第二章高等數(shù)學(xué)教案

教案

20092010學(xué)年第1學(xué)期

二^學(xué)院（部、中心）理學(xué)院

學(xué)科（專業(yè)）公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)部

課程名稱高等數(shù)學(xué)

授課對象2009級工商、信管

授課教師丁春梅

職稱職務(wù)教授

教材名稱高等數(shù)學(xué)

2009年8月1日

高等數(shù)學(xué)課程教案2-1

授課題目：第二章導(dǎo)數(shù)與微分授課類型理論課

§2-1導(dǎo)數(shù)的概念

授課時間2009-10-8

教學(xué)目標(biāo)或要求：

1.使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義的幾種形式；左、右導(dǎo)數(shù)的概念；

2.使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)幾何意義,會求曲線的切線方程；

3.使學(xué)生理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；

教學(xué)重點：導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)難點：用定義求分段點處的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)過程：

-導(dǎo)數(shù)概念的引入

問題I：瞬時速度問題

直線運動方程s=s（t）r0-r時間間隔的平均速度S=勺:手

t0-t時間間隔的平均速度7=

，一

2、f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的定義

若y=/(x)在開區(qū)間/=(。/)內(nèi)的每一點處均可導(dǎo)，就稱y=/(x)在/內(nèi)可導(dǎo)，且對Vxe/

事實上，.="―/(")或y，=lim/…7⑴

—Axh—oh

注(4)：上兩式中，x為I內(nèi)的某一點，一旦選定，在極限過程中就為不變，而Ax與/?

(5)：y=/(x)在x=x()的導(dǎo)數(shù)/'。0)就是導(dǎo)函數(shù)y=7'(x)在x=x()點的值，不要認(rèn)為是

(6)：為方便起見，導(dǎo)函數(shù)就稱為導(dǎo)數(shù)，而/''(Xo)是在與點的導(dǎo)數(shù)。

3、/(x)在出,切上可導(dǎo)的定義

若y=/(x)在開區(qū)間(。,刀內(nèi)可導(dǎo)，且以‘(a)及/(份都存在，則稱y=/(x)在閉區(qū)間[a,

b]

4、單側(cè)導(dǎo)數(shù)(左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù))

定理1：/(x)在x=x0點可導(dǎo)o/(x)在x=x0點的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)均存在，且相等，即

若lim"*)一/(飛)存在,就稱其值為/(x)在x=x0點的右導(dǎo)數(shù)，并記為九'(%),1

XTq+X-Xo

￡(X。)=lim"WA)=lim"x)-/(x。)稱為y(%)在x=/點的左導(dǎo)數(shù)。

hx-x0

三、求導(dǎo)數(shù)舉例

【例1】求函數(shù)/(x)=C(，為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。

解：在f(x)=c中，不論x取何值，起其函數(shù)值總為c,所以，對應(yīng)于自變量的增量Ax,有△y三0

注：這里是指/(x)=c在任一點的導(dǎo)數(shù)均為0,即導(dǎo)函數(shù)為0。

【例2】求f(x)=x"(〃為正整數(shù))在x=a點的導(dǎo)數(shù)。

丫"—n"

解：/'(a)=lim-~—=lim(x"-'+arn-2+……+a"~2x+a'-')=nan-'即/⑷=nan-'

Xf"x-a-?->?

亦即(X")[E=M"T，若將。視為任一點，并用X代換，即得/■'(%)=(￡')'=

注：更一般地，/(%)=無"(4為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)為/'(%)=〃r"T,由此可見，(6)，="1)

2V.

