中考動點問題經典題型歸類總結附答案

專題十動點型問題考點一：建立動點問題的函數解析式（或函數圖像）例1（2013?蘭州）如圖，動點P從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B后，立即按原路返回，點P在運動過程中速度不變，則以點B為圓心，線段BP長為半徑的圓的面積S與點P的運動時間t的函數圖象大致為（）A． B． C． D．解：不妨設線段AB長度為1個單位，點P的運動速度為1個單位，則：

（1）當點P在A→B段運動時，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；

（2）當點P在B→A段運動時，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．

綜上，整個運動過程中，S與t的函數關系式為：S=π（t-1）2（0≤t≤2），

這是一個二次函數，其圖象為開口向上的一段拋物線．結合題中各選項，只有B符合要求．

故選B．1．（2013?白銀）如圖，⊙O的圓心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分線上運動，且⊙O與∠α的兩邊相切，圖中陰影部分的面積S關于⊙O的半徑r（r＞0）變化的函數圖象大致是（）A．B． C．D．1．C考點二：動態(tài)幾何型題目動態(tài)幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值。（一）點動問題．例2（2013?河北）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12動點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個單位長的速度運動到點B停止．設運動時間為t秒，y=S△EPF，則y與t的函數圖象大致是（）A． B． C． D．思路分析：分三段考慮，①點P在AD上運動，②點P在DC上運動，③點P在BC上運動，分別求出y與t的函數表達式，繼而可得出函數圖象．解：在Rt△ADE中，AD=，在Rt△CFB中，BC=，

①點P在AD上運動：

過點P作PM⊥AB于點M，則PM=APsin∠A=t，

此時y=EF×PM=t，為一次函數；

②點P在DC上運動，y=EF×DE=30；

③點P在BC上運動，過點P作PN⊥AB于點N，則PN=BPsin∠B=（AD+CD+BC-t）=，

則y=EF×PN=，為一次函數．

綜上可得選項A的圖象符合．

故選A．對應訓練2．（2013?北京）如圖，點P是以O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB=2．設弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（）A． B． C． D．2．A（二）線動問題例3（2013?荊門）如右圖所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動直線l垂直于BC，且向右平移，設掃過的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關于x的函數圖象大致是（）A． B． C． D．解：①當直線l經過BA段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越快；

②直線l經過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度保持不變；

③直線l經過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越??；

結合選項可得，A選項的圖象符合．

故選A．對應訓練3．（2013?永州）如圖所示，在矩形ABCD中，垂直于對角線BD的直線l，從點B開始沿著線段BD勻速平移到D．設直線l被矩形所截線段EF的長度為y，運動時間為t，則y關于t的函數的大致圖象是（）A． B． C． D．3．A（三）面動問題例4（2013?牡丹江）如圖所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t，大正方形內去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應為（）

A． B． C． D．解：根據題意，設小正方形運動的速度為V，分三個階段；

①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，

②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，

③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，

分析選項可得，A符合；

故選A．對應訓練4．（2013?衡陽）如圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設穿過時間為t，正方形除去圓部分的面積為S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（）A． B． C． D．4．A考點三：雙動點問題例5（2013?攀枝花）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B（10，0），C（7，4）．直線l經過A，D兩點，且sin∠DAB=．動點P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．

（1）點A的坐標為，直線l的解析式為；

（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；

（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；

（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線l相交于點N，試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．思路分析：（1）利用梯形性質確定點D的坐標，利用sin∠DAB=特殊三角函數值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標；由點A、點D的坐標，利用待定系數法求出直線l的解析式；

（2）解答本問，需要弄清動點的運動過程：

①當0＜t≤1時，如答圖1所示；

②當1＜t≤2時，如答圖2所示；

③當2＜t＜時，如答圖3所示．

（3）本問考查二次函數與一次函數在指定區(qū)間上的極值，根據（2）中求出的S表達式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值；

