大學(xué)高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案

總習(xí)題六

★**1.求由曲線y?=(4-x)3與縱軸所圍圖形面積。

思路：曲線V=(4-x)3,(x44)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，又曲線的一條分支y=(4-x)3”是關(guān)于x的減函

數(shù)，見(jiàn)圖6-1可知用y型或用對(duì)稱(chēng)性求圖形面積較為簡(jiǎn)單。

★★★2.求介于直線x=0,元=2萬(wàn)之間、由曲線y=5拘不和y=cosx所圍成的平面圖形的面積。

解：S=^Isinx-cosx\dx

產(chǎn)/4訪/4.

=I(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx+t(cosx-sinx)dx=4A歷

k/4

★★★3.直線y=x將橢圓X?+3y2=6y分成兩塊，設(shè)小塊面積為4,大塊面積為6,求4/8的

值。

思路：由于y=x和/+3/=6y的交點(diǎn)為(0,0)及(3/2,3/2),3/2>l,因此面積較小的

部分用y型做較簡(jiǎn)單，見(jiàn)圖6-3

y

圖6-3

0<y<3/2

解：較小部分區(qū)域表達(dá)為：D：<

Ay<x<J6y_3y2

x=-75cosr

網(wǎng)2/---------------7y=sin/+l9G3

力/6

則A={(46y-3y--y)=￡p^cos-^/--=—

B=6兀力正兀己一一邙二上半

34348萬(wàn)+36

***4.求橢圓X?+；y2=1和;+y2=1公共部分的面積。

思路：由圖形的對(duì)稱(chēng)性可得所求面積是x=0和y=x及;;/+》2=I所圍在第?象限內(nèi)區(qū)域面積

的8倍，見(jiàn)圖6-4

圖6-4

0<y<V3/2

★★★5.求由曲線x=acos，,y=asin”所圍圖形面積。

思路：圖形為星形線，所以由圖形的對(duì)稱(chēng)性可得所求而枳是第一象限內(nèi)區(qū)域。?面積的4倍

0<x<a

解：,(設(shè)y=y(x)是星形線函數(shù))

[0<>1<y(x)

E,r=acos3fx)

S==(y(x)dxq,4Jsin3Zx3cos2r(-sinz)^

4SDI

=『2^|-(sin221-cos2fsin?2f)力

3/fw2l-cos4r,3/皿.？、-、32

=-----------dt-----sm2td(sin2t)=—7ra

2小241)8

★★★6.圓夕=1被心形線夕=l+cos。分割成兩部分，求這兩部分的面積

思路：設(shè)分割成的右邊圖形為。，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可得所求面積是極軸上半部分面積的2倍，見(jiàn)圖

6-6

圖6-6

解：夕=1和2=1+COS。相交于。=±乃/2,

O<0<7r/2"/2<0<71

???￡＞］由A、8兩部分組成,A：<,B：<

I0</7<1I0<夕Wl+cos。

S。=2［%"+aJ(1+cos0)~cl=—7T—/2?左邊部分的面積S萬(wàn)=2——

兀

★★★★7.設(shè)y=sinx,04x?耳，問(wèn)f取何值，右圖中陰影部分的面積S］與S2之和S最?。孔畲?？

解：

5,=J(sin/-sinx)6/x,S2=￡(sinx-sinr)Jx,5(r)=5)+52,

S'Q)=(tsint\-sinr-sint-[(^-r)sint]f=(2r-])cosf=0,得才=?，

比較S(0)=r/2sinxdx=1,S(-)=V2-1,S(-)=--1,

422

???"max=t5min=V2-1

★★★8.由曲線y=1-X2（04X?1）與x,y軸圍成的區(qū)域，被曲線y=>0）分為面積為相等

的兩部分，求。的值，見(jiàn)圖6-8

C-1d

解：兩曲線y=1一廠(OWxWl),y=ax2(a>o)交于：(,-----),

Jl+a1+〃

0?xW]，

3：Ji+a；D2:<

ax<y<I-x"y/l-y<x<

-ax2)dx^j_

3<l+a

“=戶(hù)（歷-啟叱（一如>嚴(yán)-左產(chǎn)）：=|2

3dl+a

由必=5修計(jì)算可得a=3

★★★9.求星形線%2/3+y213=a2'\a>0）所圍圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。

知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積

思路：由于星形線關(guān)于x、y軸都對(duì)稱(chēng)，因此所求旋轉(zhuǎn)體體積V是第一象限內(nèi)星形線及坐標(biāo)軸圍成的圖形

