高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（三）

清華中學(xué)高二寒假作業(yè)(三)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知點(diǎn)4(2,TH),8(3,3),直線4B的斜率為1,那么血的值為()

A.1B.2C.3D.4

2.下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)集｛1,357｝是一樣的

B.數(shù)列B2,3與數(shù)列3,2,1是相同的

C.數(shù)列口+；｝是遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛1+『｝是擺動(dòng)數(shù)列

3.已知三棱柱48。一公當(dāng)。1，點(diǎn)P為線段々Ci的中點(diǎn)，則存=()

A.海+而+:麗B,AB+^AC+^AAi

C.^AB+^AC-AAiD.^AB+^AC+AA1

4.已知△ABC的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)B(—4,0),C(4,0),則頂點(diǎn)4的軌跡方程是()

A三"=B.E+^=l(y#0)

36203)2036U,

C.H+^=l(y40)D.次+藝=l(y#o)

620U'206VZ7

5.下列四個(gè)說(shuō)法：

①若向量伍、石、引是空間的一個(gè)基底，則自+京a-b>可也是空間的一個(gè)基底.

②空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量.

③若兩條不同直線I,m的方向向量分別是五、b，貝打〃mo五〃丸

④若兩個(gè)不同平面a,0的法向量分別是汰v,且過(guò)=(1,2,—2),v=(-2,-4,4)>

則a〃仇

其中正確的說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

6.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4(0,2),8(4,6),且圓心C在直線I:2x—y-3=0上，則圓C的方

程為()

A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0

C.x2+y2—6x—6y+8=0D.x2+y2—2x+2y—56=0

7.已知橢圓C：9+/=i,過(guò)點(diǎn)P&T)的直線與橢圓。相交于4,B兩點(diǎn)，且弦AB被

點(diǎn)P平分，則直線4B的方程為()

A.9x—y-4=0B.9%+y-5=0

C.4x+2y-3=0D.4x—2y—1=0

8.原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫(xiě)的儲(chǔ)物粗談”記載：“端午時(shí)，

貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲(chóng)如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小

組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”，畫(huà)法如下：在水平直線1上取長(zhǎng)度為1的線段4B,

做一個(gè)等邊三角形4BC,然后以點(diǎn)B為圓心，力8為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線，恰有21個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總

長(zhǎng)度的最小值為()

A.31(hrB.34(hrC.93(hrD.1()20TT

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.在空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，以下結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)4(1,3,-4)關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,一3,4)

8.點(diǎn)「(-1,2,3)關(guān)于%0丫平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2,-3)

C.已知點(diǎn)4(—3,1,5)與點(diǎn)8(431),則4B的中點(diǎn)坐標(biāo)是弓，2,3)

D.兩點(diǎn)用(一1,1,2),以1,3,3)間的距離為3

10.下列說(shuō)法中，正確的有()

A.過(guò)點(diǎn)P(l,2)且在x,y軸截距相等的直線方程為x+y-3=0

B.直線y=3x-2在V軸上的截距為一2

C.直線x-V3y+1=0的傾斜角為60°

D.過(guò)點(diǎn)(5,4)并且傾斜角為90。的直線方程為5=0

11.已知方程m/+ny2=1,其中巾2+n2=0,貝￡)

第2頁(yè)，共22頁(yè)

A.mn>0時(shí)，方程表示橢圓

B.7nn<0時(shí)，方程表示雙曲線

C.n=0時(shí)，方程表示拋物線

D.n>m>0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在%軸上的橢圓

12.設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn,若存在實(shí)數(shù)4使得對(duì)任意neN*,都有|5日|<4則

稱數(shù)列｛%?｝為“7數(shù)列”.則以下結(jié)論正確的是（）

A.若｛%｝是等差數(shù)列，且%>0,公差d<0,則數(shù)列｛即｝是“T數(shù)列”

B.若是等比數(shù)列，且公比q滿足|q|<l，則數(shù)列｛%?｝是“7數(shù)列”

C.若斯=麗瑞4，則數(shù)列｛即｝是“7數(shù)列”

D.若冊(cè)=喘三，則數(shù)列｛?。恰?數(shù)列

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.點(diǎn)（1,1）到直線x+y+1=0的距離為.

14.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為%,且20=1。，S20=30,則S30=.

