即。|。2+匕也+。1。2=0

系數(shù)不滿足以上條件時(shí)，兩直線斜交.

\a,a.+

（3）兩直線的夾角。滿足：cos*-^^2IjJ；

+b；+c：yj0-2+b[+c；

3、直線與平面的位置關(guān)系

直線/i：方向向量1=（。1也，。]）;平面?1：AIX+8I），+CIZ+DI=0,法方向區(qū)=（A],3]，G）

IA16Z1+B[b[+CiCiI

（1）直線與平面的夾角6滿足：sin8=1111"

（2）直線與平面平行的充要條件：/|???|=%，%即卬4+4與+。孰=（）

（3）直線與平面垂直的充要條件：〃％即幺="=且

A用c,

系數(shù)不滿足以上條件時(shí)，直線與平面斜交.

1.1.4二次曲面

1、定義：如果曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)用x,y,z表示，常用尸",%2）=0表示一張曲面的方程。

如果E（x,y,z）=0為二次方程，則它所表示的曲面為二次曲面。

2、特殊的二次曲面方程：

球面方程：（x—a）2+（y—b）2+（z—c）2=/?2,球心：（“，b,c）,半徑：R

橢球面：與心中=1

22

單葉雙曲線方程二+匕_￡_

/b2C2

.222

雙葉雙曲線方程j—5~一二二1

ab"c

x1y2

橢圓拋物面方程——+—=z(pq同號)

2〃2q

22

Xy

雙曲橢圓拋物面方程--------=Z(pq同號)

2P2q

222

錐面方程一r+當(dāng)—r=o

a~bc

1.1.5柱面

如果曲面方程尸(x,y,z)=0中缺少一個變元，則稱其為柱面方程。柱面的母線與所缺變元

同名的坐標(biāo)軸平行。如尸(x,y)=0為母線平行于z軸的柱面方程；/(y,z)=0為母線平

行于x軸的柱面方程；F(x,z)=0為母線平行于>■軸的柱面方程。

1.1.6旋轉(zhuǎn)曲面

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，這條定

直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。

如：X。)，平面內(nèi)一段方程為尸(x,y)=0的曲線C,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)面，

2

該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為/（x，7/+z）=0。

1.1.7空間曲線

(1)一般方程：

空間曲線可以看作是兩個曲面的交線。若空間曲線L是曲面環(huán)(x,y,z)=0和

工(x,y,z)=0的交線，則力的方程可用下述方程組表示，此方程組稱為空間曲線￡的一

般方程。

(2)參數(shù)方程:

X=X(t)

?y=y(t)

若將空間曲線L上動點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)r的函數(shù)：1z=z(t)

這方程組稱為空間曲線L的參數(shù)方程。

(x=acosd

<y=asind

例如，參數(shù)方程1=的表示的空間曲線是螺旋線。

例1.1已知兩點(diǎn)A(1,-1,2)和B(3,1,1),求向量無月的方向余弦。

解AB=(3-L1-(-1),1-2}={2,2,1),|Afi|=722+22+(-1)2=3

設(shè),分的方向角為則

例1.2求通過點(diǎn)P(2,-1,-1).Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。

解QP={l,-3,-4),已知平面的法矢量瓦={2,3,-5}

={-9-1,3}

所求平面為：9(x-2)-(y+l)+3(z-1)=0即:9x-y+3z-16=0

例1.3已知兩直線方程4：三二'=2二2=二乙，二±2=2」=三，試求過匕

10-1-2111

且平行4的平面方程。

4fx+z-4=0f1

解乙,nw=1,。，-I

y-2=0IJ

過L|的平面束方程：x+z—4+4(y—2)=0

即x+Xy+z—4—24=0而=I，A,1

由平行&§?而=0得/l=—3

所求方程為：x-3y+z+2=0

例1.4方程4*2-4)7+36z2=144表示什么曲面？

解單葉雙曲面。

1.2微分學(xué)

1.2.1極限

一、定義

1、數(shù)列的極限：如果對于任意給定的￡>0,總存在正整數(shù)N當(dāng)〃>N時(shí)，恒有人―4<￡成

立，則稱常數(shù)a為數(shù)列{x“}當(dāng)n趨于無窮時(shí)的極限。記為limxn=a.

