27.3 垂徑定理（解析版）

27.3垂徑定理1.經(jīng)歷探索圓的軸對稱性的過程2.探索并掌握垂徑定理及其逆定理3.會運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決一些簡單的幾何問題知識點(diǎn)一圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，每一條過圓心的直線都是它的對稱軸知識點(diǎn)二垂徑定理1.定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧注意：垂徑定理的條件有兩個(gè):一是直徑,二是垂直,簡稱“垂徑”.結(jié)論有兩條:平分弦，平分弦所對的弧2.符號語言3.圖形4.垂徑定理相關(guān)概念分一條弧成相等的兩條弧的點(diǎn)，叫做這條弧的中點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別為和的中點(diǎn)圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距，如圖所示，OE的長就是弦AB的弦心距.拓展定理中的“垂直于弦的直徑”可以是直徑，可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段垂徑定理揭示了直徑、弦、弧三者之間的關(guān)系，是證明線段相等、弧相等、兩線段垂直的重要依據(jù)(3)由于垂直于弦的直徑平分弦,故可以在圓中構(gòu)造直角三角形利用勾股定理列方程求相關(guān)線段的長5.弦長、弦心距與半徑的公式在垂徑定理的運(yùn)用中，常涉及弦長a,弦心距d,半徑r,及弓形高h(yuǎn)這四者之間的關(guān)系.有兩個(gè)公式需要熟知并運(yùn)用：公式1：公式2：即學(xué)即練1⊙O的弦AB的長為8cm，弦AB的弦心距為3cm，則⊙O的直徑為（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理即可求得AC的長，連接OC，在直角△AOC中根據(jù)勾股定理即可求得半徑OA的長，則直徑即可求解．【詳解】解：連接OC，∵OC⊥AB，∴AC=12在直角△AOC中，OA=所以直徑為10，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的基本知識.此類試題屬于難度較大的試題，考生在解答此類試題時(shí)一定要對直角三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)牢牢把握.即學(xué)即練2如圖是一個(gè)半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，AB=10米，OE⊥CD(1)求CD的長：(2)如果水位以0.4米/小時(shí)的速度上升，則經(jīng)過多長時(shí)間橋洞會剛剛被灌滿？【答案】(1)8米(2)經(jīng)過5小時(shí)橋洞會剛剛被灌滿【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理可得CE=ED，勾股定理求得CE=4，進(jìn)而求得CD=8；（2）延長OE交⊙O于點(diǎn)F，由（1）求得OE=3，進(jìn)而求得EF【詳解】（1）解：如圖，連接OC，∵OE⊥∴CE=ED，∵OE:CD=3:8，∴OE:CE=3:4，設(shè)OE=3k,CE=4k，在Rt△CEO中，∴CO=5k，∵直徑AB是河底線，AB=10，∴CO=5，解得k=1，∴CE=4，OE=3，∴CD=8米，（2）如圖，延長OE交⊙O于點(diǎn)F由（1）可得OE=3，∴EF=OF∵水位以0.4米小時(shí)的速度上升，∴2÷即經(jīng)過5小時(shí)橋洞會剛剛被灌滿．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)二垂徑定理的逆定理1.垂徑定理的逆定理1平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的弧數(shù)學(xué)符號語言表述為:2.垂徑定理的逆定理2平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦數(shù)學(xué)符號語言表述為:歸納:一條直線如果具有①經(jīng)過圓心;②垂直于弦:③平分弦(被平分的弦不是直徑)④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧，這五條中的任意兩條那么必然具備其余的三條.簡記“知二推三”即學(xué)即練1如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，OE=12，CD=26，那么弦AB的長為(

)