(Vx)f=^--U,(與=一-T(XH0)。

2A/xxx

【例3】求/(x)=sinx在x=a點的導(dǎo)數(shù)。

解：/'(?)=lim~=cosa，即(sinx)[=cosa

x-av=a

同理：若視。為任意值，并用X代換，使得/'(x)=cosx,即(sinx)'=cosx。

注：同理可證：(cosx)'=-sinx。

【例4】求/(》)=優(yōu)(。>0,。/1)的導(dǎo)數(shù)。

就、v/U+/0-/U)..ax+h-ax..ah-\

解：f(JC)=lim--------------------=lim-------------=ax-lim--------

"TOh*->o〃A-?Oh

所以(a")'=axIna。

注:特別地，(e，)'=e*。

【例5】設(shè)/局出2=4,證明4=/'(0)。

JV->0x

證明：因為匹/=四n11m以包二幽二人

x-0x7x-0

所以一=尸(0)。

【例6】若/(%)在尤0點可導(dǎo)，問：f(x0+h)-f(xn-h)

h

/(/+/?)—/(用一力)/(尤0+〃)-/(/)上/(/)-/(/-力)

解：--------------------二-------------------F----------------------------------------

hhh

f;(項))+((%)=2/'(4)。反過來，亦證明：/(、+〃)。

2h

【例7】求/(x)=log〃x(。>0,4W1)的導(dǎo)數(shù)。

解：八幻=1也^匕也心為止小=1

1m.=11m91m

/if。hh2。h

=in)—?log“(l+—”=-log^=——o

°xxxxlna

特別：(lnx)'=」。討論/(x)=W在x=0處的導(dǎo)數(shù)。

【例8】討論/(x)=N在x=0處的導(dǎo)數(shù)。

x,x>0

解：/?=nf(0)=0

—xx<()

因為/(x)的左導(dǎo)數(shù)為-1,右導(dǎo)數(shù)為1,所以在x=0點不可導(dǎo)；

注：［例8］也說明左可導(dǎo)又右可導(dǎo)，也不能保證可導(dǎo)；四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)I

四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=.f(x)在x=x0的$

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=/(%)在x=%的導(dǎo)數(shù)/)就是該曲線在％=4點處的切線斜擇

1

過曲線y=/(x)的切點P(%,y0)的切線方程為V—九=/'(尤o)(x—%)。法線方程為：)一九

r（x0）

導(dǎo)數(shù)的物理意義：尸(小)=上&是在點/的變化率，它反映了函數(shù)y=/(x)隨xfx0

注：P(Xo，yo)必為切點。

【例9】已知曲線方程為y=f

(1)求在點A(2,4)且與曲線相切的直線方程。

(2)求過點3(3,5)且與曲線相切的直線方程。

解：五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)

定理2：如果函數(shù)y=/(x)在x=/點可導(dǎo)，那么在該點必連續(xù)。

證明：由條件知：lim包=/'(%)是存在的，其中Ax=x—Xo，Ay=/(x)—/(Xo)，

z

由§1、5定理l(i)=>—=/'(%)+a(a為無窮小)=>Ay=/(x0)Ax+crAr

Ax

顯然當(dāng)Ax->0時，有Ayf0,所以由§1、9定義1,即得函數(shù)y=/(%)在x=%。點連

注1：本定理的逆定理不成立，即連續(xù)未必可導(dǎo)。

反例：丫=N在1=0點連續(xù)，但不可導(dǎo)。

x>0

【例10】求常數(shù)a/使得/*)=一在x=0點可導(dǎo)。

ax+bx<0

解：若使/(%)在x=0點可導(dǎo)，必使之連續(xù)，故Um/(x)=lim/(x)=/(O)

=>=a-0+b=>Z?=1o

又若使/(x)在x=0點可導(dǎo)，必使之左右導(dǎo)數(shù)存在，且相等，由函數(shù)知，左右導(dǎo)數(shù)是存在

所以若有a=l,則￡(0)=力(0),此時/(x)在x=0點可導(dǎo)，所以所求常數(shù)為

a=b=

教學(xué)手段與方法：

采用啟發(fā)式教學(xué)，以板書教學(xué)為主，輔之以多媒體課件教學(xué)。

思考題、討論題、作業(yè)：

習(xí)題2T3,4,9(7),12,17,18

參考資料(含參考書、文獻(xiàn)等)：

1、彭舟，《高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)》第六版，同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，航空工業(yè)出版社。

2、趙樹嫄主編，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社。

3、高校工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會編，《高等數(shù)學(xué)釋疑解難》，高教出版社。