Xfoo

2、函數(shù)的極限

(1)定義1：設(shè)函數(shù),/㈤在點(diǎn)與的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果對于任意給定的￡>0,總

存在正整數(shù)加0,使得對于滿足0<|x-的一切X，恒有，(%)—44，則稱常數(shù)A為

函數(shù)/㈤當(dāng)X—與時(shí)的極限。記為lim/(x)=A。

XTX(>

(2)定義2：如果對于任意給定的￡>0,總存在N>0使得對于滿足N>N的一切x,恒有

則稱常數(shù)A為函數(shù)加)當(dāng)XT00時(shí)的極限。記為吧/(x)=A。

3、左極限、右極限

(1)在lim/(x)=4的定義中，把0<|x—改為與/〈xv4,那么4為函數(shù)J㈤當(dāng)

XT/時(shí)的左極限。記為lim/(x)=4或#X0-0)=4。

⑵在limf(x)=4的定義中，把0<,一與卜3改為％0<刀<%0+<5,那么4為函數(shù)力幻當(dāng)犬一人

X->XQ

時(shí)的右極限。記為lim/(x)=A或|Xo+O)=A。

XT君

(3)在lim/(x)=4的定義中，把W>N換為x>N,則稱常數(shù)A為函數(shù)#幻當(dāng)x-?+oo時(shí)

X—>*0

的極限。記為lim/(x)=A?

XT4<?

(4)在lim/(x)=4的定義中，把W>N換為-x>N,則稱常數(shù)A為函數(shù)耳”當(dāng)x—-oo時(shí)

X—>*0

的極限。記為lim/(x)=A?

1、若lim/(%)=A>0,則必存在X。的某鄰域，在該鄰域內(nèi)任何異于人的點(diǎn)x處，

Xf與

恒有./W>0.

2、若加閆)，且limf(x)=A,則必有色0。

3、f(x)在與處極限存在的充要條件是加),加)在與處的左極限和右極限都存在且相

等，三個值相同。

三、極限的四則運(yùn)算

注意：上述記號‘上m”下面的自變量變化過程可以是x、x。，x、co,x、x。，X。

xo+,x、—co,x、+co,但等號兩端出現(xiàn)的必需是同一種。

四、極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極限

1、夾通準(zhǔn)則若g(x)4/(x)<〃(x),且當(dāng)尤->與時(shí)，g(x)-A,〃(x)-A,

則當(dāng)xfX。時(shí)，有/(x)fA。

2、單調(diào)有界的數(shù)列(或函數(shù))必有極限。

qin丫1-

3、兩個重要極限：lim----=1；lim(l+—)A=e或lim(l+x)x=e)

X->0XXTOOXA->0

五、無窮小量、無窮大量

1無窮小量：如果lim/（x）=0,則稱函數(shù)力幻當(dāng)x—/（x—oo）時(shí)為無窮小

X->%（XTCO）

量（無窮?。?。

2、無窮小量的性質(zhì)

（1）有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；

（2）有限個無窮小量的乘積是無窮小量；

（3）無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。

3、無窮小的比較

設(shè)a及p都是在同一個自變量變化過程中的無窮小，且a#）,lim幺也是在這個變化

a

過程中的極限。

4、無窮大量：如果當(dāng)一與（X-8）,對應(yīng)稱函數(shù)值的絕對值|/（刈無限增大，則稱

函數(shù)當(dāng)XTX。（X—>00）時(shí)為無窮大量（無窮大）。

例1.5求下列極限

(x—1)及(2x+5)4

(1)lim(2)lim2nsin—(x為非零常數(shù))(3)limx2sin—

XT812(x-3)19

解（1）題給極限式分子的最高次項(xiàng)為x".（2幻4=]6寸9分母的最高次項(xiàng)為

1)6(23+5)416

12x19,由此得lim4

19

X—>0012(%-3)123

Xcinr

（2）對任意的x,lim±=0,由重要極限1皿把上=1得

H->002"x->0尤

）1.1

（3）由于xrO時(shí)，有o,Sin-<1,因此爐sin—還是無窮小量，故

xx

1.2.2連續(xù)