15.在直三棱柱ABC一4當(dāng)酊中，Z.BAC=90°,=A1B1=4?=4,點(diǎn)E是棱Cg

上一點(diǎn)，且蜉則異面直線為B與AE所成角的余弦值為

Cc3

發(fā)出的光線FP經(jīng)拋物線y2=2px反射后，沿PN平行射出，4FPN的角平分線PM所

在的直線方程為2x+y-12=0,則拋物線方程為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（4,4）.

（I）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（口）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M點(diǎn)是PF的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.

18.已知圓C：x2+y2—2x+ay+1=0(aGR),圓心C在直線3x—y=0上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求直線，：x-y=0被圓C截得的弦48的長(zhǎng).

19.記多是等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，若55=-35,S7=-21.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式，并求治的最小值；

(2)設(shè)b=|冊(cè)］,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和

20.如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成.已

知隧道總寬度AD為6百m，行車道總寬度BC為2VHm,側(cè)墻高E4FD為2m,弧

頂高M(jìn)N為5m.

第4頁(yè)，共22頁(yè)

M

(1)以EF所在直線為r軸，MN所在直線為U軸，1m為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐

標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)在豎直方向上的高度之

差至少為0.5m,問(wèn)車輛通過(guò)隧道的限制高度是多少？

21.如圖，在四棱錐P-ZBCD中，底面/BCD是矩形,P41

平面力BCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD上一點(diǎn),

且BM1PD.

(1)證明：CD1面PAD；

(2)求點(diǎn)M到平面PAC的距離；

(3)求二面角B-AM-C的余弦值.

22.已知圓。：/+y2=2交工軸于M,N兩點(diǎn),過(guò)以MN為長(zhǎng)軸，離心率為苧的橢圓C的

左焦點(diǎn)尸的直線/交橢圓。于4B,分別交y軸和圓。于P,H.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若同=sX?，而=t而求證：s+t為定值;

(3)過(guò)原點(diǎn)。作直線Z的垂線交直線x=-2于點(diǎn)K.試探究：當(dāng)點(diǎn)4在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不

與M,N重合)，直線HK與圓。是否保持相切？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

第6頁(yè)，共22頁(yè)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分

本題考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用直線的斜率公式求解即可.

【解答】

解：由于4(2,m),B(3,3),直線4B的斜率為1,

3-my

???------=1,

3-2

???771=2,

故選B.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)列要求按一定順序排列，判斷4和B，根據(jù)作差法比較相鄰兩項(xiàng)的大小，判斷C,

由擺動(dòng)數(shù)列的定義判斷D.

本題考查數(shù)列的定義，涉及數(shù)列的分類，屬于一般題.

【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,數(shù)列要求按一定順序排列，集合的元素具有無(wú)序性，兩者不一樣，A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,數(shù)列要求按一定順序排列，兩個(gè)數(shù)列不一樣，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)列｛1+：｝,有(1+3-(1+去)=忌—＞0,是遞減數(shù)列，C錯(cuò)誤；

7171/ITX十JL)

對(duì)于C,數(shù)列｛1+平｝中，奇數(shù)項(xiàng)即＜1,偶數(shù)項(xiàng)即＞1,是擺動(dòng)數(shù)列，。正確；

故選：D.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求出向量存即可.

【解答】

解:：如圖不：。

A

B：----P------G

三棱柱點(diǎn)P為線段B1G的中點(diǎn)，

則而=不瓦，BC=B^C[,用=時(shí)=押的',

AP=44；+&戶=AA[+&B；+,8道；

]

=AAi+AB+-（BA+AC）

=萍+萍+可，

故選：D.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

△ABC^\AB\+14cl=12>\BC\=8,知點(diǎn)4的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，去掉與x

軸的交點(diǎn)，由橢圓的定義可求出a、b的值，從而得A的軌跡方程.

【解答】

解：根據(jù)題意，AABC中，|CB|=8,△ABC的周長(zhǎng)為20,

\AB\+\AC\=12,且|4B|+\AC\>\BC\,

???頂點(diǎn)4的軌跡是以C、B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉與％軸的交點(diǎn)，

第8頁(yè)，共22頁(yè)

???2a=12,2c=8,

;Q=6,c=4,

b2=a2-c2=62-42=20,

???頂點(diǎn)4的軌跡方程為蘭+竺=1（其中yH0）,

3620

故答案選：A.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了向量基底的定義、共面向量的定義、利用空間向量判斷空間線面關(guān)系，考查

了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

利用向量基底的定義、共面向量的定義、空間線面關(guān)系即可判斷出結(jié)論.

