2024秋高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例第2課時高度角度問題達(dá)標(biāo)檢測含解析新人教A版必修5

PAGE1-高度、角度問題A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．從A處望B處的俯角為α，從B處望A處的仰角為β，則α，β的關(guān)系為()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：由仰角和俯角的概念得α＝β.答案：B2．如圖所示，飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)()A．11.4km B．6.6km C．6.5km D．5.6km解析：因為AB＝1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50,3)，C＝75°－30°＝45°，所以BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r(2)).所以航線離山頂h＝eq\f(50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin(45°＋30°)≈11.4.所以山高為18－11.4＝6.6(km)．答案：B3．甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B動身以每小時6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是()A．eq\f(150,7)分鐘 B．eq\f(15,7)分鐘C．21.5分鐘 D．2.15分鐘解析：假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近，甲乙分別行至C，D如圖示可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cosC(CD)2＝(10－4x)2＋36x2＋2×(10－4x)×6x×eq\f(1,2)＝28x2－20x＋100當(dāng)x＝eq\f(5,14)小時即eq\f(150,7)分鐘時距離最?。蔬xA.答案：A4．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測量中的高度是()A．100eq\r(2)米 B．400米C．200eq\r(3)米 D．500米解析：由題可得下圖，其中AS為塔高，設(shè)為h，甲、乙分別在B、C處．則∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，所以在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝eq\r(3)h，在△ABC中，AB＝h，AC＝eq\r(3)h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(eq\r(3)h)2＝5002＋h2－2·500·h·cos120°，所以h＝500(米)．答案：D5．如圖所示，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()A．30° B．45° C．60° D．75°解析：依題意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得，cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案：B二、填空題6．如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m.解析：依據(jù)圖示，AC＝100eq\r(2).在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3).在Rt△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，所以MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．答案：1507．如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的馬路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得馬路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車從C點(diǎn)到B點(diǎn)歷時14s，則這輛汽車的速度為________m/s(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236)．解析：由題意，AB＝200m，AC＝100eq\r(2)m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋20000－2×200×100\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))≈316.23m，所以這輛汽車的速度為316.23÷14≈22.6m/s.答案：22.68．如圖所示，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M位于北偏東α，前進(jìn)m海里后在B處測得該島位于北偏東β，已知該島四周n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船接著東行，當(dāng)α與β滿意條件__________時，該船沒有觸礁危急．解析：在△ABM中，由正弦定理得eq\f(BM,sin（90°－α）)＝eq\f(m,sin（α－β）)，故BM＝eq\f(mcosα,sin（α－β）)，要使該船沒有觸礁危急需滿意BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sin（α－β）)>n.．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)三、解答題9．為測量某塔的高度，在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量的數(shù)據(jù)如圖所示，求塔的高度．解：在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15.依據(jù)正弦定理，eq\f(15,sin2.8°)＝eq\f(AT,cos18.6°)，AT＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°).塔的高度為AT×sin21.4°＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°)×sin21.4°≈106.19(m)．10．如下圖所示，一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛，到A處時測得馬路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD(精確到1m)．解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，依據(jù)正弦定理，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(5sin15°,sin10°)≈7.4524(km)．CD＝BC·tan∠DBC≈BC·tan8°≈1047(m)．B級實力提升1．在某個位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ，接著在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為()A．200m B．300m C．400m D．100eq\r(3)m解析：＝600，BC＝DC＝200eq\r(3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋（200\r(3)）2－（200\r(3)）2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)．答案：B2．如圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/時．解析：由題可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，由正弦定理eq\f(MP,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)得MN＝68×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝34eq\r(6).所以速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/時)．答案：eq\f(17,2)eq\r(6)3.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船馬上前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達(dá)D點(diǎn)須要多長時間？解：由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，因為∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(5（3＋\r(3)）·sin45°,sin105°)＝eq\f(5（3＋\r(3)）·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)（\r(3)＋1）,\