繞x軸旋轉(zhuǎn)?周形成的旋轉(zhuǎn)體積匕的兩倍

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體積的公式：V=2V,=21犯2公，利用星形線的參數(shù)方程》=。（：；05，,？=。41?/

進(jìn)行變量代換，

/2

可得V=2f7ia~sin6rx3tzcos2tdcost=一6加"(1-cos2O3cos2tdcost

Jr/2

105

★★★10.求由圓+()，-5)2=16繞X軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積。

思路：可以對(duì)照y=/(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積求法，見(jiàn)圖6T0

解：該體積是曲線x=J16_(y_5)2,(14y49)及X軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積的兩倍

=160儲(chǔ)

★★★11.證明：由平面圖形04?！叮?lt;/?,0?></(》)繞丫軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為

V=2"jxf(x)dx

知識(shí)點(diǎn)：元素法的應(yīng)用

證明：由平面圖形04。4x46,04y4/(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積，可看作y=/(x)繞

y軸旋轉(zhuǎn)所得的側(cè)面積在a<x<b范圍內(nèi)疊加而成，dV=2時(shí)(x)dx

V=2zrfxf(x)dx<.

★★★12.曲線y=(%—1)(2—工)和乂軸圍成一平面圖形，計(jì)算此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體

積。

思路：用y=/(X)繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積求法

解：平面圖形為：曲線y=(x—l)(2—x),(l<x<2)和X軸圍成

V=1-1)(2-x)dx-y

★*★★13.設(shè)拋物線y-ax'+%x+c過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)OWxKl時(shí)，y>0,又已知該拋物線與直線x=1

及x軸所圍圖形的面積為1/3,求a,6,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小。

解：因?yàn)閽佄锞€y=aX2+/JX+C過(guò)原點(diǎn)，所以c=0,又當(dāng)OWxKl時(shí)，y>0,所以該拋物線與

"a,、，ab1,2八、

直線x=l及x軸所圍圖形的面積SJ(6ix+bx)dx=-4~~=—,得b=1(1—ci)t

乂此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)?周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積丫（。力）=，7r(ax2+bx)2dx=乃(g+g+g)'

2

t2a-〃(1—。)4(1—tz),41

將b=—(1-a)代入可得丫(Q)=zr(—+-------+-------),V(a)=-----a+—=0,

353275x2727

得到：a=--,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)駐點(diǎn)，??.可得滿足所給條件的〃=—9,b=a,c=00

442

★★★★14.在由橢圓域苫2+乙41繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體上，以y軸為中心軸打一個(gè)圓孔，使剩卜.

4

部分的體積恰好等于橢球體體積的一半，求圓孔的直徑。

知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積

思路：打?個(gè)以y軸為中心軸的圓孔后，剩下的橢圓部分的體積V是由xoy坐標(biāo)面上，如圖所示的平面

圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積的兩倍，見(jiàn)圖6-14

3

X▼

圖6-14

解：設(shè)圓孔的半徑為r則在xoy面上曲線/+匕.=1和x=尸的交點(diǎn)（，，士2^/1-r2）,

4

-2%--<),<2^/1-r2

平面圖形由DO2減。2部分組成，'

03?。?/p>

DC=匕=￡『漢1-？)辦，匕3x27^7

2

8萬(wàn)o2a3/s21f2V4TT

,-.V=^_y2=_(i-r),由條件y=/x2j%(l—亍)dy=5，

可得：］-「2=-^--=>r=71-V1A4=>2r=74-V16

22/3

★★★15.求由柱體%2+)/?。2與+%24a2相貫部分的體積。

思路：由立體圖形的對(duì)稱(chēng)性可知所求體積為第象限內(nèi)體積匕的8倍，用垂直于x軸的平行截面截匕，

可得截面面積A(x),以此計(jì)算體積匕，見(jiàn)圖6-15

解：垂直于x軸的平行截面截匕，得截面為長(zhǎng):y=\la2-x2；寬：z=ylci2-x2的長(zhǎng)方形。

AM=a2-x2,V=8V,=8f(a2-x2)Jx=ya3

16.將曲線y=繞X軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體

l+x2

★★(1).求此旋轉(zhuǎn)體體積幾

解：?函數(shù)y=-'—,的定義域:xNO,

-l+x2

400

7t

???V=￡7iy2dx=7i

o7

★★★(2).記此旋轉(zhuǎn)體介于X=0與x=a之間的體積為V(a)，問(wèn)a為何值時(shí)有丫(a)=幾/2。

解：=f7iy2dx=乃(----------要使V(a)=%/2,

J>-2(1+x2)021+。2'

