附錄2 無限大平板含扁橢圓孔的問題

PAGE15-附錄2無限大平板含扁橢圓孔的問題A2.1保角變換，曲線坐標(biāo)中的復(fù)勢、應(yīng)力和位移如果是解析函數(shù)，并且，我們利用關(guān)系式(A2-1)所作的變換即為保角變換.通過保角變換，總可以把z平面上形狀復(fù)雜而不易求解的單連域S(邊界為L),通過一個正則函數(shù)，映射為平面（數(shù)學(xué)平面）上的另一條形狀較為簡單的曲線，從而使問題的求解變得簡便和可能.設(shè),.在平面上每給定一點，平面上必有一點跟它相對應(yīng).這樣，在平面上每給定一根曲線,平面必有一根對應(yīng)的曲線(圖A2-1).在相應(yīng)的兩曲線上各截取相應(yīng)的一小段()和(),則有.(A2-2)圖A2-1其中和分別為和的輻角的主值.由(A2-1）,有.(A2-3)由(A2-2),.(A2-4)式中,.可以看出,J和的物理意義分別如下：J是保角變換時，z平面上微元線段變換為平面上線段的尺寸放大(或縮小)系數(shù)；而是表示z平面上微元線段變換到平面上微元線段時旋轉(zhuǎn)的角度.J和皆是點的函數(shù)，即與有關(guān).但對于指定點,J和是完全確定的.顯然即為曲線const的切線(向著增加的方向)與z平面x軸之間的夾角(此時)，而曲線const的切線(向著增加的方向)與z平面x軸之間的夾角為.同時對于const和const上的微元線段和有,.這樣便建立了對應(yīng)于z平面上各點的曲線坐標(biāo)(梁昆淼,1978).由(A2-4)得到，因此.(A2-5)利用局部坐標(biāo)變換，得到曲線坐標(biāo)中各應(yīng)力分量與直角坐標(biāo)中應(yīng)力分量的關(guān)系，(A2-6)A2.2無限大平板中橢圓孔受均布作用力的問題A2.2.1具有橢圓孔的無限域的問題由Stevenson(1945)在橢圓坐標(biāo)系中解得.應(yīng)用橢圓坐標(biāo)系，定義為,.則.由此得出(a)坐標(biāo)為常數(shù)，令表示直角坐標(biāo)系中的橢圓孔.橢圓孔的方程為.或?qū)懗蓞?shù)方程為，.若橢圓的半徑給出為a和b,則應(yīng)有，.(b)可以求得和c.當(dāng)逐漸變大時，以為參數(shù)所表示的橢圓也逐漸變大.當(dāng)時所代表的是無限大的橢圓.當(dāng)參變量從x軸正向由零到時,任一橢圓上一點就繞橢圓一周(此時=const).根據(jù)式(a),任意給定一對參數(shù)和，在平面中就對應(yīng)一個點，因此也稱、為平面上點的橢圓坐標(biāo)，分別相當(dāng)于極坐標(biāo)中的和.位移和應(yīng)力分量的連續(xù)性要求這些分量在方向是周期性的，周期為，使當(dāng)和時，這些分量有相同的值.因此可能選取下列形式的復(fù)應(yīng)力函數(shù)(c)其中n為整數(shù).另外，函數(shù)也適合單值條件，因此也可以作為復(fù)應(yīng)力函數(shù).A2.2.2無限大平板中橢圓孔，受遠(yuǎn)場均勻拉力作用，橢圓的長短軸各為2a和2b,與x軸夾角為(圖A2-2)(本書采用了與彈性力學(xué)一致的符號標(biāo)注習(xí)慣,與巖石力學(xué)的標(biāo)注有所不同).該問題由Inglis(1913)推導(dǎo)了各種條件的應(yīng)力和位移.設(shè)坐標(biāo)系是將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動角使其與拉力平行的直角坐標(biāo)系，于是由坐標(biāo)變換，邊界條件為，在無窮遠(yuǎn)處.因此，在無窮遠(yuǎn)處，.(a)圖A2-2無限大平板中橢圓孔受單向拉伸的問題為了和有關(guān)文獻(xiàn)在表達(dá)上一致，這里取,柯洛索夫公式成為(A2-7)由(A2-5),其中.(A2-8)將(a)式代入(A2-7)得當(dāng)時，，在橢圓孔邊界上，即時應(yīng)有取(A2-9)可以驗證滿足所有邊界條件.可以由(A2-7)中的第三式求出相應(yīng)的位移，并且位移是單值的.由(A2-7)求出孔邊的環(huán)向應(yīng)力為.