A．5 B．10 C．12 D．13【答案】B【分析】連接OA，由垂徑定理可得AB⊥CD，AO=13，【詳解】如圖，連接OA，

∵CD=26,∴AO=13，由垂徑定理可得AB⊥CD，Rt△OAE中，13解得：AE=5∴AB=10，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．題型一利用垂徑定理求值例1如圖，⊙O的半徑OF⊥弦AB于點(diǎn)E，C是⊙O上一點(diǎn)，AB=12，CE的最大值為18，則EF的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】連接OA，根據(jù)垂徑定理得AE=12AB=6，設(shè)半徑為r，根據(jù)當(dāng)C，O，E在同一條直線上時(shí)CE最長得到EF=2r-18【詳解】解：如圖，連接OA，

∵⊙O的半徑OF⊥弦AB于點(diǎn)E，∴AE=設(shè)半徑為r，可知當(dāng)C，O，E在同一條直線上時(shí)CE最長，即CE=OC+OE=18，∴r+r-∴EF=2r-在Rt△AOE中，由勾股定理得∴r-解得r=10，∴EF=2r故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理得AE=1舉一反三1如圖，OA是⊙O的半徑，弦BC⊥OA于點(diǎn)D，連接OB．若⊙O的半徑為5cm，BC的長為8cm，則OD的長是【答案】3【分析】根據(jù)垂徑定理可得AD的長，根據(jù)勾股定理可得結(jié)果．【詳解】解：∵BC⊥∴BD=1∴OD=O故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理．垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條?。e一反三2如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD交CD于點(diǎn)E，將⊙O沿弦AB折疊，點(diǎn)C恰好落在OD的中點(diǎn)，若OE=2，則弦AB為（

A．15 B．30 C．215 D．【答案】D【分析】連接OB，令OD的中點(diǎn)為F，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=EF，OF=DF，即可求得OF=22，根據(jù)垂徑定理可得AE=BE，勾股定理可求得BE=【詳解】解：連接OB，令OD的中點(diǎn)為F，如圖：