一、函數(shù)的連續(xù)性

1.函數(shù)的連續(xù)性的定義

（1）若函數(shù)在點(diǎn)X。的某鄰域內(nèi)有定義，如果lim/（x）=/（/），則稱於

在與處連續(xù)。

(2)如果limf(x)=7?(/)，即/(/—0)=/(/),則稱/㈤在處左連續(xù)。

(3)如果lim.f(x)=/(x0),即+0)=/(x0),則稱#幻在xn處右連續(xù)。

若函數(shù)#刈在區(qū)間I上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱#幻在該區(qū)間上連續(xù)。特別，當(dāng)I=[a,bj

時(shí)，人幻在[a,b]上連續(xù)，是指抵不在（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，且在a處右連續(xù)，在b

處左連續(xù)。

2.函數(shù)的間斷點(diǎn)

由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義可知，函數(shù)#幻在一點(diǎn)與處連續(xù)的條件是:

（1）/（%）有定義；

（2）lim/（x）存在；

limfW=/(x0)?

若上述條件中任何一條不滿足，則也刈在X。處就不連續(xù)，不連續(xù)的點(diǎn)就稱函數(shù)的間

斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)分成以下兩類：

第一類間斷點(diǎn)：X。是/的間斷點(diǎn)，但/（石）及/（其）均存在；

第二類間斷點(diǎn)：不是第一類的間斷點(diǎn)。

在第一類間斷點(diǎn)中，若lim/（x）、lim/*）均存在但不相等，則稱這種間斷點(diǎn)為跳

XT%XT片

躍間斷點(diǎn)；若/（xp及/（X；）均存在而且相等，則稱這種間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)。

二、初等函數(shù)的連續(xù)性

1.基本初等函數(shù)和初等函數(shù)

幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個

式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

2.初等函數(shù)的連續(xù)性

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，這里的“定義區(qū)間”是指包含在定義域內(nèi)

的區(qū)間。

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)於）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)上連續(xù)，則

（1）_/閏在［a,b］上有界（有界性定理）；

（2）八刈在在［a,b］上必有最大值和最小值（最大值最小值定理）；

（3）當(dāng)f（a）f（b）<0時(shí)，在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)得使得的=0（零點(diǎn)定理）；

（4）對介于=人及￡（b）=8之間的任一數(shù)值C,在（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)。

使得.肢=C（介值定理）。

例1.6討論函數(shù)/（x）=<x=0在x=0處的連續(xù)性。

—sinx

x

解/(x)的定義域?yàn)?-oo,+oo)lim/(x)=limxsin—=0

*->()-xf(rx

由于/(x)在X=0點(diǎn)處的左右極限不相等,故極限不存在，因此函數(shù)/(X)在x=0點(diǎn)間斷。

(補(bǔ)充說明：由于/(0)=0,所以f(x)在x=0點(diǎn)左連續(xù)，它的連續(xù)區(qū)間應(yīng)為為

(-00,0],(0,+8),)

1.2.3導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)在/點(diǎn)及其某個鄰域內(nèi)有定義,對應(yīng)于自變量x在4的改變量Ax=

x0-x,函數(shù)y=/(x)相應(yīng)的改變量△y=/(Xo+Ar)-/(%),如果當(dāng)Acf0時(shí)，極

限lim.―lim/(出土—/(&)存在,則稱此極限值為函數(shù)y=/(x)在/點(diǎn)處的

A—0AxATTOAX

導(dǎo)數(shù)。記作>￡，或?L或尸(X。)。

0ax

左導(dǎo)數(shù)f(%)=lim+?)-/(/)

/(X(,+Ax)/(%0)

右導(dǎo)數(shù)/；(x0)=lim-

f(Xo)存在的充要條件￡(x0)、f(x0)存在且相等。

函數(shù)在X。處連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，即/(幻在X?？蓪?dǎo)，則/(X)在

X。必連續(xù)，反之不然。

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(X)在/點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)y(x0),在幾何上表示曲線y=/(x)在點(diǎn)(/，/a0))

處的切線的斜率。

3、求導(dǎo)法則

(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

(2)反函數(shù)求導(dǎo)法則

(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

(4)隱含數(shù)求導(dǎo)法則

4、求導(dǎo)基本公式

5,高階導(dǎo)數(shù)

(1)定義：若函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(尤)仍可導(dǎo)，則y=f(x)的導(dǎo)數(shù)

叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或y"或少或f"(x)?

