人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【課件】

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根個(gè)數(shù)，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系邏輯推理2．經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集直觀想象3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|1．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解：若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，則二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)就可分解為a(x－x1)(x－x2)．特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以方程x2＋px＋q＝0可化為

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0的兩根．

一元二次不等式的概念1．只含有________未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_______的不等式，稱為一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．一個(gè)2

不等式x2－y2＞0是一元二次不等式嗎？【提示】此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式．微思考【預(yù)習(xí)自測(cè)】

一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的________．解集類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”．不等式x2＞1的解集及其含義是什么？【提示】不等式x2＞1的解集為{x|x＜－1或x＞1}，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立．微思考【預(yù)習(xí)自測(cè)】

三個(gè)“二次”的關(guān)系對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步驟求方程f(x)＝0的解有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2沒有實(shí)數(shù)根{x|x＜x1或x＞x2}

R

{x|x1＜x＜x2}

?

?

若一元二次不等式ax2＋x－1＞0的解集為R，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？微思考【預(yù)習(xí)自測(cè)】|課堂互動(dòng)|(3)原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因?yàn)棣ぃ?－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)數(shù)根．又因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R．解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)標(biāo)準(zhǔn)化：通過對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．(2)判別式：對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．(3)求實(shí)根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)數(shù)根．(4)畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的草圖．(5)寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)2x2－3x－2＞0；(2)x2－4x＋4＞0；(3)－x2＋2x－3＜0；(4)－3x2＋5x－2＞0．題型2含參數(shù)的一元二次不等式的解法解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0．解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟注：對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．解：Δ＝a2－16，下面分情況討論：①當(dāng)Δ＜0時(shí)，即－4＜a＜4時(shí)，方程2x2＋ax＋2＝0無實(shí)數(shù)根，所以原不等式的解集為R．題型3三個(gè)“二次”之間的關(guān)系已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)將不等式化為具體的一元二次不等式求解．題型4一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤(rùn)＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量．(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式．(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解不等式應(yīng)用題的步驟4．某校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)為800m，寬為600m的長(zhǎng)方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600．x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為{x|0＜x≤100}．錯(cuò)解：不等式兩邊同乘x＋2得x－1≤2(x＋2)，解得x≥－5，所以原不等式的解集為{x|x≥－5}．|素養(yǎng)達(dá)成|1．解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡(jiǎn)圖；③由圖象得出不等式的解集(體現(xiàn)了直觀想象核心素養(yǎng))．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．當(dāng)m＜n時(shí)，若(x－m)(x－n)＞0，則可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，則可得{x|m＜x＜n}．有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間．2．含參數(shù)的一元二次型的不等式在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng))，討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0．(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無實(shí)數(shù)根(Δ＜0)．(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)的零點(diǎn)及圖象的開口方向．【答案】B【解析】因?yàn)?x＋3－x2＞0，所以x2－2x－3＜0，方程x2－2x－3＝0的根為－1，3，所以不等式的解集為{x|－1＜x＜3}．故選B．2．(題型4)用一根長(zhǎng)為100m的繩子圍成一個(gè)面積大于600m2的矩形，設(shè)圍成的矩形一邊的長(zhǎng)為x

m，則x的取值范圍為 (

)A．{x|15＜x＜25} B．{x|20＜x＜30}C．{x|25＜x＜35} D．{x|30＜x＜40}【答案】B【解析】設(shè)圍成的矩形一邊的長(zhǎng)為x

m，則另一邊的長(zhǎng)為(50－x)m，且0＜x＜50．由題意，得圍成矩形的面積S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30．4．(題型3)已知關(guān)于x的不等式x2－5ax＋b＞0的解集為{x|x＜1或x＞4}，則a＋b＝____________．【答案】5【解析】根據(jù)不等式x2－5ax＋b＞0的解集為{x|x＜1或x＞4}，知方程x2－5ax＋b＝0的兩個(gè)根是1和4，則5a＝1＋4，b＝1×4，解得a＝1，b＝4，所以a＋b＝5．5．(題型1)解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2＞2(x－1