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解．解：（1）∵C（7，4），AB∥CD，

∴D（0，4）．

∵sin∠DAB=，

∴∠DAB=45°，

∴OA=OD=4，

∴A（-4，0）．

設直線l的解析式為：y=kx+b，則有

，

解得：k=1，b=4，

∴y=x+4．

∴點A坐標為（-4，0），直線l的解析式為：y=x+4．

（2）在點P、Q運動的過程中：

①當0＜t≤1時，如答圖1所示：

過點C作CF⊥x軸于點F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．

過點Q作QE⊥x軸于點E，則BE=BQ?cos∠CBF=5t?=3t．

∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，

S=PM?PE=×2t×（14-5t）=-5t2+14t；

②當1＜t≤2時，如答圖2所示：

過點C、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為F，E，

則CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，

S=PM?PE=×2t×（16-7t）=-7t2+16t；

③當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，

即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=．

當2＜t＜時，如答圖3所示：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，

S=PM?MQ=×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①當0＜t≤1時，S=-5t2+14t=-5（t-）2+，

∵a=-5＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當0＜t≤1時，S隨t的增大而增大，

∴當t=1時，S有最大值，最大值為9；

②當1＜t≤2時，S=-7t2+16t=-7（t-）2+，

∵a=-7＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線t=，

∴當t=時，S有最大值，最大值為；

③當2＜t＜時，S=-14t+32

∵k=-14＜0，

∴S隨t的增大而減?。?/p>

又∵當t=2時，S=4；

當t=時，S=0，

∴0＜S＜4．

綜上所述，當t=時，S有最大值，最大值為．

（4）△QMN為等腰三角形，有兩種情形：

①如答圖4所示，點M在線段CD上，

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，

由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=；

②如答圖5所示，當點M運動到C點，同時當Q剛好運動至終點D，

此時△QMN為等腰三角形，t=．

故當t=或t=時，△QMN為等腰三角形．對應訓練5．（2013?長春）如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發(fā)，沿B-A-D-A運動，沿B-A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A-D-A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點

B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．連結PQ．

（1）當點P沿A-D-A運動時，求AP的長（用含t的代數式表示）．

（2）連結AQ，在點P沿B-A-D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數關系式．

（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結BR，如圖②．在點P沿B-A-D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．