【解答】

解：①若向量｛五、石、可是空間的一個(gè)基底，貝怔與乙方不共面，由平面向量基本定理，

方+瓦方一石與五,石共面，則方+瓦方一方與E不共面，則陽(yáng)+石、a-b＞選也是空間的一

個(gè)基底，①正確.

②空間的任意兩個(gè)向量都是共面向量，②正確.

③若兩條不同直線，，m的方向向量分別是五、6，貝九〃m=五//B，③正確.

④易知萬(wàn)=一2正，則a〃口,④正確.

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是4.

故選D.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查圓的一般方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

求出線段4B的中垂線方程與直線I聯(lián)立求出圓心，從而求出半徑，從而得到圓的方程.

【解答】

解：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),直線的斜率為七8=三=1,

直線4B的中垂線的方程為：y-4=-(x-2),即x+y-6=0,

所以d「3==°(y解得仁*所以圓C的圓心為(3,3),

半徑r=7(3-0)2+(3-2)2=V10,

所以圓C的方程為(x-3)2+(y-3)2=10,即M+y2-6x-6y+8=0,

故選C.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的直線方程，屬于中檔題.

先設(shè)Z(xi，yi),F(x2,y2),因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在橢圓上，可把4B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方

程，兩方程作差再利用點(diǎn)P(T，3是4B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，即可求直線4B的斜率，代入點(diǎn)斜

式可求直線AB的方程.

【解答】

解：設(shè)4B(x2,y2').

因?yàn)辄c(diǎn)4B在橢圓上，

2

所以募+"=1,①

卷+潺=1.②

①一②，得(…尸)+(%1+小)(/_&)=0?③

因?yàn)镻C，3是線段4B的中點(diǎn)，

所以％1+&=1，丫1+%=1，

代入③得登=-9,即直線AB的斜率為一9.

第10頁(yè)，共22頁(yè)

故直線4B的方程為y-1=-9(x-|),

整理得9x+y—5=0.

故選艮

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前71項(xiàng)和公式，考查了分析求解能力.

根據(jù)畫(huà)圓弧的規(guī)律，分別以B,C,4為圓心，抽象半徑長(zhǎng)度的等差數(shù)列，明確直線與圓

弧的交點(diǎn)情況，再根據(jù)當(dāng)“螺旋蚊香”與直線，恰有有21個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若使“螺旋蚊香”

的總長(zhǎng)度的最小，明確數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，求得最后圓弧的半徑即可.

【解答】

解：由等邊三角形4BC的邊長(zhǎng)為1,內(nèi)角為全可得弧4。

的長(zhǎng)為拳弧。E的圓心角為拳半徑為2,弧DE的長(zhǎng)為拳

再以4為圓心，4E長(zhǎng)為半徑，畫(huà)圓弧可得弧長(zhǎng)為等，

由條件可知，所有的弧長(zhǎng)依次構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)和公差均為年的等差數(shù)列.

當(dāng)以B為圓心時(shí)，半徑分別為1,4,7,10,除起點(diǎn)外，都與直線，無(wú)交點(diǎn)，

當(dāng)以C為圓心時(shí)，半徑分別為2,5,8,11,…，各與直線]有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)以4為圓心時(shí)，半徑分別為3,6,9,12,除終點(diǎn)外，都與直線/無(wú)交點(diǎn)，

當(dāng)“螺旋蚊香”與直線/恰有21個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若使“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度最小，則完成整

數(shù)個(gè)循環(huán)，所以以B為圓心的弧與直線2只有交點(diǎn)4,以C為圓心的弧與直線I有10個(gè)交點(diǎn),

以4為圓心的弧與直

線/有10個(gè)交點(diǎn)，最后一個(gè)圓弧的半徑為3+3x(10-1)=30,

“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度的最小值為/=[x2兀x(1+2+3+…+30)=5x2兀x

以為=310m

2

故選A.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱點(diǎn)、中點(diǎn)以及兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)各選項(xiàng)中設(shè)計(jì)的相關(guān)概念即可判斷正誤.

