北京市平谷區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性測(cè)試二模試題含解析

PAGE20-北京市平谷區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性測(cè)試（二模）試題（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故選C.2.若角的終邊在其次象限，則下列三角函數(shù)值中大于零的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)選項(xiàng)，再結(jié)合角的終邊所在象限即可作出推斷.【詳解】解：角的終邊在其次象限，＝＜0，A不符；＝＜0，B不符；＝＜0，C不符；＝＞0，所以，D正確故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)值的符號(hào)推斷，考查了誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．3.在下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)的奇偶性和值域?qū)x項(xiàng)進(jìn)行解除，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋蕿榉瞧娣桥己瘮?shù)，不符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，由于，所以的值域?yàn)椋项}意.對(duì)于C選項(xiàng)，，故的值域不為.對(duì)于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，不符合題意.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和值域，屬于基礎(chǔ)題.4.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（）．A.21 B.63 C.13 D.84【答案】B【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求，，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解可得，，，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.若拋物線y2＝2px（p＞0）上隨意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是（）A.p＜1 B.p＞1 C.p＜2 D.p＞【答案】D【解析】【分析】依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值，列不等式求解.【詳解】∵設(shè)P為拋物線的隨意一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線：x的距離，明顯當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值．∴，即p＞2．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)，依據(jù)幾何性質(zhì)解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的取值范圍問(wèn)題.6.已知，且則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特別值解除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明正確選項(xiàng).【詳解】取，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.取，則，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于在上遞減，而，所以，故C選項(xiàng)正確.取，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查比較大小，屬于基礎(chǔ)題.7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．8.設(shè)是向量，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的判定，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，推不出當(dāng)時(shí)，，則即“”是“”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了推斷必要不充分條件，屬于中檔題.9.溶液酸堿度是通過(guò)計(jì)算的，的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及的定義求得此時(shí)胃酸的值.【詳解】依題意.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若函數(shù)及的圖象與線段分別交于點(diǎn)，，且，恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，滿意．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，分別代入指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，求得的值，即可求解.【詳解】由題意知，且恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，把代入函數(shù)，即，解得，把代入函數(shù)，即，即得，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答嫻熟應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題11.如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則_______.【答案】【解析】由題意，依據(jù)復(fù)數(shù)的表示可知，所以．12.在中，，，，則__________；____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C的值，進(jìn)而依據(jù)正弦定理可得a的值．【詳解】∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cosC，∵C∈（0，π），∴C，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：，解得：a．故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)留意用哪一個(gè)定理更便利、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中假如邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.13.如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的值為________；當(dāng)點(diǎn)沿著，與邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為_________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出向量的點(diǎn)積，分狀況探討即可.【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0），O（1,0），B（2,0），設(shè)P（2，b），（1）＝；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，＝2；當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，設(shè)P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（，1）（0＜＜2）＝（2,0）（－1，1）＝2－2，因?yàn)?＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即綜上可知，的最小值為－2.故答案為-2.【點(diǎn)睛】(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合供應(yīng)了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)學(xué)問(wèn)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問(wèn)題的一般方法;(3)向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟識(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.14.已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①在上有最小值，無(wú)最大值；②設(shè)則為偶函數(shù)；③在上有兩個(gè)零點(diǎn)其中正確結(jié)論的序號(hào)為________.（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③【解析】【分析】①利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行推斷；②依據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行推斷.③利用函數(shù)圖像進(jìn)行推斷.【詳解】①，由于，所以，所以在上遞減，所以在上有最小值，無(wú)最大值，故①正確.②，依題意，由于，所以不是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤.③，令得，畫出和在區(qū)間上的圖像如下圖所示，由圖可知和在區(qū)間上的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故③正確.故答案為：①③【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的推斷，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.15.地鐵某換乘站設(shè)有編號(hào)為的五個(gè)平安出口，若同時(shí)開放其中的兩個(gè)平安出口，疏散名乘客所需的時(shí)間如下：平安出口編號(hào)疏散乘客時(shí)間（）則疏散乘客最快的一個(gè)平安出口的編號(hào)是________.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)對(duì)疏散時(shí)間的比較，推斷出疏散乘客最快的一個(gè)平安出口的編號(hào).【詳解】同時(shí)開放，須要秒；同時(shí)開放，須要秒；所以疏散比快.同時(shí)開放，須要秒；同時(shí)開放，須要秒；所以疏散比快.同時(shí)開放，須要秒；同時(shí)開放，須要秒，所以疏散比快.同時(shí)開放，須要秒；同時(shí)開放，須要秒，所以疏散比快.綜上所述，D疏散最快.故答案為：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)潔的合情推理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題16.已知函數(shù)，______，求在的值域.從①若，的最小值為；②兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為；③若，的最小值為．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充上面問(wèn)題中并作答．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三個(gè)條件求得半周期，由此求得，進(jìn)而求得在上的值域.【詳解】由于.所以，①②③任選一個(gè)作為條件，均可以得到的半周期為，則.所以，.由于，，所以，即的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值、值域的求法，屬于中檔題.17.某市旅游管理部門為提升該市26個(gè)旅游景點(diǎn)的服務(wù)質(zhì)量，對(duì)該市26個(gè)旅游景點(diǎn)的交通、平安、環(huán)保、衛(wèi)生、管理五項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分最低分0分，最高分100分，每個(gè)景點(diǎn)總分為這五項(xiàng)得分之和，依據(jù)考核評(píng)分結(jié)果，繪制交通得分與平安得分散點(diǎn)圖、交通得分與景點(diǎn)總分散點(diǎn)圖如下：請(qǐng)依據(jù)圖中所供應(yīng)的信息，完成下列問(wèn)題：（I）若從交通得分前6名的景點(diǎn)中任取2個(gè)，求其平安得分都大于90分的概率；（II）若從景點(diǎn)總分排名前6名的景點(diǎn)中任取3個(gè)，記平安得分不大于90分的景點(diǎn)個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）記該市26個(gè)景點(diǎn)的交通平均得分為平安平均得分為，寫出和的大小關(guān)系？（只寫出結(jié)果）【答案】（I）；（II）分布列見解析，期望為；（III）【解析】【分析】（I）依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（II）利用超幾何分布的學(xué)問(wèn)求出分布列和數(shù)學(xué)期望.（III）依據(jù)兩種得分的數(shù)據(jù)離散程度進(jìn)行推斷.【詳解】（I）由圖可知，交通得分前名的景點(diǎn)中，平安得分大于分的景點(diǎn)有個(gè)，所以從交通得分前名的景點(diǎn)中任取個(gè)，求其平安得分都大于分的概率為.（II）結(jié)合兩個(gè)圖可知，景點(diǎn)總分排名前的的景點(diǎn)中，平安得分不大于分的景點(diǎn)有個(gè)，所以的可能取值為..所以的分布列為:所以.（III）由圖可知，個(gè)景點(diǎn)中，交通得分全部在分以上，主要集中在分旁邊，平安得分主要集中在分旁邊，且分一下的景點(diǎn)接近一半，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查超幾何分布，考查數(shù)據(jù)分析與處理實(shí)力，屬于中檔題.18.如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.【解析】試題分析：（1）由條件中，平面平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可以證明線面垂直，從而證明線線垂直（2）建立空間坐標(biāo)系，求出法向量，然后依據(jù)題意計(jì)算是否存在點(diǎn)滿意要求解析：(Ⅰ)證明:在直三棱柱中,平面ABC,故,

