理學(xué)第3章-一元函數(shù)積分學(xué)

第三章一元函數(shù)積分學(xué) 引言積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分。不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問(wèn)題提出的，而定積分是作為微分的無(wú)限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計(jì)算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。8/17/20241本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學(xué)核心定理（牛頓萊—布尼茨公式）,解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡(jiǎn)單研究廣義積分。8/17/20242本章主要內(nèi)容：第3.1節(jié)不定積分第3.2節(jié)不定積分的計(jì)算第3.3節(jié)定積分第3.4節(jié)定積分的計(jì)算第3.5節(jié)廣義積分8/17/202433.1不定積分3.1.1不定積分的概念一、不定積分定義在小學(xué)和中學(xué)我們學(xué)過(guò)逆運(yùn)算：如：加法的逆運(yùn)算為減法乘法的逆運(yùn)算為除法指數(shù)的逆運(yùn)算為對(duì)數(shù)8/17/20244微分法：積分法：互逆運(yùn)算8/17/20245原函數(shù)(primitivefunction)定義定義1在某一區(qū)間上F

(x)

f(x)，則稱F(x)為f(x)在這個(gè)區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。例： (x2)

2x (sinx)

cos

x所以 x2是2x的一個(gè)原函數(shù)

sinx是

cos

x的一個(gè)原函數(shù)8/17/20246不定積分因?yàn)?x2)

2x，(x2

1)

2x，

(x2

ln2)

2x設(shè)F(x)、G(x)都是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則：[G(x)

F(x)]

G

(x)

F

(x)

f(x)

f

(x)

0從而G(x)

F(x)

C

即G(x)

F(x)

C定理1如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則：f(x)的所有原函數(shù)可表示為F(x)

C。8/17/20247不定積分定義定義2

函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)，稱為f(x)的不定積分。記作：如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則由定義有積分號(hào)積分變量被積函數(shù)積分表達(dá)式積分常數(shù)8/17/20248因?yàn)閤2,sinx分別是2x,cosx

的一個(gè)原函數(shù)，所以求已知函數(shù)的原函數(shù)的方法稱為不定積分法或簡(jiǎn)稱積分法。積分法是微分法的逆運(yùn)算。8/17/20249二、不定積分的幾何意義f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形,稱為f(x)的積分曲線。y

F(x)y

F(x)

Cx0yox其斜率都是f(x),所以積分曲線上橫坐標(biāo)相同處切線彼此平行。表示一族積分曲線。8/17/2024103.1.2不定積分的基本公式和運(yùn)算法則一、不定積分的基本公式由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。因此，有一個(gè)導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對(duì)應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式。8/17/202411不定積分的基本公式8/17/202412不定積分性質(zhì)1.(

f(x)dx)

f(x)或d

f(x)dx

f(x)dx2.F

(x)dx

F(x)

C

或

dF(x)

F(x)

C8/17/202413二、不定積分的運(yùn)算法則1.

af(x)dx

a

f(x)dx2.[f(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx8/17/202414例3.1.18/17/2024153.2不定積分的計(jì)算利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計(jì)算不定積分，有時(shí)很困難，因此，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法：換元積分法與分部積分法8/17/2024163.2.1換元積分法

通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q,使復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的積分,稱為換元積分法8/17/202417一、第一類換元積分法（湊微分法）例3.2.18/17/202418第一類換元積分法步驟如下：8/17/202419例3.2.28/17/202420解68/17/202421解78/17/202422解88/17/202423解98/17/202424續(xù)8/17/202425*思考題：8/17/202426解18/17/202427解28/17/202428解38/17/202429解48/17/202430總結(jié)如下：8/17/202431二、第二類換元積分法第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個(gè)較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式，但是，有時(shí)不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個(gè)代換x

(t)，而積分

f(x)dx

f[

(t)]

(t)dt可用基本積分公式求解8/17/202432定理2設(shè)f(x)連續(xù),x

(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù),且其導(dǎo)數(shù)

(t)

0,x

(t)的反函數(shù)t

–1(x)存在且可導(dǎo),并且

f[

(t)]

(t)dt

F(t)

C,則

f(x)dx

F[

–1(x)]

C8/17/202433例3.2.3*8/17/202434解18/17/202435解28/17/202436解38/17/202437特例用尤拉代換計(jì)算解：8/17/202438解48/17/202439解58/17/202440解68/17/202441解78/17/202442解88/17/202443解98/17/202444解108/17/202445三.