兀171

只要一(1一)=-=>a=1

2\+a~4

★★★17.將拋物線y=_ax在橫坐標(biāo)0與c(c>a>0)之間的弧段和x=c以及x軸所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)c為何值時(shí)，所得旋轉(zhuǎn)體體積V等于弦OP(P為拋物線與x=c的交點(diǎn))繞x軸旋轉(zhuǎn)所得

錐體體積。

思路：拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且開(kāi)口向上，如圖6T7

圖6-17

解：心卜，—32dX=—理+軍)

經(jīng)(0,0)和(c,c2-ac)的弦OP方程

在1

為：y=(c-a)x=>V錐=J乃(c-aT/dx=一農(nóng)二。一a)),

2X

★*★★18.計(jì)算半立方拋物線y2=1(工一1)3被拋物線>2=§截得的一段弧的長(zhǎng)度。

知識(shí)點(diǎn)：求平面弧長(zhǎng)

思路：作簡(jiǎn)圖確定弧段的范圍，代入公式，見(jiàn)圖6-18

y▲

圖6-18

2Y2r

解：y2=1)3和=§的交點(diǎn)為：—(x-1)3=—=>2x3-6x2+5x?-2=0

將x=2代入方程可知是方程的根，，分解因式可得

—6尤~+512—2—(x—2)(2x~—2x+1)=0,方程只有1~~'解x=2

交點(diǎn)：(2,土-)，由圖形關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)...5=2/+yr~dx,vy2=—(x—I)3

兩邊對(duì)x求導(dǎo)：2yy'=2(x-l)2=>y,2="」，=—(x-1)

y2

★★★19.證明雙紐線「2=2。2cos2。的全長(zhǎng)L可表示為L(zhǎng)=

Vl-x4

證明：根據(jù)雙扭線的對(duì)稱(chēng)性，L=4L],其中心是雙扭線在第一象限內(nèi)的一段弧長(zhǎng),

★★★20.在擺線x=a（f-sinf）,y=a（l-cosf）上,求分?jǐn)[線第??拱成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo)。

知識(shí)點(diǎn)：平面曲線的弧長(zhǎng)

解：擺線第一拱的f的范圍：（0,2乃），設(shè)在小處分?jǐn)[線成1：3,則根據(jù)弧長(zhǎng)參數(shù)公式,可得：

?f]sin/72|力

2

3「卜in"21力3

:"2w[0,捫，

,?sin"2山女紅_立q

「sin"2力3l+cosf0/233°"。322

*0

****21.求曲線y=y（x）,該曲線上兩點(diǎn)（0,1）及（x,y）之間的弧長(zhǎng)為s=Jy?-1。

解：由條件：曲線上兩點(diǎn)（0,1）及（x,y）之間的弧長(zhǎng)L=jjl+y'2dx=Jy，-1,

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：Jl+<2=-v-v=y'=±7y2-1，根據(jù)第十二章的微分方程求解得到:

7>,2-i

1+e2x

*：y=y(x)經(jīng)過(guò)(0,0),???代入求得c=1=>y=丁r

★★★22.設(shè)有半徑為R的平面圓板，其密度為〃=422+3P，P為圓板上的點(diǎn)到圓板中心的距離,

求該圓板的質(zhì)量M.

知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用

思路：由于任一點(diǎn)的密度〃只和該點(diǎn)到圓板中心的距離有關(guān)，設(shè)平面圓板的方程為P=夫，則在圓環(huán)

P=「至夕=r+dr上的每一處都近似有〃(r)=4r2+3r.

