3-第4章投影基礎(chǔ)理論-直線的投影教程

直線的投影特性直線的投影一般位置線段的實(shí)長及對投影面的傾角直線上的點(diǎn)的投影特性兩直線的相對位置基本要求1基本要求（1）熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法；（2）掌握直線上的點(diǎn)的投影特性及定比關(guān)系；（3）掌握兩直線平行、相交、交叉三種相對位置的投影特性，能根據(jù)兩直線的投影判別兩直線的相對位置。（4）熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段實(shí)長及其對投影面的傾角的方法，并能靈活運(yùn)用直線的實(shí)長、投影、直線與投影面傾角三者之間的關(guān)系。2直線的投影特性aa

a

b

b

b●●●●●●

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線在該面上的投影。⒈

直線對一個投影面的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a（b、m）●●●3⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。4直線的投影特性一、特殊位置直線1、平行于投影面的直線

(1)水平線

(2)正平線

(3)側(cè)平線2、垂直于投影面的直線

(1)鉛垂線

(2)正垂線

(3)側(cè)垂線3、投影面上的直線（1）投影面上的直線（2）投影面上的垂線（3）投影軸上的直線二、一般位置直線5(1)水平線—平行于水平投影面的直線XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOzYHYW

AB投影特性：1、a

b

OX；a

b

OYW；2、ab=AB；3、反映

、

角的真實(shí)大小。6XZYO（2）正平線—平行于正面投影面的直線aa

b

a

b

b

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX；a

b

OZ；2、a

b

=AB；3、反映

、

角的真實(shí)大小。7XZYO（3）側(cè)平線—平行于側(cè)面投影面的直線XZa

b

b

baOYHYWa

aa

b

a

b

b

AB投影特性：1、a

b

OZ；ab

OYH;2、a

b

=AB；3、反映

、

角的真實(shí)大小。8判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線實(shí)長

β實(shí)長γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

總結(jié)投影特性：①在其平行的那個投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)角。②另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸,其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離.9OXZYb

a(b)a

a

b

Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

積聚成一點(diǎn)；

2、a

b

OX；a

b

OY；

3、a

b

=a

b

=AB。（1）鉛垂線—垂直于水平投影面的直線AB10（2）正垂線—垂直于正面投影面的直線OXZYba

b

a

b

a投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)；

2、ab

OX；a

b

OZ；

3、ab=a

b

=AB。ABzXa

b

b

aOYHYWa

b11（3）側(cè)垂線—垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)；

2、ab

OYH；a

b

OZ；

3、ab=a

b

=AB。ba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

b12

反映線段實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

另外兩個投影，①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性?？偨Y(jié)投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)判斷下列直線是什么位置的直線？13（1）投影面上的直線ZXa

b

aOYHYWa

bb

OXZYABbb

a

b

aa

14（2）投影面上的垂線OXZYABb

a(b)a

a

b

ZYWb

Xa

b

a(b)OYHa

15(3)投影軸上的直線ZXa

b

aOYHYWa

b

bOOXZYABbb

a

b

aa

16OXZY一般位置直線ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYYa

bb

投影特性：1、ab、

a

b

、a

b

均傾斜于投影軸；

2、ab、a

b

、a

b

均小于實(shí)長；

3、不反映

、

、

實(shí)角。17求解一般位置線段的實(shí)長及對投影面的傾角是求解畫法幾何綜合題時經(jīng)常遇到的基本問題之一，而用直角三角形法求解實(shí)長、傾角又最為方便、簡捷。一、直角三角形法的作圖要領(lǐng)：用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點(diǎn)相對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。二、直角三角形的四個要素，即實(shí)長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。三、解題時，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個長度來作直角邊不能弄錯。四、作圖1、求線段的實(shí)長及對水平投影面的傾角

2、求線段的實(shí)長及對正立投影面的傾角

3、求線段的實(shí)長及對側(cè)立投影面的傾角

例題1一般位置線段的實(shí)長及對投影面的傾角18

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO1、求線段的實(shí)長及對水平投影面的傾角

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|ab19ABbb

aa

CXO2、求線段的實(shí)長及對正面投影面的傾角

|YA-YB|a

Xab

ba

b

AB

AB

a

b

|YA-YB||YA-YB|AB

|YA-YB|

20XZYO3、求線段的實(shí)長及對側(cè)立投影面的傾角

ABbb

a

b

aa

ZXa

a

aOYHYWb

bb

|XA-XB|

|XA-XB|21四個參數(shù)和三個直角三角形：實(shí)長、投影、坐標(biāo)差和夾角；由實(shí)長和三種坐標(biāo)差分別組成三個直角三角形；總結(jié)：已知四個參數(shù)中的任意兩個就可以作出直角三角形，并由此求出其余兩個參數(shù)；求直線段實(shí)長，只需作出三個直角三角形中的任意一個即可；求傾角則必須找到相對應(yīng)坐標(biāo)差。22例題1已知線段的實(shí)長AB及正面投影a

b

，求它的水平投影。a|zA-zB|

abABab|zA-zB|b

Xa

ObABa23直線上的點(diǎn)具有兩個特性：

1.從屬性：若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。

2.定比性：從屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即：AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

。利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。直線上的點(diǎn)投影特性ABbb

aa

XOcc

Cc24b

Xa

abcc

例題2已知線段AB的投影圖，點(diǎn)C將AB分成1:2兩段，求分點(diǎn)C的投影。25例題3已知點(diǎn)C的水平投影且其在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。b

Xa

bacc

acbcXOABbb

aa

c

CcHV26bb

Xa

aBC例題4已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點(diǎn)C的投影，使BC的實(shí)長等于已知長度L。cLAB|zA-zB|c

ab27兩直線的相對位置一、兩直線平行二、兩直線相交三、兩直線交叉四、交叉兩直線上重影點(diǎn)的可見性例題5

例題6

例題728一、兩直線平行1、兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。反之，若兩一般直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行；當(dāng)兩直線為投影面平行線時，判斷兩直線是否平行要觀察第三個同面投影。2、平行兩線段之比等于其投影之比。Xb

aa

d

bbcc

Xb

a

abdc

d

cABCD29二、兩直線相交兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點(diǎn)屬于兩直線；反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點(diǎn)屬于兩直線，則該兩直線相交。b

Xa

abk

c

d

dckXBDACKbb

aa

c

cdd

k

k30三、兩直線交叉凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)2131四、交叉兩直線上重影點(diǎn)的可見性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2