∵將⊙O沿弦AB折疊，點(diǎn)C恰好落在OD的中點(diǎn)F∴CE=EF，OF=DF，又∵EF=EO+OF=2∴CF=2EF=22則DC=CF+DF=22又∵DC=2OD=4OF，∴22∴OF=22故OD=2OF=42∵CD為⊙O的直徑，弦AB∴AE=BE，在Rt△OBE中，∴AB=2BE=230故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二利用垂徑定理求平行弦問題例2如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】連接OF，過點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計(jì)算．【詳解】如圖，連接OF，過點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=12∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【分析】分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD、AB的交點(diǎn)為M、N，可知OM⊥CD，CM=MD=12CD=4cm，AN=BN=12AB=3cm，在Rt△BON中，由勾股定理得ON=OB2-BN2，解得ON的值，在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=OD2-DM【詳解】解：分兩種情況求解：①如圖1，寬度為8cm的油面CD，作ON⊥AB與CD由題意知OM⊥CD，CM=MD=在Rt△BON在Rt△DOM∴MN=ON②如圖2，寬度為8cm的油面EF，作PN⊥EF與AB、EF由題意知PN⊥AB，EP=PF=在Rt△BON在Rt△EPO∴NP=ON+OP=7cm∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對兩種情況全面考慮．舉一反三2如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點(diǎn)F，與CD交于點(diǎn)E，已知⊙O半徑為5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的長；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得AF=1（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長，設(shè)EF=BF=x，在Rt△【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵EF⊥∴AF=1∵AO=5，∴OF=A∵AB//CD，∴EF⊥同理DE=1OE=O∴EF=OF+OE=4+3=7；（2）如圖，連接BO和DO，∵CD=46∴DE=26∴OE=O設(shè)EF=BF=x，則OF=x-在Rt△OBF中，x-12+x∴BF=4，∴AB=2BF=8．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進(jìn)行運(yùn)用求解．題型三利用垂徑定理求同心圓問題例3如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：AC=BD．(2)若AC=2,BC=4，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為17【分析】（1）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為CD和（2）連接OC,OA，由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的長，在Rt△【詳解】（1）證明：過O作OE⊥由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE-∴AC=BD.（2）解：連接OC,OA，如圖2，∵AC=2,BC=4，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE-在Rt△AOE中，由勾股定理可得在Rt△COE中，由勾股定理可得∴OC=17，即小圓的半徑r為17【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．舉一反三1如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為2和4，矩形ABCD的邊AB和CD分別是兩圓的弦，則矩形ABCD面積的最大值是．【答案】16【分析】過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出S△AOD=12S矩形APND=1【詳解】解：過點(diǎn)O作OP⊥AB于P并反向延長交CD于N，作OM⊥AD于點(diǎn)M，連接OA、OD∴AO=2，OD=4，四邊形APND和四邊形PBCN為矩形，PN⊥CD，∴OM=AP根據(jù)垂徑定理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)N分別為AB和CD的中點(diǎn)，∴S矩形APND=12∵△AOD的高OM等于矩形APND的寬，△AOD的底為矩形APND的長∴S△AOD=12S矩形APND=1∴S矩形ABCD最大時(shí)，S△AOD也最大過點(diǎn)D作AO邊上的高h(yuǎn)，根據(jù)垂線段最短可得h≤OD（當(dāng)且僅當(dāng)OD⊥OA時(shí)，取等號）∴S△AOD=12AO·h≤12AO·OD=故S△AOD的最大值為4∴S矩形ABCD的最大值為4÷14故答案為：16．【點(diǎn)睛】此題考查的是垂徑定理、各圖形面積的關(guān)系和三角形面積的最值問題，掌握垂徑定理、利用邊的關(guān)系推導(dǎo)面積關(guān)系和垂線段最短是解決此題的關(guān)鍵．舉一反三2如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE則r2解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．題型四利用垂徑定理求解其他問題例4如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)AB，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,4，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A．-1,2 B．1,-1 C．-1,1 D．2,1【答案】C【分析】連接AC，作線段AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接AC，作線段AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)H即為圓心．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,4，∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是-1,1故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。┦墙忸}的關(guān)鍵．舉一反三1垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段和角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問題提供了方法和依據(jù)．下列可以運(yùn)用垂徑定理解決問題的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過圓心作弦的垂線，則可運(yùn)用垂徑定理解決問題，從而對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：可以運(yùn)用垂徑定理解決問題的圖形是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．舉一反三2如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為圓上一點(diǎn)，AD=DF，過點(diǎn)C作CH∥AF交AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)(1)求證：CD=CH．(2)若CG=2GH，AB=10，求AF．【答案】(1)見解析(2)AF=【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出AC=AD，進(jìn)而得出AC=DF，再根據(jù)“弧，弦，圓心角之間的關(guān)系”得出（2）作OM⊥AF，可知AM=12AF，根據(jù)“弦，弧，圓心角之間的關(guān)系”得AF=CD，進(jìn)而得出CH=CD=AF，設(shè)GH=a，表示CG，AF，再表示CE=DE，然后根據(jù)勾股定理得GE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴AC=∵DF=∴AC=∴∠FAD=∵CH∥∴∠FAD=∴∠CHD=∴CD=CH；（2）過點(diǎn)O作OM⊥則AM=1∵AC=∴AF=∴AF=CD．∵CH=CD，∴CH=CD=AF，∵CG=2GH，可設(shè)GH=a，則CG=2a，AF=CD=CH=3a，∵AB為⊙O的直徑，CD∴CE=DE=3由勾股定理可得GE=C∵CH∥AF，∴∠FAO=∠CGB∴cos∠即32解得a=5∴AF=3a=5【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于圓的綜合問題，考查了垂徑定理，勾股定理，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，解直角三角形，兩直線平行，同位角相等，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．題型五垂徑定理的推論例5如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)O，A，B，C在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

(1)過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心M坐標(biāo)為（______，______）；(2)請通過計(jì)算判斷點(diǎn)D3,-5與⊙M【答案】(1)1，-(2)點(diǎn)D在⊙M【分析】（1）連接AB，AC，分別作AB，AC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)M，就是過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心，有圖形可得M的坐標(biāo)；（2）分別求出MD和MB的長度進(jìn)行比較即可作出判斷．【詳解】（1）解：如圖，連接AB，AC，分別作AB，AC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)M，∴M是過A，B，C