dx-

類似地，有y=/(x)的三階導(dǎo)數(shù)y"，四階導(dǎo)數(shù)y⑷，…。

一般地，y=/(x)的(〃-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做/G)的"階導(dǎo)數(shù)，記作

y的或器■或/

C，人

(2)高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

若"=U(X)及v=v(X)都在點(diǎn)X處有”階導(dǎo)數(shù)，則

其中后一個公式稱為萊布尼茲公式。

1.2.4微分

1.微分的定義

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某區(qū)間正內(nèi)有定義，/e，若函數(shù)的增量

其中A是不依賴于Ar的常數(shù)，則稱y=/(x)在點(diǎn)X?？晌⒎?，AAx叫做y=/(x)在

點(diǎn)與相應(yīng)于自變量增量Ax的微分，記作dy,即

dy—AAA-

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x的微分稱為函數(shù)y=f(x)的微分，記作dy或df(x).

2.函數(shù)可微分的充要條件

函數(shù)丫=/(幻在點(diǎn)與可微分的充要條件是f在點(diǎn)X?？蓪?dǎo)，且當(dāng)f在

點(diǎn)x()可導(dǎo)時(shí)，其微分一定是dy=/(x0)Ax。函數(shù)的微分是dy=/

通常把〃稱為自變量的微分，記作dr,即

于是函數(shù)的微分可寫成功=f\x)dx,而導(dǎo)數(shù)可寫成◎=/'(X)。

即導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分dy與自變量的微分dA-之商。

3、微分法則

(1)微分的四則運(yùn)算

設(shè)函數(shù)u=uCxXv=v(x)均可微，則

(2)復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)yqf6/入u=(p0)均可微，則y=/[p(x)~\也可微，且

4、基本微分公式

例1.7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分

(1)y=ln(x+-icos2—),求y'。(2)y=sin--el&v,求dy。

(3)由方程cos。？+J，)=x(OvyV7i)確定了y是x的函數(shù)，求y'(0)。

x=J1+J

(4)求曲線＜產(chǎn)在，=。處的切線方程。

(1)y=

X

(2)yr=cos—?(一-y)etgv+sin—?etgA-2xsec2x2

XXX

22

則dy=(--ycos—?e咚i+2xsin—?6電'secx)dx

xxx

2

(3)方程兩端對x求導(dǎo)，得-sin(x+Jy)(2x+)廠)=1

故-2國而入

—2元］

將ko代入原方程中，得cos4=0,==y

于是y'(0)=-7io

(4)由y；=f+l,x't=—^=,得包=號=2?+1”

2jl+fdxxt

由于t=0時(shí)x=l,y=0,y'(0)=2故所求切線方程為y=2(x—l)。

1.2.5偏導(dǎo)數(shù)

1、定義

2、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)“=夕訪y),v=t//G,y)均具有偏導(dǎo)數(shù)，而z寸("，》有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

z-j[(p(x,y),w(x,歷]的偏導(dǎo)數(shù)存在，且

特別，當(dāng)u=(p(x),v=y/(x),z=f(u,v)時(shí)，則復(fù)合函數(shù)z=j[(p(x),甲⑴]有全導(dǎo)數(shù)

-dz=-d-z.-d-u1-d-i-d-v

dxdxd\>dx

3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

4、高階偏導(dǎo)數(shù)

二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，如z=f(x,歷的二階偏導(dǎo)數(shù)按求導(dǎo)次序

不同有下列四個：

5、偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線的方法.

1)設(shè)空間曲線方程為x=x(t),產(chǎn)y(t),z=z⑴，在t=to處的切線方向?yàn)?/p>

‘則在to處曲線的

%一必())=y一y(。)=z一z(小)

切線方程為

￡(%)y'(t0)z'?o)

法平面方程為(尤-x(fo))x&)+(y-y(W&)+(z-zQo))z&)=0

2)曲面F(x,y,z)=0(或z=f(x,y)),在曲面上的點(diǎn)P(x0,yo,zo)處的法方向?yàn)?/p>

n=｛F；,F；,F；｝(Wo)(或｛力,—Q，則在點(diǎn)(xo,yo,zo)處的

切平面方程為F^x-xQ)+F；(y-y0)+F；(z-z0)=0

47()=y-y()=z-z。

法線方程為~^r~~^r~~pr

注意：點(diǎn)（M，yo,zo）一定在曲線或曲面上，尸;,尸；,工',必須是方向向量在該點(diǎn)處的值。

（3）多元函數(shù)的極值

設(shè)“3）=［鬲/+步。

I0NZ+y2=O

例1.8

求函數(shù)z=In/―+/的-一階與二階偏導(dǎo)數(shù).