幾個(gè)積分公式：8/17/202446續(xù)8/17/2024473.2.2分部積分法(integrationbyparts)如果u

u(x)與v

v(x)都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積的微分公式d(uv)

vdu

udv

移項(xiàng)得udv

d(uv)

vdu從而

udv

uv

vdu這個(gè)公式叫作分部積分公式,當(dāng)積分

udv不易計(jì)算，而積分

vdu

比較容易計(jì)算時(shí)，就可以使用這個(gè)公式。8/17/202448例3.2.4*8/17/202449解1uvuv8/17/202450解2uvuv8/17/202451解38/17/202452解48/17/202453解58/17/202454另解58/17/202455解68/17/202456解78/17/202457總結(jié)8/17/2024583.2.3*

有理函數(shù)積分簡(jiǎn)介有理函數(shù)總可以寫成兩個(gè)多項(xiàng)式的比其中n為正整數(shù),m為非負(fù)整數(shù),a0

0,b0

0,設(shè)分子與分母之間沒(méi)有公因子,當(dāng)n＞m時(shí),叫做真分式;當(dāng)m

n時(shí),叫做假分式,假分式可以用除法把它化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和。8/17/202459例3.2.5*8/17/202460解18/17/202461解28/17/202462解38/17/202463續(xù)8/17/202464總結(jié)“積不出”的積分：8/17/2024653.2.4*

積分表的使用例3.2.68/17/202466P112四6(13)8/17/202467P112四8(3)8/17/202468解法二8/17/2024693.3定積分在初等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)求有規(guī)則的圖形面積，如三角形、圓形、多邊形的面積，但是對(duì)無(wú)規(guī)則封閉曲線圍成的平面圖形面積如何計(jì)算，就是定積分解決的問(wèn)題。計(jì)算這類平面圖形的面積，最終歸結(jié)為求特定結(jié)構(gòu)的和式極限。定積分在科學(xué)技術(shù)和醫(yī)藥等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)將研究它的概念、性質(zhì)、計(jì)算及其應(yīng)用。8/17/2024703.3.1定積分的概念我們先介紹曲邊梯形的概念，然后由求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程入手，引出定積分的概念。8/17/202471一、曲邊梯形的面積設(shè)y

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(x)

0,則由直線x

a,x

b,x軸及曲線y

f(x)所圍成的圖形aMNb稱做曲邊梯形(curvilineartrapezoid)。8/17/202472abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積。abxyo（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）8/17/202473觀察下列演示過(guò)程,注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí),矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。播放8/17/202474曲邊梯形如圖所示在[a,b]內(nèi)插入n

1個(gè)分點(diǎn)：a

x0<x1<x2<…<xi

1<xi<…<xn

1<xn

b。將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間[xi

1,xi],長(zhǎng)度為

xi

xi

xi

1,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)

i(xi

1

i

xi)。以[xi

1,xi]為底,f(

i)為高的小矩形面積為：Ai

f(

i)

xiabxyo8/17/202475曲邊梯形面積的近似值當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度，趨近于零(

0)時(shí)，曲邊梯形面積為：8/17/202476二、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度v

v(t)是時(shí)間間隔[T1,T2]上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù),且v(t)0,求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程。思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值。8/17/202477（1）分割：T1

t0<t1<t2<…<tn

1<tn

T2（2）取近似：（3）求和：（路程的精確值）（4）取極限：部分路程值某時(shí)刻的速度8/17/202478三、定積分的定義設(shè)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]內(nèi)任意插入n

1個(gè)分點(diǎn)：a

x0<x1<…<xi

1<xi<…<xn

b。將[a,b]分成n個(gè)長(zhǎng)度為：

xi

xi

xi

1(i

1,2,…,n)的小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi

1,xi]上任取一點(diǎn)

i(xi

1

i

xi),作和式：不論小區(qū)間如何劃分以及

i如何選取,只要

0時(shí)有同一極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。8/17/202479積分上限積分下限積分和被積表達(dá)式被積函數(shù)積分變量記作：[a,b]積分區(qū)間8/17/202480根據(jù)定積分定義：曲邊梯形面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程8/17/202481關(guān)于定積分定義，有幾點(diǎn)注明：1)定積分是一個(gè)和式的極限，是唯一的一個(gè)數(shù)，它只與被積函數(shù)和積分上、下限有關(guān)，與積分變量無(wú)關(guān)。即8/17/2024822)為了定積分定義的完整性，規(guī)定：3)可積性：被積函數(shù)在積分區(qū)間有界是可積的必要條件，連續(xù)函數(shù)是定積分存在的充分條件8/17/2024834)定積分的幾何意義。f(x)>0，為曲線y

f(x)和x軸及兩條直線x

a、x

b所圍曲邊梯形面積f(x)<0，是一個(gè)負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值為曲線y

f(x)和x軸及兩條直線x

b、x

c所圍曲邊梯形面積一般地，定積分為曲線y

f(x)和x軸及兩條直線x

a、x

d所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和8/17/202484舉例：用定義求定積分y

x2在[0,1]上連續(xù)，

定積分存在。故可將[0,1]區(qū)間n等份：0

x0<x1<…<xi<…<xn

1，且取小區(qū)間的右端點(diǎn)。8/17/2024853.3.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f1(x)

f2(x)在[a,b]上也可積,且性質(zhì)2若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,則cf(x)在[a,b]也可積,c為任意常數(shù),且8/17/202486性質(zhì)3若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,且a<c<b