∴M故答案為：1，-2（2）∵M(jìn)1,-2，∴MD=1-∴MD>MB∴點(diǎn)D在⊙M【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理推論，勾股定理，平面坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)垂徑定理得出圓心位置是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三1如圖，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB=8cm，CD=2cm，則⊙O的半徑=【答案】5【分析】利用垂徑定理的推論可知，OC垂直平分AB，得到AD=4cm，設(shè)OA=OC=acm，利用勾股定理列方程求解，即可求出⊙O【詳解】解：如圖，連接OA，∵OC為半徑，AB是⊙O的弦，C是弧∴OC垂直平分AB∵AB=8cm∴AD=設(shè)OA=OC=acm，則OD=OA-由勾股定理得：OA∴a解得：a=5，即⊙O的半徑=5cm故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論和勾股定理，能熟記垂徑定理的推論是解題關(guān)鍵．舉一反三2有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弧所對的弦相等；③圓中90°的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角所對的弧長相等；⑤一條弦平分另一條弦，則垂直于這條弦．其中正確的是（）（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】利用垂徑定理及與圓有關(guān)的性質(zhì)定理，可判斷結(jié)論的正誤，進(jìn)而確定正確結(jié)論的個(gè)數(shù)．【詳解】解：①正確；②能夠重合的弧叫做等弧，等弧所對的弦相等；故②正確；③圓中90°④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧長相等；故④錯(cuò)誤；⑤平分弦的直徑，垂直于這條弦，故⑤錯(cuò)誤；因此正確的結(jié)論是①②；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)圓的題目，需掌握垂徑定理以及其他與圓有關(guān)的性質(zhì)定理．題型六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例6圖1是車載手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2是其正面示意圖，其中OA，OB，OC為伸縮桿，其中OA=OB=OC，支架最大寬度AB=10cm，支架的高為10cm，則△ABC外接圓O的半徑為cm，當(dāng)一部寬為8cm的手機(jī)置于支架中，如圖3，此時(shí)手機(jī)夾臂收縮，手機(jī)托下移，手機(jī)伸縮桿的移動距離相同（BG=AE=CF），形成的△EFG外接圓的圓心為點(diǎn)P，若OGGE=5

【答案】254【分析】延長CO與AB交于點(diǎn)D，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得AD=BD=12AB=12×10=5，OD⊥AB，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理即可求解得到半徑；延長CO與AB交于點(diǎn)D，與GE交于點(diǎn)H，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得AD=BD=12AB=12×10=5，OD⊥AB，GH=HE=【詳解】解：延長CO與AB交于點(diǎn)D，如圖：

根據(jù)題意可得，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于OC對稱，∴AD=BD=12AB=設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=CD在Rt△ADO中，即10-解得：r=25延長CO與AB交于點(diǎn)D，與GE交于點(diǎn)H，連接PE，如圖：

根據(jù)題意可得，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于OC對稱，點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于OC對稱，∴AD=BD=12AB=GH=HE=12GE=∵BG=AE，OB=OA，∴OG=OE，又∵OGGE∴OG=OE=5，又∵OB=OA=25∴BG=AE=25即CF=5∴OF=OC+CF=25在Rt△OHE中，設(shè)OP=a，則PH=PO+OH=a+3，PF=OF-在Rt△PHE中，即152解得：a=125即OP的值為12584故答案為：254，125【點(diǎn)睛】本題考查了對稱的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為24m，拱頂高出水面8m（即CD=8m

(1)求出該圓弧形拱橋所在圓的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬10m，船艙高出水面7.5【答案】(1)該圓弧形拱橋所在圓的半徑為13米(2)此貨船不能順利通過這座橋【分析】（1）連接OA，根據(jù)垂徑定理得出AD=12AB=12m，設(shè)OA=OC=r，則OD=r-（2）易得OD=OC-CD=5米，構(gòu)造如圖所示矩形MEFN，OM連接，推出MH=12MN=5米，根據(jù)勾股定理可得OH=【詳解】（1）解：連接OA，