4、崔榮泉，褚維盤，趙彥暉等，《高等數(shù)學(xué)重點內(nèi)容重點題》，西安交通大學(xué)出版

社，20040

5、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院鄒本滕，漆毅，王奕清，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》(同濟五版高等

數(shù)學(xué)配套用書)機械工業(yè)出版社，2002。

6、王綿森、馬知恩主編，《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》，高教出版社。

7、季文鐸主編，《工學(xué)碩士入學(xué)考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》北京理工大學(xué)出版社。

教學(xué)后記：

高等數(shù)學(xué)課程教案2-2

授課題目：第二章導(dǎo)數(shù)與微分授課類型理論課

§2-2函數(shù)的求導(dǎo)法則

授課時間2009-10-10

教學(xué)目標(biāo)或要求：

L使學(xué)生熟練掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；

2.使學(xué)生掌握反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；

3.使學(xué)生熟練掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；

教學(xué)重點：

L導(dǎo)數(shù)的運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；

教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

教承丙舂

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

定理1：若函數(shù)“(X)和v(x)在點/都可導(dǎo),則/(X)=M(X)±U(X)在與點也可導(dǎo)，且

f'(x0)=u'(x0)+v'(x0)0

證明，11m/(X)―/(X。)_11m[〃(/±丫*)]一[〃(/)±/*0)]

XTX。X-XoXT'。x-xo

..M(X)-?(XO),..V(X)-V(X0)、

=lim---------—±lim---------=u(x0)±v(x0)

1*0x-xoXT'。x-xo

所以/(%)=〃'(Xo)±/(/)。

注1:本定理可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)上去。

2:本定理的結(jié)論也常簡記為(M土U)'=M'土M。

定理2：若u(x)和v(x)在X=須；點可導(dǎo)，則/(X)=M(X)V(X)在X。點可導(dǎo)，且有

f'(x0)=u'(x0)v(x0)+w(x0)v(x0)\

證明：Um~~~~—-Inn~~~

Kf”X-XoXT.%X-Xo

_.u(x)v(x)-u(x0)v(x)+w(x0)v(x)-w(x0)v(x0)

XTX。X-Xo

u(x)-w(x0)/、」./v(x)-v(x0)

=lim---------—v(x)+limw(x0)---------

“fXox-xoX—XoX-Xo

w(x)-w(x0)/\|/\rv(x)-v(x0)

=lim----------limv(x)+w(x0)lim-----------

XTX。X-XQXTX。XTX。X-X

O

=/(%)v(x0)+〃(元0)Mao)

即/)=/(%)v(x0)+〃(尤o)M(%)。

注1：若取貝X)三C為常數(shù),則有：(cu)r-cuf;

2：本定理可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)的乘積上去，例如:

(UVWS)'=u'vws+uv'ws+uvw's+"UH37等。

定理3：若〃(x),n(x)都在x=點可導(dǎo)，且v(Xo)/O,則/(x)=在/點也可導(dǎo)，且

fl(x)="'(XoM/iaoWao)

2

-/_V(xo)

u(x)w(x0)

.n/U)-/(X)..心)心o)..“(X)心0)-U00)心)

證TR明：lrim----------------O-=lim----------------=lim-------------------------------

x-x0x—x0XT&(x-x0)v(x)v(x0)

..M(X)-M(X)1V(X)-V(X)1

=11mr[----------0---K一心。)----------0---

XT與X-XQv(x)X-%0v(x)v(x0)

“'Qo)心o)一〃(Xo)M(Xo)

=，(Xo)-^i(Xo)M(Xo)2：、

產(chǎn)(尤)

心0)v(x0)0

/(Xo)v(Xo)-"(Xo)M(Xo)

即/'(%)=

2

v(x0)

注1：本定理也可通過/(x)=“(％)?」一，及［」一］的求導(dǎo)公式來得;

v(x)v(x)

2：本公式間化為(一)=----；---;

vV

3：以上定理1?3中的公,若視為任意，并用x代替，使得函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)

函數(shù)公式。

2

【例1】設(shè)/(x)=x+2五_，求了'(X)。

4x

解:r(x)=(x2y[x--j=y=(%y+(24y-=i+—?-2(-~)?