(A2-10)或利用(b)式,得到.(A2-11)這里特別討論的情形，此時拉力作用方向和橢圓長軸方向垂直，孔邊的應(yīng)力(A2-10)可寫為.(A2-12)當(dāng)或時，，即在橢圓的長軸兩端處，代入，.(A2-13)在橢圓的短軸兩端處，,,(A2-14)A2.2.3在A2.2.2的情況下，考察一種最重要的情況，即當(dāng)橢圓孔變得越來越細(xì)長時，應(yīng)力也逐漸變大.當(dāng),即時，橢圓變成一條直裂紋，可以得到在任意點應(yīng)力值是：,(A2-15),(A2-16).(A2-17)其中.(A2-18)在(應(yīng)力垂直于橢圓長軸)的情況下,孔邊最大應(yīng)力位于橢圓的長軸兩端處,可以從(A2-13)直接得到:.(A2-19)應(yīng)力顯示出了奇異性.對于受單軸壓力的問題,只須取即可使用(A2-9)、(A2-10)、(A2-11)式.橢圓孔周圍的應(yīng)力的數(shù)學(xué)已由許多作者進(jìn)行了討論，參見鐵摩辛柯和古地爾(1951).Inglis(1913)確定了各種條件的應(yīng)力和位移.王龍甫(1979)和徐秉業(yè)(1981)較詳盡地介紹了推導(dǎo)過程.(1921-1922)使用了Airy應(yīng)力函數(shù)，Starr(1928)基于Airy應(yīng)力函數(shù)非常仔細(xì)地討論了受純剪力的裂縫.以上給出的文獻(xiàn)均采用橢圓坐標(biāo)系，這是處理切口問題或橢圓孔問題經(jīng)典的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法.但是也可利用其它方法，特別是向圓保角變換？？？.？？？A2.2.圖A2-3無限大平板中橢圓孔受雙向拉伸的問題將上述問題疊加上一個受遠(yuǎn)場均勻拉力的作用，與橢圓長軸夾角為+(圖A2-3),就得到相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力分量和位移分量.其中孔邊環(huán)向應(yīng)力(A2-11)式替換為(A2-20a或代入(b)式,有.(A2-20b)A2.2.在A2.2.2問題中取，,就得該問題的應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力分量和位移分量.其中各應(yīng)力分量為,(A2-21),(A2-22).(A2-23)其中α參見(A2-18).A2.2.在A2.2.5中取,將得到的解與應(yīng)力函數(shù),導(dǎo)出的應(yīng)力狀態(tài)疊加，就得到本問題的解答，即,,(A2-24),(A2-25)按照以上應(yīng)力函數(shù),并利用(A2-7)式,就得到相應(yīng)的應(yīng)力分量和位移分量.其中孔邊的環(huán)向應(yīng)力為.(A2-26)以上應(yīng)力函數(shù)的導(dǎo)出涉及到向圓保角變換和孔口問題.有關(guān)詳細(xì)介紹可參見木斯海里什維里(1958)或尹祥礎(chǔ)(1985).本部分參考文獻(xiàn)[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:人民教育出版社,1978.[2]木斯海里什維里NI.數(shù)學(xué)彈性力學(xué)中的幾個基本問題.趙惠元,譯,北京：科學(xué)出版社,1958.[3]鐵摩辛柯ST,古地爾JN.彈性理論.徐芝綸,譯.北京:高等教育出版社,1990.[4]王龍甫.彈性理論[M].北京:科學(xué)出版社,1978.[5]徐秉業(yè).彈性與塑性力學(xué)-例題與習(xí)題[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1981.[6]尹祥礎(chǔ).固體力學(xué)[M].北京:地震出版社,1985.[7]Inglis,Stressesinaplateduetothepresenceofcracksandsharpcorners,TransactionsoftheInstitutionofNavalArchitects,1913,55:219–230.[8]StarrAT,1928.Slip