∵AB=24m，OC⊥∴AD=1設(shè)OA=OC=r，∵CD=8m，∴OD=r在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可得：即122解得：r=13，答：該圓弧形拱橋所在圓的半徑為13米．（2）解：∵r=13米，CD=8m，∴OD=OC-構(gòu)造如圖所示矩形MEFN，OM連接，當(dāng)EF=MN=10m時(shí)，∵OC⊥∴OC⊥∴MH=1根據(jù)勾股定理可得：OH=O∴DH=OH-∵7<7.5，∴此貨船不能順利通過這座橋．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解得的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．舉一反三2根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何確定拱橋形狀？問題背景河面上有一座拱橋，對它的形狀，同學(xué)們各抒己見．有同學(xué)說拱橋的形狀是拋物線，也有同學(xué)說是面?。疄榇_定狀橋的形狀，九年級綜合實(shí)踐小組開展了一次探究活動．

素材1在正常水位時(shí)，小組成員對水面寬度和拱頂離水面的距離進(jìn)行了測量并繪制了下圖．測得水面寬AB為16m，拱頂離水面的距離CD為4

素材2大雨過后，水位上漲．小組成員再對水面寬度和拱頂離水面的距離進(jìn)行了兩次測量．發(fā)現(xiàn)當(dāng)水面寬為12m時(shí)，水位（相對正常水位）上漲1.9m；當(dāng)水面寬8m素材3如何檢驗(yàn)探究過程中提出的假設(shè)是否符合實(shí)際情況呢？定義：離差平方和是實(shí)際觀測值與預(yù)測值之間差的平方和，反映了基于假設(shè)算得的預(yù)測值與實(shí)際觀測值之間的差異．離差平方和越小，說明預(yù)測值與實(shí)際觀測值之間的誤差越小，提出的假設(shè)與實(shí)際情況更為接近問題解決假設(shè)1小組成員首先假設(shè)拱橋形狀是拋物線．根據(jù)素材1建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求該拋物線的解析式．

假設(shè)2小組成員又提出拱橋形狀可能是圓?。埜鶕?jù)素材1求出該圓弧的半徑．分析判斷基于假設(shè)1和假設(shè)2，請分別計(jì)算水面寬12m和8m時(shí)水位上漲的預(yù)測值，直接填入下表（數(shù)據(jù)保留兩位小數(shù)），并結(jié)合素材3分別求出兩種假設(shè)下數(shù)據(jù)的離差平方和，判斷拱橋更接近哪一種形狀．（參考數(shù)據(jù)：水面寬12水面寬8水位上漲的實(shí)際觀測值（m）1.903.10假設(shè)1的預(yù)測值（m）3.00假設(shè)2的預(yù)測值（m）2.00【答案】假設(shè)1，y=-116【分析】根據(jù)題意，分別求得拋物線的解析式，基于假設(shè)1和假設(shè)2，請分別計(jì)算水面寬12m和8m時(shí)水位上漲的預(yù)測值，進(jìn)而根據(jù)離差平方和的定義，進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

∵測得水面寬AB為16m，拱頂離水面的距離CD為4m．∴B8,0設(shè)拋物線解析式為y=ax2+464a+4=0解得：a=∴拋物線解析式為y=假設(shè)2，如圖所示，設(shè)圓心O，連接OB,OD，

依題意，OD⊥AB，在Rt△OBD中，∴r解得：r=10∴該圓弧的半徑為10米對于拋物線，當(dāng)水面寬12m時(shí)，將x=6代入，y=-y=當(dāng)水面寬8m時(shí)，將x=4代入，y=-y=對圓弧，當(dāng)水面寬12m時(shí)，設(shè)EF=12，EF,OC交于點(diǎn)G，