11

=1+五+1°

【例2】設(shè)〃x)=x/ln%,求廣(x)。

解：f\x)=(xexInx)f=(x\exInx+x(ex)fIn九+x"(Inx\

=ex]nxex]nx+xex?—=e”(l+Inx+xlnx)。

x

【例3】

二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則

巨理4：設(shè)y=/（x）為x=e（y）的反函數(shù)，若°（y）在%的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且

。'（九）中。，則，（x）在x。（即/（%）點有導(dǎo)數(shù)）,且:（%）=七二。

1

工明：lim/（無）―/（/）=lim—匕2_=lim=

Xf飛x-xG）一九（p（y）一夕（%）＞6。。（丫）一。（〉0）

y-y。

-----A—1F=-T—所以1（X。）=一一。

11m。（）＜＞一8（＞’0）9（）'o）夕（打）

f。y-y。

注1：x-?x0oyty。，因為*（y）在九點附近連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)；

2：若視與為任意，并用x代替，使得尸（%）=——或半=」一,其中半，”均為整體

9（y）dx（dxdxdy

加

記號，各代表不同的意義；

3：/'（X）和e'（y）的”均表示求導(dǎo)，但意義不同；

4：定理4即說：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)；

5：注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式。

【例4】求^=arcsinx的導(dǎo)數(shù)，

解：由于y=arcsinx,xef-1,1],是1=5畝丁，ye的反函數(shù)，由定理1得：

7T71

/.V1111

（arcsinx）=------=-----=,—=/。

（siny），cosyJl—sin2y

注1：同理可證：（arccosx）'=——,（arctanx）'=-!~^,（arcctanx）'=---；

71-%21+尤l+x

.n

2：arcsinx+arcco&x=arctanx+arcctanx=—。

2

【例5】求y=k）g“x的導(dǎo)數(shù)（。＞0,。力1）。

解：利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自己做。

三、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

1、常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式：

(1)(c\=0(2)(x〃)'=/a〃T

(3)(sinx)"=cosx(4)(cosx)z=-sinx

(5)(tanx)'=sec?x(6)(cotx)f=-esc2x

(7)(secx)/=secx-tanx(8)(cscx)'=-cscx-cotx

(9)(axy=axIna(10)(exY=ex

(11)(log?x)=(12)(Inx)'--

x\naX

(14)(arccosx)f=——

(13)(arcsinx)’―—...：/1

717?

(15)(arctanr)'=—二

(16)(arccotx)f-----r

1+X1+X

(17)(shjc)f=chx(18)(chx)r-shx

(19)(thx\=—：

ch2x

(20)(arcshx\=(ln(x+A/X2+!))'=-1

Jx2+1

(21)(arcchxy=(ln(x+7x2-1))'=-1

(22)(arcthjc),=(—In=-

21—x1—x~

四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題是最最常見的問題，對一復(fù)合函數(shù)往往有這二個問題：1.是否可導(dǎo)？

2.即使可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如何求？復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式解決的就是這個問題。

定理5（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）：如果〃=e（x）在x=x（）點可導(dǎo)，且y=/（M）在〃=〃0=9（%）

點也可導(dǎo)，那么，以y=73）為外函數(shù)，以"=°（用為內(nèi)函數(shù)，所復(fù)合的復(fù)合函數(shù)

y=f"（x））在x=/點可導(dǎo),且引*=鳳=/'（"（））。'（/），或

"（。（切上而=/'3o）d（Xo）

、THHi./（9（X））-/（9（Xo））V/（?）-/（?（））Mx）一夕（4）

i止明：iim-----------------=iim------------------------

XT*OX-XQXTX°H一〃0x-XQ

=11m/(〃)一小。..).勒叭X)一叭x.。)=八"。).夕，(%)