【解答】

解：點(diǎn)4(1,3,-4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,—3,4),故A錯(cuò)誤；

點(diǎn)P(-1,2,3)關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(—1,2,—3),故B正確；

由4(一3,1,5),8(431),

得4B的中點(diǎn)坐標(biāo)是(辭，詈，等)

即4B的中點(diǎn)坐標(biāo)是僧,2,3),故C正確；

兩點(diǎn)”(一1,1,2),2(1,3,3)間的距離為：|"%|=J(-l-1尸+(1-3尸+(2—3尸=3.

故。正確.

故選BCD.

10.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查直線方程基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，及直線方程的幾種表達(dá)形式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)直線方程的幾種形式，逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】

解：對(duì)4：過(guò)點(diǎn)P(l,2)且在x,y軸截距相等的直線方程，

要分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為2x-y=0;

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為x+y—3=0,所以A錯(cuò)誤.

對(duì)B：直線y=3%—2在y軸上的截距，令x=0,得y=-2,

所以直線y=3%-2在y軸上的截距為一2,所以B正確.

對(duì)C:直線x-V3y+1=0的斜率為弓，設(shè)傾斜角為a，

第12頁(yè)，共22頁(yè)

則txncTT),所以a=30。，所以C錯(cuò)誤.

3

對(duì)D：過(guò)點(diǎn)(5,4)并且傾斜角為90。，斜率不存在，

所以直線方程為x=5,即5=0,所以。正確.

故選8￡).

11.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

依據(jù)m、n的取值，結(jié)合圓錐曲線的方程逐一分析選項(xiàng)即可得解.

【解答】

解：若7n<0,n<0,則+ny?=1不表示橢圓，故A錯(cuò)誤；

42y2

若m>0,n<0,則h-1=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，

mn

y242

若?nV0,九>0,則=一二=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故8正確；

nm

當(dāng)n=0時(shí)，則由題意機(jī)力0,則方程表示兩條垂直于x軸的直線，故C錯(cuò)誤；

11%?y2

7i>m>0時(shí)，0<-<一,丁+丁=1表示焦點(diǎn)在久軸上的橢圓，￡>正確.

nmmn

故選：BD.

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題是新定義題，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和，以及裂項(xiàng)相消求和等知識(shí)，屬于

較難題目.

寫(xiě)出該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)合“T數(shù)列”的定義判斷4寫(xiě)出該等比數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)

合“7數(shù)列”的定義判斷B：利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C；寫(xiě)出又的表達(dá)式，當(dāng)n無(wú)限增

大時(shí)，|S”|也無(wú)限增大判斷。.

【解答】

解：在4中，若｛%是等差數(shù)列，且的>0,公差d<0,則Sn=京2+(%-號(hào)九，當(dāng)n無(wú)

限增大時(shí)，|S"也無(wú)限增大,所以數(shù)列｛%｝不是“T數(shù)列”，故4錯(cuò)誤.

在B中,因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列,且公比q滿足|q|<l,

所以隔|=|普卜島一普卜島|+匿|<2島］,所以數(shù)列｛總是“7數(shù)

列”，故B正確.

在C中，因?yàn)?=n(n：；)2+i=焉一(n+i；2"+i'所以

111111

1nl11x212x222x223x23n-2n(n+1)-2n+11

=匕一行訴I<4所以數(shù)列｛an｝是“7數(shù)列”，故c正確?

在。中，因?yàn)榧?舟？=；(1+去三)，

所以S"=；(n+|+菽3+右+???+/),當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，IS"也無(wú)限增大，所

以數(shù)列｛即｝不是“7數(shù)列”，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

13.【答案】也

2

【解析】

【分析】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由題意利用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算求得結(jié)果.

【解答】

第14頁(yè)，共22頁(yè)

解：點(diǎn)(1,1)到直線x+y+l=O的距離為^^=誓，

故答案為：出.

2

14.【答案】60

【解析】

【分析】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是對(duì)性質(zhì)的理解與運(yùn)用.