（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

5．解：（1）當點P沿A-D運動時，AP=8（t-1）=8t-8．

當點P沿D-A運動時，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．

（2）當點P與點A重合時，BP=AB，t=1．

當點P與點D重合時，AP=AD，8t-8=50，t=．

當0＜t＜1時，如圖①．

作過點Q作QE⊥AB于點E．

S△ABQ=AB?QE=BQ×12，

∴QE==．

∴S=-30t2+30t．

當1＜t≤時，如圖②．

S=AP×12=×(8t-8)×12，

∴S=48t-48；

（3）當點P與點R重合時，

AP=BQ，8t-8=5t，t=．

當0＜t≤1時，如圖③．

∵S△BPM=S△BQM，

∴PM=QM．

∵AB∥QR，

∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，

在△BPM和△RQM中

，

∴△BPM≌△RQM．

∴BP=RQ，

∵RQ=AB，

∴BP=AB

∴13t=13，

解得：t=1

當1＜t≤時，如圖④．

∵BR平分陰影部分面積，

∴P與點R重合．

∴t=．

當＜t≤時，如圖⑤．

∵S△ABR=S△QBR，

∴S△ABR＜S四邊形BQPR．

∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．

綜上所述，當t=1或時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分．

（4）如圖⑥，當P在A-D之間或D-A之間時，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，

∴∠C′OQ=∠OQC．

∵△C′OQ≌△COQ，

∴∠C′OQ=∠COQ，

∴∠CQO=∠COQ，

∴QC=OC，

∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，

解得：t=7或t=．

當P在A-D之間或D-A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖⑦．

同理由菱形的性質可以得出：OD=PD，

∴50-5t+13=8（t-1）-50，

解得：t=．

∴當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC．中考真題演練一、選擇題1．（2013?新疆）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為t秒（0≤t＜6），連接DE，當△BDE是直角三角形時，t的值為（）A．2 B．2.5或3.5C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.51．D2．（2013?安徽）圖1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y與x滿足的反比例函數關系如圖2所示，等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點，M為EF的中點，則下列結論正確的是（）A．當x=3時，EC＜EMB．當y=9時，EC＞EMC．當x增大時，EC?CF的值增大D．當y增大時，BE?DF的值不變2．D3．（2013?盤錦）如圖，將邊長為4的正方形ABCD的一邊BC與直角邊分別是2和4的Rt△GEF的一邊GF重合．正方形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿GE向右勻速運動，當點A和點E重合時正方形停止運動．設正方形的運動時間為t秒，正方形ABCD與Rt△GEF重疊部分面積為s，則s關于t的函數圖象為（）A．B．C．D．3．B4．（2013?龍巖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（0，2），B（0，6），動點C在直線y=x上．若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．54．B5．（2013?武漢）如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．5．6、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D，E分別在AC，BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE，DF，EF．在此運動變化的過程中，下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形，③DE長度的最小值為4；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為8．其中正確的結論是（） A、①②③ B、①④⑤①③④ D、③④⑤7．（2013?連云港）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（8，0）、（0，6）．動點Q從點O、動點P從點A同時出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連接CD、QC．

（1）求當t為何值時，點Q與點D重合？

（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數關系式，并求S的最大值；

（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t的取值范圍．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），

∴OA=8，OB=6，

∴AB==10，

∴cos∠BAO=，sin∠BAO=．

∵AC為⊙P的直徑，

∴△ACD為直角三角形．

∴AD=AC?cos∠BAO=2t×=t．

當點Q與點D重合時，OQ+AD=OA，

即：t+t=8，

解得：t=．

∴t=（秒）時，點Q與點D重合．

（2）在Rt△ACD中，CD=AC?sin∠BAO=2t×t．

①當0＜t≤時，

DQ=OA-OQ-AD=8-t-t=8-t．

∴S=DQ?CD=（8-t）?t=-t2+t．

∵-=，0＜＜，

∴當t=時，S有最大值為；

②當＜t≤5時，

DQ=OQ+AD-OA=t+t-8=t-8．

∴S=DQ?CD=（t-8）?t=t2-t．

∵-=，＜，所以S隨t的增大而增大，

∴當t=5時，S有最大值為15＞．

綜上所述，S的最大值為15．

（3）當CQ與⊙P相切時，有CQ⊥AB，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，

∴△ACQ∽△AOB，

∴，，

解得t=．

所以，⊙P與線段QC只有一個交點，t的取值范圍為0＜t≤或＜t≤5．8．（2013?宜昌）半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，⊙O與l相切于點F，DC在l上．

（1）過點B作的一條切線BE，E為切點．

①填空：如圖1，當點A在⊙O上時，∠EBA的度數是；

②如圖2，當E，A，D三點在同一直線上時，求線段OA的長；

（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖3），至邊BC與OF重合時結束移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍．

7．解：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，當點A在⊙O上時，過點B作的一條切線BE，E為切點，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，