"f"oU-UoXT%X-XQ

所以""(X))]勺尸尸(%)夕'(與3

注1：若視X。為任意，并用X代替，便得導(dǎo)函數(shù)：

如翌)=/(叭X))?叭X),或""(x))]'=尸(奴x))-"(x)

ax

dy_dydu

-,o

dxdudx

2：/(°(x))與"(0(x))]‘不同，前者是對變量〃=以幻求導(dǎo)，后者是對變量x求導(dǎo)，注

意區(qū)別。

3：注意區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)。

4：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可推廣到有限個函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)上去，如：

[-%)))]'=r(g①(幻)>g'(〃(%))?〃'(x)等。

[例6]求y=arctan—的導(dǎo)數(shù)。

x

解：>=紅山@11,可看成31或011〃與〃=,復(fù)合而成，

XX

(arctanw)/=―,(―)'=--,=y，=(arctan—)'=——\-----(--y)=------。

1+wxxx]+(一)2x1+x

X

【例7】y=x〃(〃為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。

解：y=xp=e"g皿y=e〃，〃=470=In]復(fù)合而成的。

r]

所以y=(%")'=(e")',(//v)',(lnx)'=e"?"?—=4—x"=//?x^~o

xx

由此可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)必須熟悉⑴基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；(ii)復(fù)合函數(shù)的分解；(iii)

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式；只有這樣才能做到準(zhǔn)確。在解題時，若對復(fù)合函數(shù)的分解非常熟悉，

可不必寫出中間變量，而直接寫出結(jié)果。

【例8】y=V1-x2,求y'。

解：v=(71-x2)f=[(1_/)盯=_L.1_.(1_/y=--Y。

2Vl-x2Vl-x2

4

【例9】y=e^,求y'。

解：解=(6后蒜)，=6句4.(Jl—sinjO'eg^

2Vl-sinx

1Vl-sinx—COSX1COSAJl-sin.v

=—e?,-=------/e。

2Vl-sinx2Jl-sinx

【例10]y=arcsin(2cos(x2-1)),求y'。

解：yf=(arcsin(2cos(x2-l))x=/=(2cosa：-l))r

71-[2cos(r2-l)]2

-,\=-2[-sinU2-l)]-(x2-iy

^/1-4COS2(X--1)

-2sin(x2-1)_4xsin(x2-1)

-i.2x=—/

-y1-4cos2(x2-1)"1-4cos2,-1)

【例n】y=ln(ln(lntan—)),求y'。

|r11r

解：y'----------------(ln(lntan-))'---------------------------(Intan—)r

ln(lntan-)2ln(lntan—)Intan—

222

11111111

JQX

22%t.Xsinx.X

COS一tan—Intan—InIntanIntan—InIntan—

222222

ex-e~x11

【例12】sh'x=(-~-)'=-(ex-e-x)'=-[(ex)'-(e-xy]

222

1

=-[ex+e-x],

2[e'-e-'(-l)]2

即s/z'x=c/zx。同理，chfx=shx0

【例13]y=ln(x+Jl+x)),求y'。

22

解：y=fln(x+71+x)]'=——Y——v-(x+^l+xy

X+Jl+x~

12x1

(1H------.)=/.=(arshx)

X+Jl+%2

同理：(ln(A：+Jx=-1)'=」一=(archx)'0

Vx2-1

教學(xué)手段與方法:

采用啟發(fā)式教學(xué)，以板書教學(xué)為主，輔之以多媒體課件教學(xué)。

思考題、討論題、作業(yè)：

2-22⑴⑵⑸⑻(10),3⑵⑶，7⑶⑸⑺⑻,8⑵⑷⑹⑻

例1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y-2x"-+7x-8；(2)y-2'+x~+；

，八..、，，、sinfqds,

(3)y=etz(o3sinx+4cosx)；(4)s=tcost----,求一|萬；

tdt

參考資料(含參考書、文獻(xiàn)等)：

1、彭舟，《高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)》第六版，同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，航空工業(yè)出

版社。

2、趙樹嫄主編，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社。

3、高校工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會編，《高等數(shù)學(xué)釋疑解難》，高教出版社。

4、崔榮泉，褚維盤，趙彥暉等，《高等數(shù)學(xué)重點內(nèi)容重點題》，西安交通大學(xué)

出版社，2004。

8、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院鄒本滕，漆毅，王奕清，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》(同濟五