由平面平面,且平面平面,

所以平面,

又?平面,所以

(Ⅱ)證明:在直三棱柱中,平面ABC,

所以,,

又,所以,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

依據(jù)已知條件可得,,,,,,

所以,,

設(shè)平面的法向量為,

由即

令,則,,于是,

平面的法向量為

設(shè),,

則,

若直線DP與平面成角為,則,

計(jì)算得出,

故不存在這樣的點(diǎn).點(diǎn)睛：方法總結(jié)：由面面垂直線面垂直線線垂直，這里須要用到垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明，難度不大，但在書寫解答過(guò)程中，留意格式，涉及二面角問(wèn)題可以采納空間坐標(biāo)系的相關(guān)學(xué)問(wèn)，計(jì)算法向量然后再求解19.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若方程在區(qū)間上有唯一解，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）最大值，最小值為；（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）由可得切線斜率，再由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）由，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可得最值；（3）當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，分析可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以存在唯一的，使，即，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得解.試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，.又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，因?yàn)椋?所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以存在唯一，使，?所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，又因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有唯一解，所以.點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、改變趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象推斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的狀況，歸根究竟還是探討函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.20.已知點(diǎn)在橢圓：上，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓C上不與點(diǎn)重合的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，直線，分別交軸于，兩點(diǎn)．求證：以為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)是定值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析．【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）依題意，得到，利用定義得到，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)，，依據(jù)直線方程，求解的坐標(biāo)，可得，利用，求得的值，即可得到弦長(zhǎng)為定值．試題解析：（Ⅰ）依題意，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，且．因?yàn)?，所以，，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）證明：由題意可知，兩點(diǎn)與點(diǎn)不重合．因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以設(shè)，，．設(shè)以為直徑的圓與直線交于兩點(diǎn)，所以．直線：．當(dāng)時(shí)，，所以．直線：．當(dāng)時(shí)，，所以．所以，，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，即，，所以，所以?/p>