例1.9

求曲面z=y+ln］在點(diǎn)（1，1,1）處的切平面方程和法線方程?

例1.10

1.2.6全微分

1、全微分的概念

若函數(shù)z=f（K,y）的全增量

其中A、B僅與x,y有關(guān)，而0=+（4）2,則稱函數(shù)z=fG,y）在點(diǎn)

（x,y）可微分，并稱AAr+BAy為函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)（x,y）的全微分，記作

dz,即dz=4Ax+BAy

2、函數(shù)可微分的條件

函數(shù)可微分的充分條件是函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

例］」］求函數(shù)2=（21+）產(chǎn)+，的全微分.

1.2.7導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

2、其他形式的未定式的情形

（三）函數(shù)性態(tài)的判別

1.函數(shù)單調(diào)性的判定：利用一階導(dǎo)數(shù)的符號判定，如表1.2-1所示

表1.2-1表1.2-2

2.函數(shù)極值的判定：利用一階導(dǎo)數(shù)判定，如表1.2-2所示。利用二階導(dǎo)數(shù)判定，如表

1.2-3所示。

3.曲線凹、凸及其拐點(diǎn)的判定：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定曲線的凹、凸，如表1.2-4

所示。

表1.2-3表1.2-4

二、微分的應(yīng)用

2r-1

例1.12求y=±二漸近線(斜漸近線不討論)

U-1)2

2r-l

解?；lim,=0；.y=0為水平漸近線

18(X-1產(chǎn)

2x-l

???lim--------7=00Jx=l垂直漸近線

7(1)2

例1.13當(dāng)x>0證明了?+1>Inx

2r2-1

證令/(x)=x2+l-lnx(x>0)f(x)=--------

x

i

r(x)=oF駐點(diǎn)唯一,

,?*/(x)=x+—>0

X

/(-^)極小

/(-^)為最小值

即x>0/(x)〉(^)=|+；ln2〉0

1.3積分學(xué)

1.3.1不定積分

1、不定積分的定義

在區(qū)間I上，如尸(尤)=/(x),稱/(x)為F(x)的導(dǎo)函數(shù)，稱F(x)為了(元)的原函數(shù),

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。

如F(x)為/(x)的一個原函數(shù)，則/(x)+C為/(x)的全體原函數(shù)。

記為］7(尤)公，即］7(處公=Mx)+C

2、不定積積分性質(zhì)

⑴(J/(x)詞'=/(%)或4/(]依=/(%依

(2)jFz(x)dx=F(x)+C

(3)JVf[x}dx=kjf{x}dx

(4)J(f(x)±g(x))dx=Jf(x)dx+jg(x)dx

3、計(jì)算方法

（1）第一類換元法（湊微分法）

常用湊微分形式

（2）第二類換元法

jf（x）dx=[J⑺]〃⑺力]-T（x）（其中材“（X）是X=以f）的反函數(shù),且沙T⑺刈）

當(dāng)被積函數(shù)中含有二次根式

y]a2—X2,令》=。5111/；\a~+x2,令x=atanf；-Jx2—a2,令x=asecf

如是A/CIX-+bx+C配方--yt/~+tZ|",JiL-a；,~u~

（3）分部積分

〈定理〉如"（x）、v（x）均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則

4、基本積分表

例1.13求下列積分

⑵J等dx⑶J21

VF-xf

(1)—dx(4)[——---,=dx

X2

2

xarctanx22

(5)dx(6)JxsinX6tr

1+x2

解(1)XJ―—d(3-2x)=--ln|3-2x|+c

J—”=T32x2

，山xdx=JJlnxdInx=g(ln)0，+c

(2)

