9.2.3總體集中趨勢的估計(jì)高一數(shù)學(xué)教材教學(xué)課件人教A版2019

9.2.3

總體集中趨勢的估計(jì)高一下學(xué)期1.掌握頻率分布直方圖中的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法；2.能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；3.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；4.通過總體均值趨勢的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).重點(diǎn)：頻率分布直方圖中的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法難點(diǎn)：集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義例如：對(duì)于某縣今年小麥的收成情況，我們可能會(huì)更關(guān)注該縣今年小麥產(chǎn)量的什么情況？

為了了解總體的情況，前面我們研究了如何通過樣本的分布規(guī)律估計(jì)總體的分布規(guī)律.但有時(shí)候，我們可能不只關(guān)心總體的分布規(guī)律，而更關(guān)注總體取值在某一方面的特征.產(chǎn)量的分布總產(chǎn)量或均每公頃的產(chǎn)量身高的分布國民身高的平均數(shù)或中位數(shù)對(duì)于一個(gè)國家國民的身高情況，我們可能會(huì)更關(guān)注國民身高的什么情況？

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量,它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.下面我們通過具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢估計(jì)總體的集中趨勢.

知識(shí)點(diǎn)一

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)最多從小到大(或從大到小)中間平均數(shù)

例題：利用9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6

追問：假設(shè)某個(gè)居民小區(qū)有2000戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水總量嗎？

思考：小明用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算了100戶居民用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)7.7錄成了77.請計(jì)算錄入數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較，哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？

＊樣本平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，樣本中任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變；＊中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值，并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變.

因此與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感.3、某校舉行演講比賽，10位評(píng)委對(duì)兩位選手的評(píng)分如下：甲：7.5

7.5

7.8

7.8

8.0

8.0

8.2

8.3

8.4

9.9乙：7.5

7.8

7.8

7.8

8.0

8.0

8.3

8.3

8.5

8.5選手的最終得分為去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后，剩下8個(gè)評(píng)分的平均數(shù).那么，這兩個(gè)選手的最后得分是多少？去掉最低分和最高分的評(píng)分機(jī)制更好，可規(guī)避個(gè)別評(píng)委對(duì)選手得分的影響.教材P209追問1：若直接用10位評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名有變化嗎？追問2：你認(rèn)為哪種評(píng)分辦法更好？為什么？

乙比甲的得分高

甲比乙的得分高“我們企業(yè)員工的年平均收入為20萬元”可信嗎？思考2：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？

和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.例題：某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.

如果用一個(gè)量來代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性.校服規(guī)格155160165170175合計(jì)頻數(shù)39641679026386分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實(shí)上是幾種不同的類別，對(duì)于這樣的分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)（下圖)可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適.眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)值的信息，只能說明它比其他值出現(xiàn)的次數(shù)多，但并未體現(xiàn)它比別的數(shù)值多的程度．因此，眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感.

對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).

對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；9、在一次人才招聘會(huì)上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收入水平很高”“去年，在50名員工中，最高年收入達(dá)到了200萬，員工年收入的平均數(shù)是10萬"，而你的預(yù)期是獲得9萬元年薪.(1)你是否能夠判斷年薪為9萬元的員工在這家公司算高收入者？(2)如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工年收入的變化范圍是從3萬到200萬”，這個(gè)信息是否足以使你作出自己是否受聘的決定？為什么？(3)如果他繼續(xù)提供了如下信息，員工收入的第一四分位數(shù)為4.5萬，第三四分位數(shù)為9.5萬，你又該如何使用此信息來作出是否受聘的決定？(4)根據(jù)(3)中招聘員提供的信息，你能估計(jì)出這家公司員工收入的中位數(shù)是多少嗎？為什么平均數(shù)比估計(jì)出的中位數(shù)高很多？受年收入200萬元這個(gè)極端值的影響.既要會(huì)用數(shù)據(jù)說話,又要防止被數(shù)據(jù)誤導(dǎo)教材P215

考慮中位數(shù)/眾數(shù)(對(duì)極端值不敏感)7萬元75%低于9.5萬元

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對(duì)極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感辨析：1.中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù).(

)2.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(

)3.一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)只有1個(gè).()4.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化.(

)5.一組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)不大于中位數(shù)，而另一半則不小于中位數(shù)，中位數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的中心的情況.中位數(shù)受極端值的影響較小.(

)√×√√×探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如，我們在報(bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？在頻率分布直方圖中，損失了大量的原始數(shù)據(jù)，只知道分組和每組的頻率，我們無法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時(shí)，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布.知識(shí)點(diǎn)二頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法0.230.320.130.090.090.050.030.040.02因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.頻率分布直方圖——平均數(shù)的求法

這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本平均數(shù)8.79相差不大.頻率分布直方圖——中位數(shù)的求法

在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.0.230.320.130.090.090.050.030.040.02頻率分布直方圖——眾數(shù)的求法

在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時(shí)，通常假設(shè)它們在組內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，也就是50%分位數(shù).(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).頻率分布直方圖損失了些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān)，有隨機(jī)性，練習(xí)：(多)為了提升小學(xué)生的運(yùn)算能力，某市舉辦了“小學(xué)生計(jì)算大賽”，并從中選出“計(jì)算小達(dá)人”.現(xiàn)從全市參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取1000人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績的分組區(qū)間為[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，規(guī)定得分在90分及以上的被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”.下列說法正確的是（AD）A.m的值為0.015B.該市每個(gè)小學(xué)生被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”的概率為0.01C.被抽取的1000名小學(xué)生的平均分大約是85分D.學(xué)生成績的中位數(shù)大約為75分AD解析：由（0.025＋0.05＋m＋0.01）×10＝1?m＝0.015，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)榈梅衷?0分及以上的被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”，所以該市每個(gè)小學(xué)生被評(píng)為“計(jì)算小達(dá)人”的概率為0.01×10＝0.1，故選項(xiàng)B不正確；被抽取的1000名小學(xué)生的平均分大約是（0.025×65＋0.05×75＋0.015×85＋0.01×95）×10＝76，故選項(xiàng)C不正確；設(shè)學(xué)生成績的中位數(shù)為a，所以有10×0.025＋（a－70）×0.05＝0.5?a＝75，故選項(xiàng)D正確.故選A、D.1、某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A.85分、85分、85分

B.87分、85分、86分C.87分、85分、85分

D.87分、85分、90分C2、抽樣調(diào)查了某班30位女生所穿鞋子的尺碼（單位：碼），數(shù)據(jù)如下.在這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中，鞋廠最感興趣的是_______碼號(hào)（碼）3334353637人數(shù)（人）761511眾數(shù)3、如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述一定錯(cuò)誤的是（

）.A．?dāng)?shù)據(jù)中可能有異常值

B．這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的C．?dāng)?shù)據(jù)中可能有極端大的值

D．?dāng)?shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同B中位數(shù)和平均數(shù)比較接近教材P222

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表:日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0．35的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表．）(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35的頻率為：0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.