解：0=r至2=r+dr的圓環(huán)質(zhì)量微元：dM-(4r2+3r)x2/n-dr,

nM=/2萬(wàn)(4d+3r2)dr=2^?3(7?+l)

★★23.一物體按規(guī)律x=cf3作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由x=0移至

x=a時(shí)，克服媒質(zhì)所做的功。

知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用

解：尸=HZ?,v=/=尸=kx'2=9h2J=>卬=[Fdx^Tike3tbdt

:NSLk"屋3

7

★★★★24.用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇丸F釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵釘在第一次捶

擊時(shí)將鐵釘擊入1cm,若每次捶擊所作的功相等，問(wèn)第n次捶擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？

知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用

解：設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇槭?；鐵釘進(jìn)入木板的深度為x,則尸=ZxnW|=fkxdx=-,

」)2

則由每次捶擊所作的功相等的條件可得Wn=Pkxdx=K(x；—/])=人—片]=1,

比i22

Xj=L/.x2=V2,x3=6,沒(méi)Xk=VT,則由x；+i=1+x；=1+k=>xk+l=女+1

???由歸納法得證：xn=4n=>xn-=Vn-Vn-1(cm)

25.以每秒。的流量往半徑為R的半球形水池內(nèi)注水。

★★★(1).求在池中水深力(0<%<R)時(shí)水面上升的速度

知識(shí)點(diǎn)：相關(guān)變化率

解：設(shè)當(dāng)時(shí)間1時(shí)，池中水深6,半球形水池可看作xoy面上曲線x2+(y-R)2=R2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

而成，則由時(shí)間，時(shí)注入水量等于水深為h的球冠體積可得：

14西-(y-R)2)dy=17i(2Ry-y2)dy=at,該等式兩邊對(duì)『求導(dǎo)

a

=>7i(2Rh—h2)hf=a=>hf=

兀QRh-h2)

★★★(2).若再將滿池水全部抽出，至少需作功多少？

知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用

解：重設(shè)xoy面上的方程：X=J/?2_y2,則將球形水池中y至y+dy體積的水抽出水面做功

dW-pg7ry2xdxnW=fpg兀(R2-x2)xdx-爆個(gè)

(其中「是水的密度，g是重力加速度)

★★★26.以等腰梯形閘門(mén)，梯形的上下底分別為50m和30m,高為20m,若閘門(mén)頂部高出水面4m,求閘門(mén)

一側(cè)所受的水的靜壓力。

知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用

思路：以上底中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直向下建立x軸，見(jiàn)圖6-26,等腰梯形腰的方程則為：y=-gx+25,

因此在x至x+dx的閘門(mén)條帶上，所受的靜壓力為dP=yx2(-2+25)x(x-4)dx

=--x+25

2

X

解：???dP=7x2(-5+25)x(x-4)dx,

在0X—4=/

工尸=[y(-x+50)(x-4)dx=(46?-t2)dt-4.522x103/(kg)

★★★27.設(shè)有一半徑為A,中心角為9的圓弧形細(xì)棒，其線密度為常數(shù)夕，在圓心處有一質(zhì)量為機(jī)的

質(zhì)點(diǎn)M,試求該細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力。

知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用

解：設(shè)弧棒的方程為極坐標(biāo)系下：r=/?,6>€(一夕/2,0/2),見(jiàn)圖6-27,

0=(p/2

d+dO

0

夕=一夕/2

則19至6+1。段的細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M在X軸(也為極軸)正向上的的引力為：

kmpRdO?門(mén)/2kmp,Ikmp.(p

'：dF=-J——xcos'nnF=——cos3nd0n=------sin—,

rR2Xr3R/?2

.,?根據(jù)弧棒關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)性可知Fy=0

★★★★28.設(shè)有半徑為。面密度為。的均勻圓板，質(zhì)量為〃？的質(zhì)點(diǎn)P位于通過(guò)圓板中心。且垂直于圓

板的直線上，PO=b,求圓板對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。

知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用

解：設(shè)半徑為a面密度為o■的均勻圓板區(qū)域?yàn)椋篛WpWa,見(jiàn)圖6-28,

▲

圖6-28

對(duì)于夕=r和夕=r+dr所夾環(huán)帶區(qū)域，由于對(duì)稱(chēng)性，只有在垂直于圓板的方向才有引力:

kmax27DMdrb「「Zjikmbordr

dF=----------------x=>F=嚴(yán)=2/加(r(l——/)

(八⑹VP7F

課外習(xí)題

★★★*1.求曲線y=五，五+J]=1以及。x軸所圍成圖形的面積

思路：可以根據(jù)第四章的判斷函數(shù)單調(diào)性和作圖等知識(shí)求出曲線五+J9=1的單調(diào)區(qū)間或畫(huà)出曲線的

圖形，再確定x,y的變化范圍，見(jiàn)圖6-(1)

圖6-(1)