(3)令1=5m/,dx=costdt

rcosr,f

原式=———-costat=cot"2/力=J(CS<?￡-1)力-—cot/-/+C

Jsin2rJ

(4)令x=t6dx=6/dt

、

ln|l+r|+C

7

22

zxrxarctanx,rx+1-1,

(5)z——dx=-----z-arctanxdx

J1+X2」l+Y

?r71x，1r17

(6)Jxsin"xdjc=Jx—(1—cos2x)6tr=-Jx-dsin2x

1.3.2定積分

1、定義：jf(x)dx=呵，，X=max{AxJ

afi=lIViVn

注意(1)積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界；

(2)與“分法”、“取法”無關(guān);

(3)定積分的值與積分變量的選取無關(guān)(J：f(x)dx=j：f(t)dtj；

(4)f(x)在［a,b］有界是f(x)在［a,b］可積的必要條件,f(x)在［a,b］連續(xù)是f(x)

在［a,b］可積的充分條件。

〈幾何意義〉：J：f(x)dx在幾何上表示介于y=0,y=f(x),x=a,x=b之間

各部分面積的代數(shù)和。

補(bǔ)充規(guī)定J.f(x)dx=O(當(dāng)a=b);Jf(x)dx=—jtf(x)dx(當(dāng)。>加

2、性質(zhì)

(7)為估計(jì)定理：在［a,b］,m<f(x)<M,則m(b-a”J：f(x)dxWM(b-a)

(8)中值定理：如f(x)在［a,b］連續(xù)，31e［a,b］,使

3、計(jì)算方法

(1)變上限積分

基本定理：設(shè)f(x)在.a,b］連續(xù)，X為(a,b)上任意一點(diǎn)，則①(x)=J：f(t)dt

是可導(dǎo)函數(shù)，且①'(x)=f(x)。

即——fxf(t)dt=f(x)說明［x為f(x)的一個原函數(shù)。

dxJaa

(2)牛頓萊伯尼茲公式

〈定理〉設(shè)尸(x)在刈連續(xù)。F(x)為尸(x)在口⑸上的任意一個原函數(shù)，則有

J：f(x)dx=F(x)|：=F(b)—F(a)

(3)換元法

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間口刈連續(xù)，函數(shù)0⑺及其導(dǎo)數(shù)*⑺都在閉區(qū)間口⑶連續(xù)，其

中4=<(a),b=(p(0),復(fù)合函數(shù)/［0⑺］在閉區(qū)間［a/］連續(xù)，則

(4)分部積分法

4、奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)

(1)/(x)在［一〃，連續(xù)，a>0

當(dāng)/(X)為偶數(shù)，則J：f(x)dx=2j：f(x)dx

當(dāng)/(X)為奇函數(shù)，則J：f(x)dx=o

(2)jJ+，f(x)dx=J；f(x)dx,/(x)以T為周期

說明在任何長度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。

例1.14計(jì)算

J。

29

2X-(-2X-

解,dx=|,=dx

°A/2X-X2J01l-(x-1產(chǎn)

設(shè)x-1=sint則

1fx

例1.15設(shè)/(x)在[a,勿連續(xù)，(a,加可導(dǎo)，且/'(x)<0,F(x)=——[f(t)dt

x-aJ"

證明在(a,。)內(nèi),有尸(%)40

證：F\x)=

(x-a)?

