四川省內(nèi)江市2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末考試試題含解析

PAGE18-四川省內(nèi)江市2024-2025學年高一數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）一、選擇題：1.設集合，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：，，，所以，所以，選B.考點：集合的基本運算2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)誘導公式化為特別銳角，即可求解.【詳解】。故選:C.【點睛】本題考查誘導公式求特別角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.3.已知函數(shù)，則（）A.82 B. C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】從內(nèi)向外求出函數(shù)值，即可求解.【詳解】.故選:C.【點睛】本題考查復合函數(shù)值，考查分段函數(shù)的理解，屬于基礎題.4.已知扇形的弧長是2，面積是4，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】扇形的弧長是2，面積是4，求出半徑，由弧長公式，即可求解.【詳解】設扇形的半徑為，圓心角為，依題意，.故選:A.【點睛】本題考查扇形的弧長、面積公式，屬于基礎題.5.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】分析：探討函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域為，且即函數(shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎題.6.已知是第三象限的角，若，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得的值.【詳解】因為是第三象限的角，所以，因為，所以解得：，故選D.【點睛】本題考查余弦函數(shù)在第三象限符號及同角三角函數(shù)的基本關系，即已知值，求的值.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】三數(shù)與比較大小，即可求解.【詳解】，，，.故選:A.【點睛】本題考查應用函數(shù)的單調(diào)性比數(shù)的大小，要留意特別數(shù)的運用，屬于基礎題.8.若是三角形的一個內(nèi)角，且，則的值是（）A. B. C.或 D.不存在【答案】B【解析】【分析】由誘導公式化為，平方求出，結合已知進一步推斷角范圍，推斷符號，求出，然后開方，進而求出的值，與聯(lián)立，求出，即可求解.【詳解】，平方得，，是三角形的一個內(nèi)角，，，，.故選:B【點睛】本題考查誘導公式化簡，考查同角間的三角函數(shù)關系求值，要留意，三者關系，知一求三，屬于中檔題.9.已知且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令代入，求出，再由，即可求出結果.【詳解】令，則，.故選:D.【點睛】本題考查由復合函數(shù)的解析式求函解析式，常用的方法有：換元法、拼湊法、待定系數(shù)法、解方程法，留意解題方法的積累，屬于基礎題.10.已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之和為，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】且）有相同的單調(diào)性，（且）在有單調(diào)性，最值在區(qū)間端點上，可得，解關于的方程，即可得出結論.【詳解】有指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，（且）在有單調(diào)性，依題意，，整理得，解得或（舍去）.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查函數(shù)的最值，屬于基礎題.11.已知函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖像關于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平移關系得出，由已知為偶函數(shù)，可得，求出，結合，即可求出結論.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)，的圖像關于軸對稱，即為偶函數(shù)，所以，解得，的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像變換關系，并考查變換后函數(shù)的性質(zhì)，應用函數(shù)奇偶性求參數(shù)范圍，屬于中檔題.12.對于函數(shù)，，設，，若存在，使得，則稱互為“零點相鄰函數(shù)”.若與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得在上為增函數(shù)，且，從而推斷只有唯一零點2，由題意可得在至少有一零點，令，分別參數(shù)可得，令，轉化為與在有交點，化簡，由一次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可知為增函數(shù)，所以可得，從而得到的取值范圍.【詳解】，且在上為增函數(shù)，所以只有唯一零點2，是“零點相鄰函數(shù)”，在至少有一零點，由，所以，設，與在有交點，，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可知為增函數(shù)，所以，要使與在有交點，需，即為的取值范圍.故選:B.【點睛】本題以新定義為背景，考查函數(shù)的零點以及零點存在的范圍，解題的關鍵是分別參數(shù)構造新函數(shù)，轉化為參數(shù)與新函數(shù)的圖像、值域關系，屬于較難題.二、填空題13.計算：_______.【答案】5【解析】分析】依據(jù)對數(shù)的運算公式以及分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，即可求解.【詳解】.故答案為:5.【點睛】本題考查對數(shù)以及分數(shù)指數(shù)冪的運算，熟記計算公式是解題的關鍵，屬于基礎題.14.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】分析：利用對數(shù)函數(shù)的定義域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式組即可的得結果.詳解：要使函數(shù)有意義，則，故答案為.點睛：求定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域由不等式求出.15.已知角的終邊經(jīng)過點，且，則________.【答案】6【解析】【分析】由，解方程，即可得出結論.【詳解】，整理得.故答案為:6.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，要留意推斷參數(shù)的取值范圍，屬于基礎題.16.