由給出的數(shù)列是等差數(shù)列，可知數(shù)列的第一個(gè)10項(xiàng)和，第二個(gè)10項(xiàng)和，…仍然構(gòu)成等差

數(shù)列，結(jié)合Sio=lO,S20=30,列式求解S30的值，屬基礎(chǔ)題.

【解答】

解：?.?數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，

則Si。，520—Si。，S30-S20仍然構(gòu)成等差數(shù)列,

由Si。=10,S20=30,

得2X2O=1O+S3O-3O,

S30=60.

故答案為60.

15.【答案】這

10

【解析】

【分析】

本題考查利用空間向量求解空間角，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題.

以&為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以4B1，4品，所在直線為％,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

求出項(xiàng)與荏的坐標(biāo)，可求出異面直線4B與4E所成角的余弦值.

【解答】

解：以公為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AiCi，4〃所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則GE=1,又44=&Bi=41cl=4,

.?.4(0,0,0),B(4,0,4).4(0,0,4),￡(0,4,1),

布=(4,0,4)，AE=(0,4,-3)，

由題意，際〈項(xiàng)，荏＞g需g田口當(dāng)

16.【答案】y2=4x

【解析】

【分析】

設(shè)PM,PN的夾角為6,因?yàn)镻N〃x軸，所以演時(shí)=tan（2兀-0）=-2,則tan。=2,根

據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出直線PF的斜率，由此求出直線PF的方程，并與直線PM聯(lián)立

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求出p的值，進(jìn)而可以求解.

本題考查了拋物線的方程，涉及到角平分線的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

【解答】

解：設(shè)PM,PN的夾角為。，因?yàn)镻N〃x軸，

所以/CPM=tan（2?r—0）=-2,則tan。=2,

因?yàn)镻M為z”N的角平分線，所以NFPN=20,

所以kpF=tan（2?！?0）=—tan29=?2f.=

'l-tan201-223

所以直線PF的方程為：丫=其為-§，與直線2x+y—12=0聯(lián)立方程可得：

%=￡+孩,y=手，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為d詈,手），

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程可得：p=2或-48（舍去），

所以拋物線的方程為：y2=4x,

故答案為：y2=4%.

第16頁(yè)，共22頁(yè)

17.【答案】解：(I)由拋物線焦點(diǎn)F在x軸上，且過(guò)點(diǎn)(4,4),

設(shè)拋物線方程y2=2Px(p>0).

將點(diǎn)(4,4),代入拋物線方程，16=2x4p,解得：p=2,

二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程/=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)(1,0);

(11)設(shè)”(％①,Pg,%),F(l,0),M點(diǎn)是PF的中點(diǎn),

則+1=2x,0+y0=2y,

(x=2%—1

lyoQ=2y,

P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，yg=4x0>代入得(2y)2=4(2%-1),

???點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x-l.

【解析】本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查待定

系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題.

(I)設(shè)拋物線方程y2=2px(p>0),將點(diǎn)(4,4),代入即可求得拋物線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(n)M點(diǎn)是PF的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得匕°;：：一1,代入拋物線方程，求得點(diǎn)M

的軌跡方程.

18.【答案】解：(1)由圓C：%2+y2-2x+ay+1=0(ae/?),

得圓心坐標(biāo)為C(l,-9

再由圓心在直線3x—y=0時(shí)，

得3x1-(一1)=0,即a=—6.

二圓C的一般方程為好+y2—2%—6y+1=0,

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-I)2+(y-3)2=9；

(2)由(1)得，圓心C(l,3),半徑r=3,

圓心C到直線x-y=0的距離d=1n=V2,

V1十(一刀

則直線/：x-y=0被圓C截得的弦4B的長(zhǎng)為|4B|=2Vr2-d2

=2J32—(V2)2=2V7-

【解析】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.

(1)由圓的一般方程求得圓心坐標(biāo)，代入已知直線方程可得a值，得到圓的一般方程，配

方可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求出圓心到直線，的距離，再由垂徑定理求弦長(zhǎng).

19.【答案】解：(1)設(shè)｛斯｝的公差為d，則5%+要d=-35,7a1+￡d=-21,

:.%=-15,d=4,:.an=-15+4(n—1)=4n—19.

1Q

由。?=4n-19>。得ri>—,

An=1,2,3,4時(shí)41V0,nN5時(shí)、an>0,

sn的最小值為$4=4%+等4=-36.