版高等數(shù)學(xué)配套用書)機械工業(yè)出版社，2002。

9、王綿森、馬知恩主編，《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》，高教出版社。

10、季文鐸主編，《工學(xué)碩士入學(xué)考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》，北京理工大學(xué)出

版社。

教學(xué)后記：

高等數(shù)學(xué)課程教案2-3

授課題目：第二章導(dǎo)數(shù)與微分授課類型理論課

§2-3高階導(dǎo)數(shù)

授課時間2009-10-13

教學(xué)目標(biāo)或要求：

1.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；

2.掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法;

3.了解〃階導(dǎo)數(shù)的求法；

教學(xué)重點：初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法

教學(xué)難點：〃階導(dǎo)數(shù)的求法

教學(xué)內(nèi)容:

一、復(fù)習(xí)一階導(dǎo)數(shù)的定義

二、講解新課：

(一)高階導(dǎo)數(shù)的定義

d,

若質(zhì)點的運動方程s=s”)，則物體的運動速度為u(f)=s'(f),或丫(。=一，那么加

dt

速度a(f)是多少？

加速度?(/)是速度V”)對時間1的變化率，即a(t)是速度v(/)對時間f的導(dǎo)數(shù)：

a=a(t)=—=>a=?■(④)或a=M(f)=(s'。))'，由上可見，加速度a是s")的

dtdtdt

d2s

導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記為a=&丁或a=s〃(f),這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下列

dt2

定義：

定義：若函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(外在/點可導(dǎo)，就稱/'(X)在點人的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)

y=/(x)在點x0處的二階導(dǎo)數(shù)，記為/〃(/)，即lim"X)-=/〃(/),

XTX。X-Xo

此時，也稱函數(shù)y=/(x)在點/處二階可導(dǎo)。

注1：若y=/(x)在區(qū)間/上的每一點都二次可導(dǎo)，則稱/(x)在區(qū)間/上二次可導(dǎo)，并稱

f\x),xe1為/(%)在/上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡稱二階導(dǎo)數(shù)；

2：仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)/〃(x)可定義三階導(dǎo)數(shù)./?”(%),由三階導(dǎo)數(shù)/u幻可定義四

階導(dǎo)數(shù)/⑷(X),一般地，可由〃一1階導(dǎo)數(shù)定義〃階導(dǎo)數(shù)尸")(x);

,z，)

3:二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)函數(shù)分別記為：/(x0)-

4：未必任何函數(shù)所有高階都存在;

5：由定義不難知道，〃一1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為〃階導(dǎo)數(shù).因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個逐次向

上求導(dǎo)的過程，無須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了。

【例1】y=ax2+bx+c,求y",y",

解：y'=2ax+b=>y"~2a=y'"~0,y⑷=0。

【例2】y=e］求各階導(dǎo)數(shù)。

x

解：y=e，,/=",y"=e,y?)="，顯然易見，對任何n,有>(")=e',

即("嚴(yán)=e3

【例3】y=sinx,求各階導(dǎo)數(shù)。

冗

解：y=sinx,yr=cosx=sin(x+—)

(w)

一般地，有=sin(x+〃]),即(sinx)=sin(x+n^-)o

同樣可求得(cosx)""=cos(x+n—)

2o

【例4】y=ln(l+x),求各階導(dǎo)數(shù)。

r11l?2

解：y=ln(l4-x),y7+X>)—(1+X)2')-(1+X)3

(4)=__h2±

(1+X)4

一般地，有y(")=(—1)1匹121

(l+x)n

即(ln(l+X))"”=(-1產(chǎn)5一—。

(1+x)"

【例5】y=xJ〃為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)。

解:y=x",y'=W,T，<=〃(〃T)X'T,y'"=〃(〃一1)(〃一2)x〃-3,

*-1)(〃-2)(〃-3)1，

一般地，y<n,=一1)(〃-2)……(〃-n+l)x”"