函數(shù)，若方程恰有3個不同的實數(shù)解，記為，，，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】做出函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像推斷出三個零點關系以及范圍，將問題轉化為以其中一個零點為自變量的函數(shù)值，即可求得結論.【詳解】做出函數(shù)圖像如下圖所示：恰有3個不同的實數(shù)解，，不妨設，，關于直線對稱，，.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)零點和的取值范圍，考查函數(shù)的圖像以及函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵要利用函數(shù)的對稱性求出部分零點和，屬于中檔題.三、解答題17.已知全集，集合，.（1）當時，求與；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）,或；（2）.【解析】【分析】（1）化簡集合，當時，求出集合，求出，即可求出結論；（2）得出，可得集合端點范圍，求解關于的不等式，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）解：由已知，得，當時，，故.或，或.（2）∵，∴，，解得實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查集合間的運算，考查集合的關系求參數(shù)，屬于基礎題.18.已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用誘導公式化簡函數(shù)可得，由已知得，分子分母同除以，化為，即可求解；（2）將所求的式子除以，構造關于齊二次分式，分子分母同除以，化為，即可求解；【詳解】（1）∵，∴（2）【點睛】本題考查誘導公式化簡函數(shù)，考查關于齊次分式的求值，化弦為切是關鍵，屬于基礎題.19.已知函數(shù).（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：對隨意實數(shù)，函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)；（2）試確定實數(shù)的值，使為奇函數(shù)，并用函數(shù)奇偶性的定義加以證明.【答案】（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】【分析】（1）任取，設，將做差，通分，因式分解，推斷各因式的符號，即可得證；（2）函數(shù)的定義域為，利用奇函數(shù)的必要條件，求出，求出整理化簡，即可證明結論.【詳解】（1）由已知，函數(shù)的定義域為，任取，設，則∵，∴，∴，又，∴，∴.∴在其定義域上增函數(shù).（2）要使是定義域為的奇函數(shù).則，得，此時下面用定義證明為奇函數(shù)∵∴為奇函數(shù).【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，并用奇偶性定義證明，屬于基礎題.20.資中血橙，是四川省內(nèi)江市資中縣特產(chǎn)，中國國家地理標記產(chǎn)品.資中血橙果實于次年1月成熟，果形整齊端莊，色澤鮮麗，果大皮薄，肉質(zhì)脆嫩化渣，汁多味濃，紫紅色，有玫瑰香味，無核，品質(zhì)極優(yōu)，其維生素C是其他橙類的兩倍.某水果批發(fā)商每箱進價為40元，假設每箱售價不低于50元且不高于55元.市場調(diào)査發(fā)覺，每箱血橙的銷售價格與日均銷售量之間的關系如下表所示：銷售價格（元/每箱）505152535455日均銷售量（箱）908784817875（1）求平均每天的銷售量（箱）與銷售單價（元/箱）之間的函數(shù)解析式；（2）求平均每天的銷售利潤（元）與銷售單價（元/箱）之間的函數(shù)解析式；（3）當每箱血橙的售價為多少元時，該水果批發(fā)商可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）（3）當每箱血橙售價為55元時，該水果批發(fā)商可以獲得最大利潤，最大利潤是1125元.【解析】【分析】（1）由圖表得出售價與銷售量的關系，即每箱銷售價格提高1元，則日均銷售量削減3箱，從而求出函數(shù)解析式；（2）每箱的利潤乘以（1）中的銷售量，即可求出利潤函數(shù)解析式；（3）將（2）中的利潤函數(shù)配方，結合自變量的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由表可知，每箱銷售價格提高1元，則日均銷售量削減3箱，所以，即（2）由題意，知（3）∵∴當時，為增函數(shù)當時，取最大值，且最大值1125答：當每箱血橙售價為55元時，該水果批發(fā)商可以獲得最大利潤，最大利潤是1125元.【點睛】本題考查函數(shù)應用問題，仔細審題，將實際問題轉化為數(shù)學模型，考查二次函數(shù)的最值，屬于中檔題.21.設函數(shù)（為常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)減區(qū)間；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）有最高點的縱坐標得，依據(jù)由五點作圖法知，由其次點、第五點橫坐標，得出關于的關系式，求解，即可求出解析式，用整體替換正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在上恒成立，轉化為在上恒成立，只需，利用整體思想結合正弦函數(shù)的值域，即可求解.【詳解】（1）依據(jù)圖象得，由五點作圖法知，解得所以函數(shù)的解析式.由，得故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）由題意在上恒成立所以當時，由，得當，即時，取得最大值∴，故的取值范圍是【點睛】本題考查由圖像求解析式，利用特別點坐標與五點畫法中點的關系求參數(shù)，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查恒成立問題，等價轉化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題.22.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）是否存在實數(shù)，使得在上的最小值為3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下若存在實數(shù)，使得不等式在時能成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）存在，且（3）【解析】【分析】（1）將代入，求出；（2）由已知得，假設存在符合條件的實數(shù)，令，得出，，依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關系，分類探討求出的最小值且等于3，求解關于的方程，即可求出結論；（3）在時能成立，，轉化為對能成立，令，，則，，，令.，，，用函數(shù)的單調(diào)性定義可證在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在的最大值為求出，即可得出結論.【詳解】（1）∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，∴，∴∴函數(shù)的解析式.（2）由（1）知，假設存在符合條件的實數(shù).令.∵，∴，∴.①當，即時，在上增函數(shù)，∴當時，有最小值，∴，即，符合條件.②當即時，在上為