導(dǎo)數(shù)壓軸題中的先必要后充分講義 高三數(shù)學二輪專題復(fù)習

導(dǎo)數(shù)壓軸題中的先必要后充分試題:已知函數(shù).(1)當時,討論的單調(diào)性(略).(2)當時,,求的取值范圍.試題分析:試題以含參函數(shù)為載體,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,求參數(shù)取值范圍等導(dǎo)數(shù)中的熱點問題.突出對數(shù)學運算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)的考查.對于已知恒成立問題求參數(shù)的取值范圍,是?？碱}型,常用的解題策略可以是分離參數(shù)法,也可以直接對參數(shù)進行分類討論,還可以對取特殊值,代入不等式,得到參數(shù)的范圍,再證明該范圍對不等式恒成立(即先必要后充分).現(xiàn)采用先必要后充分解法如下.解析:取,得,所以.下證當時有,.當時,顯然不等式成立;當時,.轉(zhuǎn)化為證明,即證,即證.令.,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.所以,故.綜上,當時有.所以.試題反思:上述解題過程取,得到.這是如何想到呢?思路如下:將已知條件轉(zhuǎn)化成,進一步轉(zhuǎn)化成.記,.,令,,.在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞增,,所以,在上單調(diào)遞增.又,所以圖象如圖1所示.圖1設(shè)直線與曲線相切于點,則.即,即,即,整理得,由于(),所以,故.此時,代入直線得.這就是為什么要取的原因.因此,對于導(dǎo)數(shù)壓軸試題中的恒成立問題求參數(shù)取值范圍,如果采用先必要后充分的方法求解,必須先對取特殊值.如何找到這個特殊點?可以由題目條件所給不等式出發(fā),將該不等式重新組合,轉(zhuǎn)化成一個新的不等式,這個新的不等式左右兩邊對應(yīng)兩個曲線的函數(shù)表達式.假設(shè)這兩個曲線相切于點,利用導(dǎo)數(shù)求出此時的,則就是要找的特殊值.例1:已知函數(shù),若恒成立,求的取值范圍.思路分析:由可得.設(shè)直線與曲線相切于點.則,,由(2),(3)得.代入(1)得,所以或解析:取,得,解得.取,得,解得.所以.下證當時有.證明:即證.即證當時,當時,.令,轉(zhuǎn)化為證當時,;當時,;.當時,令,,在單調(diào)遞減,又,所以當時,,,單調(diào)遞增;當時,,,單調(diào)遞減;故最大值為,所以當時,.當時,.所以當時,單調(diào)遞減;當時,單調(diào)遞增;故最小值為,所以當時,.又當時,,所以當時,;當時,;綜上,.例2:已知函數(shù)，(1)求的極值;(略)(2)若，求正實數(shù)的取值范圍.思路分析:由得.設(shè)與相切于點.則...(1),...(2),..(3).將(2),(3)代入(1)得.故.解析:記,則，令得下證當時,當時，，記，，令得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，則，故綜上.例3:已知關(guān)于的不等式在時恒成立,求的取值范圍.思路分析:由已知條件可得.設(shè)與相切于點.則...(1)...(2).由(1)得,代入(2)得,,解得.解析:記,則,.令,得.下證當時有.證明:當時,.即.令,,.在單調(diào)遞增,,,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.所以,故,從而.綜上,.例4:已知函數(shù).當時,恒成立,求的取值范圍.思路分析:由得.設(shè)與相切于點.則...(1),...(2).將(2)代入(1)得,解得.解析:令得.下證當時有.證明:,,在單調(diào)遞增.,.記,.,在上單調(diào)遞增,,所以.故存在使得,且在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故.由得,解得.故.故.綜上.練習:已知函數(shù).(1)略.(2)若,求的取值范圍.思路分析:由得.設(shè)與相切于點.則...(1).…(2).將(2)代入(1)得…(3).由(2)得,即,代入(3)得.記,.,在上單調(diào)遞增.又,所以在上有唯一的零點1,故.解析:令得.由在上單調(diào)遞增,,得.下證當時.證明:因為,,當且僅當時取等號.所以當時,,即.雖然導(dǎo)數(shù)試題千變?nèi)f化,但是對于一些套路較為固定的題型,仍然可以從中把握試題背后的規(guī)律.對于此類先必要后充分中的取點探究,