解：由曲線方程J7+J7=l可知：04x41,

且萬(wàn)=1-nV=1+工-26ny'=1一上■,

.?.當(dāng)04x41時(shí)有：y=l+x-24單調(diào)降,

又兩曲線的交點(diǎn)為：＜二：二2G"二號(hào)『=昔，舍去的解可得在

7_o3_

0<x<1范圍內(nèi)的交點(diǎn)是工=--------,y=--------,，而yVx是一個(gè)單調(diào)增函數(shù)，

22

...該圖形區(qū)域可表達(dá)為:

y2<x<1+y-2y[y

11_al-c

所求S=(1+y-2y[y-y2)dy=---:——

力12

★*★★2.求曲線(》2+＞2)2=2。2町所圍成圖形的面積

思路：該曲線的參數(shù)式為P之=。2sin2。，它是伯努利雙紐線(見(jiàn)書(shū)后附錄H),可用對(duì)稱(chēng)性求該圖形

的面積

解：所求面積S=2S],S]是該曲線在第一象限內(nèi)圍成的區(qū)域面積,

0<6?<—j$2sin2田6=/

S1所占區(qū)域可表達(dá)為：＜2A5=25,=2

0<r<ajsin20

★★★★3.設(shè)/(x)=力,(xN—1),試求曲線f(x)與Ox軸所包圍的面積

思路：首先需要確定了(x)的大致圖形，然后才能確定的變化范圍

解:駐點(diǎn)X=±l(舍尤=-1)得唯?駐點(diǎn)x=l

當(dāng)xWl時(shí)，/(x)單調(diào)增，當(dāng)xNl時(shí)，/(x)單調(diào)降，又/⑴=￡(1一協(xié)力=1J(T)=O；

X2/八

3(X21),

.?./(x)=0nx=l士后，舍去x=l—痣，得/(x)和Ox軸所圍圖形在0Wx4l+行內(nèi),

C嚴(yán)應(yīng)，1/5+4啦

???所求面積S=I(—Fx----)dx--------

』)226

★★★★4.如圖6-(4),在曲線y=e-*,(xNO)上面作一個(gè)臺(tái)階曲線，臺(tái)階的寬度為1,試求圖中無(wú)

窮多個(gè)陰影部分的面積之和

解：臺(tái)階曲線可表示為：y=e"(&4》<女+1),&=0,1,2…，設(shè)第％個(gè)陰影部分的面積為S(k),

S(Z+1)=j"(e"一e-x)dx=e"+e《+D—**=/*+匕

所求S=S(0)+S(l)+5(2)H----FS(k)H—=0-'+e"H—e~kH—=--—(等比級(jí)數(shù))

e-1

★★★★5.設(shè)y=/(x)是區(qū)間［0,1］上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。(1)試證存在項(xiàng))€(0』)，使得在區(qū)間

［0,演)］上以/(%))為高的矩形面積，等于在區(qū)間屏0，1］上以y=/(x)為高的曲邊梯形的面積。(2)

又設(shè)了(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/'(x)〉一也?,證明(1)中的與是唯的

X

證即要證存在與使得

(1)：G(0,1),ff(x)dx=x0/(x0)

品0

設(shè)函數(shù)/7(幻=8］/(》)右,/7(0)=/(1)=0,...??。)在［0,1］上用羅爾定理可得：

使得尸(%)=

3x06(0,1),f/(x)Jx-x0/(x0)=0=>f/(x)t/x=x0/(x0)

(2)設(shè)G(x)=［fMdx-xfM,G'(x)=-2f(x)-xfXx),???/(x)>—

???G'(x)v0,G(x)單調(diào)降，，⑴中的是唯一的

★(1)對(duì)曲線)，=/(%),試在橫坐標(biāo)。和Q+力之間找一點(diǎn)使在這點(diǎn)兩邊有陰影部分的

面積相等(如圖6-(6))(2)在(1)中設(shè)曲線y=記g=。+①。其余的如(1)所述，試

求。井計(jì)算lim。=?

y

X

0

圖6-(6)

解(1)：要使x=4處兩邊有陰影部分的面積相等，即要：

f(/(X)-f(a))dx=「"(/(〃+h)-f(x))dx=>

ff(x)dx-f(a)卷一a)=(a+h-^)f(a+//)-f/(x)dx-￡"f(x)dxn

(u+h

af(a)-(a+h)f(a+/?)+Jf(x)dx=f(a)&-f{a+/?片=

af(a)一(a+h)f(a+h)+￡''f(x)dx

"f(a)-f(a+h)

n+h

aea—(6Z+h)eah+,e'dx(h-l)e"+1

(