則注：可以證明如果c在[a,b]之外,此性質(zhì)也成立8/17/202487性質(zhì)4若f(x)和g(x)在[a,b]上都可積，并有f(x)

g(x),則推論1設(shè)m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則8/17/202488性質(zhì)5（積分中值定理）若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)

,使思考：這個(gè)性質(zhì)的幾何意義是？8/17/202489證性質(zhì)5由f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可知，在[a,b]上一定有最大值M、最小值m

，再由本章推論1可知：再由在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性可知在[a,b]上至少存在一點(diǎn)

，使得：8/17/2024903.4定積分的計(jì)算3.4.1微積分基本定理一、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.定理3：

(x)

f(x)1.函數(shù)的定義：8/17/202491例3.4.18/17/202492例3.4.28/17/202493例3.4.3解：該極限為0/0型不定式，據(jù)洛必達(dá)法則知8/17/202494二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式，它是用求原函數(shù)的方法計(jì)算定積分的數(shù)值．定理4若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且F(x)是[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則8/17/202495例3.4.48/17/2024963.4.2

定積分的換元積分法一.

定積分的換元積分法定理5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);函數(shù)x

(t)在區(qū)間[

,

]上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)

(t)。當(dāng)t在區(qū)間[

,

]上變化時(shí),x

(t)的值在區(qū)間[a,b]上變化,且有

(

)

a,

(

)

b,則8/17/202497證明：由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)的一個(gè)原函數(shù)存在，則有：由于

(t)連續(xù),f(

(t))

(t)在[

,

]上連續(xù),從而有原函數(shù)存在,由于F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),F(

(t))也是f(

(t))

(t)的一個(gè)原函數(shù),由定理4有8/17/202498例3.4.58/17/202499例3.4.6思考：幾何意義？8/17/2024100思考：錯(cuò)在哪里？8/17/2024101例3.4.7

設(shè)f(x)是相應(yīng)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),證明(2)若f(x)是偶函數(shù),則(1)若f(x)是奇函數(shù),則思考：幾何意義？8/17/2024102證：8/17/20241033.4.3定積分的分部積分法例3.4.88/17/20241043.4.4定積分的應(yīng)用一、微元法在應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為定積分。定積分的定義導(dǎo)出有四步：

1.分割

2.近似替代

3.求和

4.取極限8/17/2024105具體問(wèn)題只要抓住如下兩步便可：1.在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x，在區(qū)間[x,x

dx]作微元dA

f(x)dx,使得：

A

dA

o(

x)2.對(duì)[a,b]上每一點(diǎn)x的微元無(wú)限累加，即這種通過(guò)微元簡(jiǎn)化定積分定義的過(guò)程的作法稱為微元法。8/17/2024106o(

x)8/17/2024107例3.4.9已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度是v(t),計(jì)算從時(shí)刻a到時(shí)刻b物體運(yùn)動(dòng)的路程。解：(1)在[a,b]上任取一時(shí)刻t，則時(shí)刻t到t

dt時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程微元

ds

v(t)dt

（路程

速度

時(shí)間）(2)所求路程是各微元從a到b的無(wú)限累加求和，也就是微元ds從a到b的定積分8/17/2024108二、平面圖形的面積1.沿x軸積分8/17/20241092.沿y軸積分8/17/2024110例3.4.10求由兩條曲線y

x2與x

y2圍成的平面圖形面積。x

x解：兩條曲線的交點(diǎn)是(0,0)、(1,1)8/17/2024111例3.4.11求拋物線y2

2x及直線y

x

4所圍成圖形的面積。8/17/20241128/17/2024113將y作為積分變量,沿y軸積分。8/17/2024114三、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看成由一個(gè)平面圖形繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積，叫旋轉(zhuǎn)體(volumesofrevolution)。例如矩形繞它一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周便得到圓柱體，直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)便得圓錐體等等。8/17/2024115繞x軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：y

f(x),x

a,x

b,y

0繞x軸旋轉(zhuǎn)xy

f(x)abyxx

dx1111111118/17/2024116繞y軸旋轉(zhuǎn)曲邊梯形：x

f-1(y),x

0,y

c,y

d

繞y軸旋轉(zhuǎn)8/17/2024117例3.4.12求橢圓上半部與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積。解：橢圓上半部的方程為8/17/2024118例3.4.13求由拋物線y

