2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第07講 構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法（原卷）

第07講構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）例題分析【例1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1(1)求證：數(shù)列an(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S滿分秘籍遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式第一步構(gòu)造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式；第二步利用待定系數(shù)求出t的值。則數(shù)列{an＋t}為公比為p的等比數(shù)列。變式訓(xùn)練【變式1-1】已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)若bn=2n?1，數(shù)列cn滿足c4n?3=b2n?1【變式1-2】已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求證：數(shù)列an(2)若bn=2n+1an+1?an，【變式1-3】在數(shù)列an中，a1=(1)求an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例題分析【例2】已知：a1=1，n≥2時，an滿分秘籍先構(gòu)造出an+An+B=pa變式訓(xùn)練【變式2-1】已知數(shù)列{an}滿足：a（1）證明：數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列并求數(shù)列{an（2）設(shè)bn=(2n?1)?(an+n)，求數(shù)列{①?②得：?

=2×(2+

=?(2n?3)?所以Tn【變式2-2】設(shè)數(shù)列an滿足a1=2(1)求證：an?n為等比數(shù)列，并求(2)若bn=an?n?n，求數(shù)列【變式2-3】已知數(shù)列an中，a1=1，滿足an+1=2an(1)證明：數(shù)列an(2)若不等式λ?2n+Sn考法三：an＋1＝pan＋rqn例題分析【例3-1】p=q已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=2nan，將數(shù)列bn分組：b1，b2,b（i）求數(shù)列cn（ii）證明1c【例3-2】p≠q已知數(shù)列{an}滿足an+1=2滿分秘籍當(dāng)p=q時，等式兩邊同時除以p，即可構(gòu)造出一個等差數(shù)列。當(dāng)p≠q時，可設(shè)an+1變式訓(xùn)練【變式3-1】已知數(shù)列an中,a1=2(1)求證:an+2(2)設(shè)bn=3×2n4an?【變式3-2】若數(shù)列an滿足a1=2(1)證明:an+1(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn,求滿足Sn考法四：an＋2＝pan+1＋qan例題分析【例4】已知數(shù)列{an}中，a滿分秘籍設(shè)出an+2?sa變式訓(xùn)練【變式4-1】已知數(shù)列an滿足a1=3，a2【變式4-2】已知數(shù)列an滿足a1=1，a(1)證明：an+1(2)證明：存在兩個等比數(shù)列bn，cn，使得【變式4-3】已知數(shù)列an滿足a1=5，a(1)求證：數(shù)列an+1?2a(2)若an?2n>λ(3n+1)考法五：an＋1＝an例題分析【例5】已知數(shù)列an滿足：a1=2滿分秘籍等式兩邊同時取倒數(shù)，即可得到一個新的等比數(shù)列。變式訓(xùn)練【變式5-1】在數(shù)列{an}中，a【變式5-2】已知數(shù)列an中，a1=(1)求數(shù)列an(2)求證：數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【變式5-3】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=(1)求證：數(shù)列1a(2)若1a1+考法六：an＋1＝pan2例題分析【例6】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，a滿分秘籍兩邊同時取對數(shù)，可以構(gòu)造出一個等比數(shù)列。變式訓(xùn)練【變式6-1】數(shù)列an中，a1=2，a23．已知數(shù)列an，a1=100（1）求數(shù)列an（2）設(shè)bn=n+1lgan，求數(shù)列24．已知數(shù)列an滿足a1=3(1)證明數(shù)列l(wèi)nan?1(2)若bn=1an+1an真題專練1．已知數(shù)列an,a(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T2．已知數(shù)列an滿足a1=1（1）證明：數(shù)列1an是等差數(shù)列，并求數(shù)列（2）設(shè)bn=an2n+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求使不等式S3．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足3（1）求證：數(shù)列1an?1（2）證明：數(shù)列{an}的前n4．已知數(shù)列bn是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列an滿足an+1?3a（1）求數(shù)列an（2）令cn=an?bn5．已知數(shù)列an滿足a1=1（1）設(shè)bn=a（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S6．設(shè)數(shù)列an滿足(1)求an(2)設(shè)bn=1?an+17．已知數(shù)列an，bn滿足a1=118，2a8．在數(shù)列an中，a1=1(1)設(shè)bn=a(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a9．已知數(shù)列an和bn滿足：a1=12，an+1(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列cn=an?bn10．已知數(shù)列an滿足a1=1(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?an11．已知數(shù)列an中，a（1）求證：數(shù)列an（2）令bn=(?1)nan,Sn12．已知數(shù)列an滿足a1=1,(1)證明數(shù)列an+1?2a(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S13．已知數(shù)列an中，a1=5且(1)求證：數(shù)列bn(2)從條件①n+bn，②求數(shù)列______的前n項(xiàng)和Tn注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．14．已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)當(dāng)cn=an+1?an15．在數(shù)列an中，a1=5(1)證明：an?1為等比數(shù)列，并求(2)令bn=(?1)n?an16．已知數(shù)列an，2an+1(1)求證：數(shù)列1a(2)設(shè)bn=1?an1?a17．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝12，a2＝32，求{18．已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=3an+2?（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2