???/'(x)40.?./(x)在(a,勿單調(diào)減，4Kx

f/(。2/(幻故F(%)<0

1.3.3廣義積分

1、無限區(qū)間上的積分

fb

(1)定義設(shè)函數(shù)/2在區(qū)間［a,+oo)上連續(xù)，極限lim［/(x)必:(。<份存在,

。一>4ooJa

稱此期限值為#x)在區(qū)間［a,+00)上的廣義積分，記作

p+oopbr+x>

此時(shí)稱廣義積分f/(x)dx收斂，若limf/(x)dx不存在，則稱f/(尤)公發(fā)散。

Ja>+acJaJa

類似的，定義/f(x)dx=lim[hf(x)dx

J—ao>-ooJa

f(x)dx=f(x)dx+Pf(x)dx

J-ooJ-ooJO

(2)計(jì)算方法設(shè)尸函數(shù)於)的一個原函數(shù)，則

f(x)dx=F(b)-limF(x)=F(x)|t

~00

f(x)dx=limF(x)-limF(x)=F(x)匿

XT+00

2、無界函數(shù)的積分

（1）定義設(shè)函數(shù)/W在區(qū)間（a,b］上連續(xù)，當(dāng)時(shí)，如果

*b

/（x）"x（￡>0）存在，稱此期限值為無界函數(shù)以）在區(qū)間［a,b］上的廣義積分，記

Ja+￡

作

此時(shí)稱廣義積分［/*）公收斂，若lirnfy（x）dx（￡>0）不存在，則稱:/（幻公發(fā)散。

Ja￡T0Ja+￡Ja

類似的，若心）在區(qū)間［a,b）上連續(xù)，且lim/（幻=8,則定義

x—>b

pbfb-￡

j/(x)Jx=limJf(x)dx（￡）0）

若f（x）在區(qū)間［a，c)u(c,b］上連續(xù)，且lim/(x)=oo,則定義

x—>c

/(x)Jx=limJ"(x)公+1叫)jf{x}dx(弓也,。)

（2）計(jì)算方法設(shè)尸GJ函數(shù)外）的一個原函數(shù)，則

1）當(dāng)段）在區(qū)間（a,b］上連續(xù)，lim/（x）=8時(shí),

x-^a+

2）當(dāng)段）在區(qū)間［a,b）上連續(xù)，且lim/（x）=8時(shí),

X—>

"'fMdx=lim尸(x)-F(a)=F(x)|f

3)當(dāng)於)在區(qū)間［a,c)u(c,b］上連續(xù)，且lim/(x)=8時(shí),

x—>c

\hfMdx=F(b)-limF(x)+limF(x)-F(a)=F(x)—F(x)￡

Lx->c+x->c~c

p+8dx

例1.16計(jì)算1

x~+x—2

11

x2+.r-2~(-r+2)(x-1)

解31z-1x+2J

1.3.4重積分

一、二重積分

1、定義設(shè)函數(shù)/?，y）在有界閉區(qū)域。上有定義。

分割用任意兩組曲線將區(qū)域。分成"個小區(qū)域，分別記為△?,Ab2，...,Ab“。

并以Ab,代表第i個小區(qū)域的面積。

求和在每個小區(qū)域.上任取一點(diǎn)（匕，R）作乘積/（七,尤乃力，并求和

求極限記入為〃個小區(qū)域△cT|,Ab2，...,Ab〃的最大的直徑，如果

存在，且此極限值不依賴區(qū)域。的分法，也不依賴于點(diǎn)(七，%)的取法，則稱此極限

值為函數(shù)/y)在區(qū)域。上的二重積分。記為

稱dcr為面積元素。

2、存在性若函數(shù)f0,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在。上的二重積分必

存在。

3、幾何意義

f[x,(x,y)e。，則表示以z=/(x,y)為頂，以。為底

D

的曲頂柱體體積。

4、性質(zhì)

(1).f(x,y),g(x,y)都在有界閉區(qū)域。上可積，則

JJW(x,y)+禽(%,y)]da=eJJf(x,y\lcy+夕JJg(x,y)da

DDD

(2)“db表示平面區(qū)域。的面積。

D

⑶./■(>,')在有界閉區(qū)域。上連續(xù)，則存在(7，使

Jj/(x,>卜。=/(?,〃卜,o■是O的面積。

D

(4)。可分解為兩個互不重疊的區(qū)域功與。2，則

JJ/(尤，)'kb=JJ/(x,y)d(y+^f(x,y)d(y

DD|D2

(5)對任意的(x,y)e。，/(x,y)<g(x,y),則JJ/(x,y)dcrsJJg(x,y)6/cr

DD

(6)設(shè)M、機(jī)分別是/(x,y)在。上的最大值、最小值，o?是。的面積，則

m(y<JJf(x,y\la<M(y

D

5、二重積分的計(jì)算法

(1)直角坐標(biāo)下的計(jì)算法

在直角坐標(biāo)下，二重積分可表示為0f(x,y)da=j]f(x,y)dxdy。

DD

若積分區(qū)域。(見圖)可表示成

則二重積分可化成先對y后對x的二次積分，即

jj/(x,y]dxdy=￡'[『：；/(%>g]公或JJf(x,y]dxdy=fdxj^f(x,y)dy

D''D

若積分區(qū)域。(見圖)可表示成

則二重積分可化成先對X后對y的二次積分，即

(2)在極坐標(biāo)下計(jì)算方法

直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系x=pcos0,y=psin0,則

例1.17計(jì)算二重積分JJ(x2+y2)d。其