叩即“嚴(yán)=〃(〃—1)(〃—2)……(〃-〃+l)xf

(i)當(dāng)M=%為正整數(shù)時,

〃(女時，(/)5)=女伏_1)(左_2)……(k-n+l)x^n；

”=左時，(/)(*)=&!(=〃!)；

”>女時，(，)(")=0；

(ii)當(dāng)〃為正整數(shù)時，必存在一自然數(shù)上，使得當(dāng)“〉女,(x")"')在x=0處不存在。

13-QI----

如：y=x2,/=-^2,y"=n九2,然而，％2在1=o處是無意義，即說明

3-

y'=：工2在1=。處無導(dǎo)數(shù)，或y"在％=0處不存在。

【例6】y=excosx,求y'"。

解：yr=e?Acosx+eA(-sinx)=eA(cosx-sinx)，

y,r="(cosx-sinx)+ev(-sinx-cosx)=eA(-2sinx),

y,n=-2(exsinx+excosx)=-2^A(sinx+cosx)。

(二)高階導(dǎo)數(shù)的運算法則

(1)[〃(%)土v(x)](n)=u(n)(x)±v(n)(x),

(2)(wv)r=u'v+uv\(〃u)"=urv+2urvr+(uvy=vimv+3〃"M+3uvn+uvm,

??????,

+u(0)v(n)o其中〃"))=〃4"))=u。---------Leibinz公式

【例7】上例中，求y⑸。

解：y⑸=(e"cosx)⑸=(1)⑸,cosx+C；(e")(4)(cosx)'+C；(e"y"(cosx)"

-excosx+5ex(-sinx)+10ex(-cosx)+l0exsinx+5excosx+e"(-sinx)

=exfcosx-5sinx-10cosx+10sinx+5cosx-sinx]

=ex(4sinx-4cosx)

4"(sinx-cosx)。

【例8】驗證y=c/為+，2"於滿足關(guān)系式：y"-^y=O（其中弓了？為任意常數(shù)）。

解：y'=-Ac2e-^ny"=+^c2e^

所以了="(年衣+026②)=；12'oy',-A2y=0.

r_3

【例9】驗證y=上二滿足關(guān)系式：2y'2=(y—l)y"。

x-4

x—31,1?1,2

解：y=-------=1+--------=>y=------------r，y=----------r

-x-4x-4^(x-4)2-(x-4)3

1

又2y'2—(y—l)y"=2.

U-4)4x-4'(x-4)3~

所以2y'2—（y—l）y〃=0。

教學(xué)手段與方法：

采用啟發(fā)式教學(xué)，以板書教學(xué)為主，輔之以多媒體課件教學(xué)。

思考題、討論題、作業(yè)：

（n）

1.求y=x"（n為正整數(shù)）的n階導(dǎo)數(shù)，n+1階導(dǎo)數(shù)，并求y（"）|<=0,y|x=l；

2.求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù)；

3.證明函數(shù)y=j2x-1滿足關(guān)系式y(tǒng)3y”+i=o；

4.設(shè)了二階可導(dǎo)，求,=/（"）+/3或y=/（5M2%）+卜抽/（刈2的一階、二階導(dǎo)數(shù)；

5.設(shè)f二階可導(dǎo)，求y=/（/）的二階導(dǎo)數(shù)。

參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等）：

1、彭舟，《高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)》第六版，同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，航空工業(yè)出

版社。

2、趙樹嫄主編，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社。

3、高校工科數(shù)學(xué)課程指導(dǎo)委員會編，《高等數(shù)學(xué)釋疑解難》，高教出版社。

4、崔榮泉，褚維盤，趙彥暉等，《高等數(shù)學(xué)重點內(nèi)容重點題》，西安交通大學(xué)

出版社，2004。

11、北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院鄒本滕，漆毅，王奕清，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》（同

濟五版高等數(shù)學(xué)配套用書）機械工業(yè)出版社，2002。

12、王綿森、馬知恩主編，《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》，高教出版社。

13、季文鐸主編，《工學(xué)碩士入學(xué)考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》，北京理工大學(xué)出

版社。

教學(xué)后記:

高等數(shù)學(xué)課程教案2-4

授課題目：第二章導(dǎo)數(shù)與微分授課類型理論課

§2-4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的

授課時間2009-10-17

導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率

教學(xué)目標(biāo)或要求：

1、熟練掌握隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法；

2、能求這兩類函數(shù)中比較簡單的二階導(dǎo)數(shù).