∴∠EBA的度數是：30°；

②如圖2，

∵直線l與⊙O相切于點F，

∴∠OFD=90°，

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，

∵OF=AD=2，

∴四邊形OFDA為平行四邊形，

∵∠OFD=90°，

∴平行四邊形OFDA為矩形，

∴DA⊥AO，

∵正方形ABCD中，DA⊥AB，

∴O，A，B三點在同一條直線上；

∴EA⊥OB，

∵∠OEB=∠AOE，

∴△EOA∽△BOE，

∴，

∴OE2=OA?OB，

∴OA（2+OA）=4，

解得：OA=-1±，

∵OA＞0，∴OA=-1；

方法二：

在Rt△OAE中，cos∠EOA=，

在Rt△EOB中，cos∠EOB=，

∴，

解得：OA=-1±，

∵OA＞0，∴OA=-1；

方法三：

∵OE⊥EB，EA⊥OB，

∴由射影定理，得OE2=OA?OB，

∴OA（2+OA）=4，

解得：OA=-1±，

∵OA＞0，

∴OA=-1；

（2）如圖3，設∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），

S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時，S扇形MON最大，

當∠MON取最小值時，S扇形MON最小，

如圖，過O點作OK⊥MN于K，

∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

在Rt△ONK中，sin∠NOK=，

∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，

∴當MN最大時∠MON最大，當MN最小時∠MON最小，

①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，MN=BD，

∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），

②當MN=DC=2時，MN最小，

∴ON=MN=OM，

∴∠NOM=60°，

S扇形MON最小=π（cm2），

∴π≤S扇形MON≤π．

故答案為：30°．9．（2013?重慶）已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．

（1）求△AED的周長；

（2）若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動，得到△A0E0D0，當A0D0與BC重合時停止移動，設運動時間為t秒，△A0E0D0與△BDC重疊的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）如圖②，在（2）中，當△AED停止移動后得到△BEC，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉α（0°＜α＜180°），在旋轉過程中，B的對應點為B1，E的對應點為E1，設直線B1E1與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q．是否存在這樣的α，使△BPQ為等腰三角形？若存在，求出α的度數；若不存在，請說明理由．

8．解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC=6．

在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，

∴AE=AD?cos30°=3，DE=AD?sin30°=3，

∴△AED的周長為：6+3+3=9+3．

（2）在△AED向右平移的過程中：

（I）當0≤t≤1.5時，如答圖1所示，此時重疊部分為△D0NK．

∵DD0=2t，∴ND0=DD0?sin30°=t，NK=ND0?tan30°=t，

∴S=S△D0NK=ND0?NK=t?t=t2；

（II）當1.5＜t≤4.5時，如答圖2所示，此時重疊部分為四邊形D0E0KN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，

∴A0N=A0B=6-t，NK=A0N?tan30°=（6-t）．

∴S=S四邊形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=-t2+2t-；

（III）當4.5＜t≤6時，如答圖3所示，此時重疊部分為五邊形D0IJKN．

∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，

∴A0N=A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B?cos30°=（6-t）；

易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，

S=S梯形BND0I-S△BKJ=[t+（2t-6）]?（6-t）-?（12-2t）?（12-2t）=-t2+20t-42．

綜上所述，S與t之間的函數關系式為：

S=．

（3）存在α，使△BPQ為等腰三角形．

理由如下：經探究，得△BPQ∽△B1QC，

故當△BPQ為等腰三角形時，△B1QC也為等腰三角形．

（I）當QB=QP時（如答圖4），

則QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，

即∠BCB1=30°，

∴α=30°；

（II）當BQ=BP時，則B1Q=B1C，

若點Q在線段B1E1的延長線上時（如答圖5），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，

即∠BCB1=75°，

∴α=75°．10．（2013?吉林）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A、B同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P沿A

F

D的方向運動到點D停止；點Q沿BC的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動．在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN．設平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm2）（這里規(guī)定線段是面積為0有幾何圖形），點P運動的時間為x（s）

（1）當點P運動到點F時，CQ=cm；

（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；

（3）當點P在線段FD上運動時，求y與x之間的函數關系式．

11．解：（1）當點P運動到點F時，

∵F為AC的中點，AC=6cm，

∴AF=FC=3cm，

∵P和Q的運動速度都是1cm/s，

∴BQ=AF=3cm，

∴CQ=8cm-3cm=5cm，

故答案為：5．

（2）設在點P從點F運動到點D的過程中，點P落在MQ上