x2及直線x

2,x軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積解：設(shè)所求體積為V，V

圓柱體體積

(y

x2繞y軸旋轉(zhuǎn)成的體積)8/17/2024119四、平面曲線弧長(zhǎng)設(shè)y

f(x)在[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f

(x),求曲線在[a,b]上的弧長(zhǎng)。用微元法,在[a,b]上取小區(qū)間[x,x

dx],相應(yīng)地截取一小段弧AD,過(guò)A作切線AC,則BC

dy,若dx很小,則AC

AD,而8/17/2024120例3.4.14證明半徑為a的圓的周長(zhǎng)為2

a。解：設(shè)半徑a的圓的方程為x2

y2

a2,則8/17/2024121五、變力所作的功我們知道一個(gè)常力F將物體沿力的方向從點(diǎn)a移到點(diǎn)b,所做的功W

F(b

a)。如何求變力F(x)將物體沿力的方向從點(diǎn)a移到點(diǎn)b所做的功W？在[a,b]內(nèi)任取一點(diǎn)x,小區(qū)間[x,x

dx]上功的微元dW

F(x)dx8/17/2024122例3.4.15底半徑為3m,高為2m的園錐形水池裝滿了水,欲將池水全部抽出,需作多少功。解：8/17/2024123六、定積分在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用例3.4.16在測(cè)定病人胰島素時(shí),先讓病人禁食以達(dá)到降低體內(nèi)血糖水平,然后通過(guò)給病人注射大量的糖，假設(shè)測(cè)得病人血液中胰島素的濃度c(t)(單位/ml)符合分段函數(shù)其中K

(ln2)/10,時(shí)間t的單位為分鐘,試求血液中胰島素在一小時(shí)內(nèi)的濃度變化的平均值。8/17/2024124解：由函數(shù)的平均值公式，有8/17/2024125例3.4.17假定長(zhǎng)為L(zhǎng),半徑為R

的一段血管,左端為相對(duì)動(dòng)脈管,其血壓為p1,右端為相對(duì)靜脈管,血壓為p2,且p1>p2。若血管某截面上某一點(diǎn)與血管中心距離為r,其流速v(r)其中

為血液黏滯系數(shù),求單位時(shí)間內(nèi),通過(guò)該截面的血流量Q。8/17/20241268/17/2024127解：將半徑為R的截面圓上,求出通過(guò)截面的某個(gè)圓環(huán)的血流量

Q的近似值。在[0,R]上任取一點(diǎn)r,在[r,r

r]上圓環(huán)面積近似值為2

r

r,所以在單位時(shí)間內(nèi),區(qū)間上的血流量微元是dQ

v(r)2

r

r8/17/2024128課堂練習(xí)*8/17/2024129思考橢圓繞x軸與繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的體積是否相同，為什么？8/17/20241303.5廣義積分在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說(shuō)的定積分了。因此，我們對(duì)定積分作如下兩種推廣，從而形成“廣義積分”的概念。無(wú)窮區(qū)間上廣義積分無(wú)界函數(shù)的廣義積分8/17/20241318/17/20241323.5.1無(wú)窮區(qū)間上廣義積分定義4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)內(nèi)連續(xù),b是[a,

)內(nèi)任一實(shí)數(shù),若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)內(nèi)的廣義積分,記做并稱此時(shí)廣義積分收斂,否則,若不存在,則稱此時(shí)廣義積分發(fā)散。8/17/2024133同樣可定義在區(qū)間(

,

b]上的廣義積分f(x)在區(qū)間(

,

)上的廣義積分,如果對(duì)任意實(shí)數(shù)C,廣義積分都收斂,則稱廣義積分收斂或存在,否則稱為發(fā)散。8/17/2024134例3.5.1計(jì)算廣義積分8/17/2024135這個(gè)廣義積分值的幾何意義是：當(dāng)a

,b

時(shí),雖然圖中陰影部分向左、右無(wú)限延伸,但面積卻有極限值

。簡(jiǎn)單地說(shuō),它是位于曲線的下方,x軸上方的圖形面積。8/17/2024136例3.5.2討論廣義積分?jǐn)可⑿浴?/17/20241373.5.2*

無(wú)界函數(shù)的廣義積分8/17/2024138定義5設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù),且如果對(duì)于任意

>0,極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分,記為并稱此時(shí)廣義積分收斂,否則就說(shuō)廣義積分發(fā)散,其中a稱為瑕點(diǎn),此積分也稱為瑕積分。8/17/2024139同樣,若設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù),且任取

>0,則定義廣義積分8/17/2024140若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)除