教學(xué)重點：1.求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.參數(shù)方程求導(dǎo)方法.

教學(xué)難點：1.隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).2..參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù).

教學(xué)內(nèi)容：

函數(shù)按自變量的個數(shù)多少可分為：一元、二元、……

函數(shù)按自變量與因變量的位置關(guān)系可分為：顯函數(shù)、隱函數(shù)。

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

以前，我們所接觸的函數(shù)，其因變量大多是由其自變量的某個算式來表示的，比如：

,2

y=x~+5,y=xsin—+e",z=xlny+e>sinx等等，象這樣一類的函數(shù)稱為顯函數(shù)。

X

但在實際問題中，函數(shù)并不全是如此。

定義設(shè)F(x,y)是定義在區(qū)域。UR?上的二元函數(shù)，若存在一個區(qū)域/,對于/中的每一個x的

值，恒有區(qū)間?/上唯一的一個值y,使之與x一起滿足方程：

尸(x,y)=O……(1)

就稱方程(1)確定了一個定義域為/,值域含于J中的函數(shù)，這個函數(shù)就稱為由方程(1)所確定

的隱函數(shù)，若將它記為y=/(x),xe/,則有：在/上，F(xiàn)(x,/(x))=O,

【例1】5/+4y—l=0確定了隱函數(shù)：>=二^一

【例2】f+y2=l能確定出定義在［_］,］］上的函數(shù)值不小于0的隱函數(shù)丁=J=巨，也能確定出

定義在［-1,1］上的函數(shù)值不大于0的隱函數(shù)y=-Vl-x2。

上面求了(無)的過程是將一個隱函數(shù)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，也稱為隱函數(shù)的顯化。

注1：在不產(chǎn)生誤解的情況下，其取值范圍可不必一一指明；

2：并不是任一方程(1)都能確定出隱函數(shù)，比如：x2+y2+1=0,不可能找到y(tǒng)=/(x),使

得爐+"(創(chuàng)2+1=0；

3：即使方程(1)能確定一個隱函數(shù)，但未必能象上二例一樣從方程中解出y,如：

y-x-|siny=O,我們可證明它確實能確定一個隱函數(shù)，但無法表示成y=.f(x)的形式，即不

能顯化。

實際問題中，有時需要計算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如果隱函數(shù)可顯化，則求導(dǎo)沒什么問題，同前一樣，

若隱函數(shù)不能顯化，我們就直接從(1)算出其隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(以后我們還將介紹更一般的方法)。

【例3】5x2+4y-l=0,求電。

dx

解：在方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，得

SAdycdy105

=

1Ox+4—=0—=----x—xo

dxdx42

【例4】求由方程e>'+xy—e=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)史；

dx

解：在方程的兩邊同時對％求導(dǎo)，得

【例5】求由方程V+sin肛=x-3/所確定的隱函數(shù)y在x=0處的導(dǎo)數(shù)電g；

dx

解：在方程的兩邊同時對冗求導(dǎo)，得

而當(dāng)x=0時，y=0：故代入上式得包|z=l

dx.

【例6】求由方程sin(x+y)=產(chǎn)cosx確定的曲線在點(0,0)處的切線方程；

二、對數(shù)求導(dǎo)法

有的顯函數(shù)是積的表達(dá)形式，或具有指數(shù)，直接求導(dǎo)不方便；若取對數(shù)后則得到和的形式或不存

在指數(shù)，直接求導(dǎo)變的很容易。

【例7】（1）y=（-

U+xJ⑶HL

三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(-)由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

x=vt

【例8】拋射體運動的參數(shù)方程，x1，求時刻t的運動速度S；

y^v2t--gt~

解再'=/，y,'=v2-gt,v==M+（丁—go?

且3的方向：tana=y'=-=-=

dxx/v{

x=a（t-sint）

【例9］求擺線方程