(2)由(1)知，當(dāng)nW4時(shí),bn=|an|=-an;

nN5時(shí)，bn=\an\=an,

Sn=nax+。d=2n2—17n,

2

當(dāng)n<4時(shí)，Tn=-Sn=17n—2n.

2

當(dāng)n》5時(shí)，Tn=Sn-2S4=2n-17n+72,

.1_(17n—2n2,n<4,

"n~l2n2-17n+72.n>5/

【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意列方程求的,d,即可求解通項(xiàng)，根據(jù)n=l,2,3,4時(shí)an<0,nN5時(shí)，

an>0,可求S”的最小值；

(2)由(1)知，當(dāng)nW4時(shí)，%=|4|=一即；兀25時(shí)，bn=|an|=an,分情況求解數(shù)列

｛b｝的前n項(xiàng)和明.

20.【答案】解：(1)以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以為單位長(zhǎng)度建

立平面直角坐標(biāo)系，

則E(-3b,0),F(3V3,0).M(0,3),

由于所求圓的圓心在y軸上，

第18頁(yè)，共22頁(yè)

所以設(shè)圓的方程為(x-O)2+(y-b)2=r2,

因?yàn)镕,M在圓上，

所以仲③2+^2=/

郎以1。2+(3—6)2=/

解得6=-3,r2=36,

所以圓弧所在的圓的方程為/+(y+3)2=36.

(2)設(shè)限高為八，作CP14D,交圓弧于點(diǎn)P,

貝=八+0.5,

將P的橫坐標(biāo)X=VTT代入圓的方程，

得(VIT)2+(y+3)2=36，

得y=2或y=-8(舍)，

所以八=\CP\-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).

答：車輛通過(guò)隧道的限制高度是3.5米.

【解析】此題考查利用待定系數(shù)法求圓的方程，及利用圓的方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，屬

于中檔題.

(1)以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)

系.設(shè)圓的方程為(x—0)2+(丁一。)2=產(chǎn)，通過(guò)尸，M在圓上，求出b、r的值，得到

圓的方程.

(2)設(shè)限高為九，作CP1AD,交圓弧于點(diǎn)P,則|CP|=八+0.5,將P的橫坐標(biāo)x=VTT代

入圓的方程，求出y,然后求出限高.

21.【答案】(1)證明：?,?PA1平面ABCD,P4u平面PAD,.?.平面以4D，平面ABCD,

???底面NBCD是矩形，:CDLAD,

又CDu平面ABCD,平面PADn平面A8CD=AD,

CDl.W\PAD；

(2)解：由(1)知，平面PADJ■平面4BCD,

???底面ABC。是矩形，BA1AD,

又BAu平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,

???84_L面PAD,又PDu面PAD,則BAJLPD,

又BM工PD,BA(\BM=B,BA,BMu平面力BM,

?,.PD平面ABM,AMu平面4BM,則P。1AM,

-PA=AD9則M為PD的中點(diǎn)，

_1_1

^M-PAC=2%-PAC=2KP-ACD

=-xixix4x2x4=",

2323

x22

又S〉PAC=|V4+2x4=4V5,

設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為九，則［SAP"x/i=ix4V5x/i=1,

解得h=巫,

5

(3)解：PAL^ABCD,AB1AD,則ZP,AB,AD兩兩垂直,

以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),M(0,2,2),

AM=(0,2,2),AB=(2,0,0)，AC=(2,4,0),

設(shè)平面4MB的一?個(gè)法向量為記=(x,y,z),

m-AM=2y+2z=0_得沅(；

則t=1(=0,1,7

m-AB=2x=0

設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為記=(%i，yi，Zi),

n-AM—2yi+2z=0??.f.?.,、

則一一八1取zi=-l,W43n=(-2,1,-1).

,n-AC=2xx+4yl=0

,―>.、mn2V3

:，cos<m,n>=——=L廣——?

|?n|-|n|V2-V63

由圖可知，二面角B-AM—C為銳二面角,

故二面角B—AM—C的余弦值為多

第20頁(yè)，共22頁(yè)

【解析】(1)由P41平面2BCD,得平面PAD1平面4BCD,結(jié)合底面ZBCD是矩形，可

得CDl^PAD；

(2)由(1)知，平面2