則OD=10-在Rt△OEG設(shè)DG=x，則x+6解得：x=2（負(fù)值舍去）當(dāng)水面寬8m時(shí)，設(shè)EF=8，EF,OC交于點(diǎn)G，則OD=10-在Rt△OEG設(shè)DG=x，則x+6解得：x=221填表如下，水面寬12m水面寬8m水位上漲的實(shí)際觀測值（m）1.903.10假設(shè)1的預(yù)測值（m）1.753.00假設(shè)2的預(yù)測值（m）2.003.17根據(jù)離差平方和的定義，對于假設(shè)1，離差平方和為1.9對于假設(shè)2，離差平方和為1.9∵0.0149<0.0325∴拱橋更接近圓弧．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握掌握二次函數(shù)與垂徑定理是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎遗c弦是內(nèi)兩條互相垂直的弦，相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，圓的半徑為5，弦與弦長均為8，則的長是（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】利用垂徑定理先求出，，進(jìn)而證得四邊形是正方形，再利用勾股定理可以求出的長．【詳解】解：作于M，于N，連接，

∵，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，由勾股定理得：，∴四邊形是正方形，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸【答案】D【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)一定能作一個(gè)圓，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤，不符合題意；D、圓的直徑所在的直線是它的對稱軸，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)性質(zhì)及定義，難度不大．3．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，那么球的半徑長是(

)A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，利用垂徑定理，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，連接，∵，∴，∴，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．圓的任意一條直徑都是它的對稱軸C．等弧所對的圓心角相等 D．平分弦的直徑垂直于這條弦【答案】C【分析】根據(jù)確定圓的條件對A進(jìn)行判斷；根據(jù)圓的軸對稱性對B進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角定理對C進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對D進(jìn)行判斷．【詳解】A．不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故A是假命題；B．對稱是直線，而圓的直徑是線段，故B是假命題；C．弧相等，則弧所對的圓心角相等，故C是真命題；D．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故D是假命題．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題、真命題和假命題的概念，任何一個(gè)命題非真即假，要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．5．（2020·上?！ば？既＃┤鐖D，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）A．2 B．﹣1 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理可知∠COE=30°，CE=OC=1，再由垂徑定理可知CE=CD，即可求出CD的長．【詳解】解：∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，半徑為2，∴CE=OC=1，∴CE=CD，∴CD=2故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）水平放置的圓柱形油槽的圓形截面如圖2所示，如果該截面油的最大深度為分米，油面寬度為分米，那么該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為分米．

【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵分米，分米，∴分米，∴設(shè)分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為分米，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海楊浦·二模）如圖，已知在扇形中，，半徑，點(diǎn)在弧上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，那么線段的長為．【答案】【分析】連接，取中點(diǎn)E，連接，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，進(jìn)而可知點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，由圓周角定理可知，可知，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理得，，在中，，，可得．【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，又，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理得，，在中，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓的定義，圓周角定理，垂徑定理，含的直角三角形，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)定理得到點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）鏟車輪胎在建筑工地的泥地上留下圓弧形凹坑如圖所示，量得凹坑跨度為，凹坑最大深度為，由此可算得鏟車輪胎半徑為．【答案】【分析】先補(bǔ)全圖形，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理解答，即可．【詳解】解：如圖，將圓弧補(bǔ)全，連接，則點(diǎn)O，D，C三點(diǎn)共線，且，∴設(shè)半徑為R，則，根據(jù)勾股定理得：，解得：．即鏟車輪胎半徑為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上海·九年級專題練習(xí)）已知是⊙O的弦，如果⊙O的半徑長為5，長為4，那么圓心O到弦的距離是．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，由垂徑定理可得出的長，在Rt中，利用勾股定理及可求出的長．【詳解】如圖所示：過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，∵，∴，在Rt中，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，則這個(gè)花壇的面積為．（結(jié)果保留）【答案】400π【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，連接OB，如圖，∵AC=11，BC=21，∴AB=AC+BC=32，∵OD⊥AB于D，∴AD=BD=AB=16，∴CD=AD-AC=5，在Rt△OCD中，由勾股定理，得OD==12,在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB==20，∴這個(gè)花壇的面積=202π=