第6章空間向量與立體幾何單元綜合檢測(cè)（練習(xí)）-高二數(shù)學(xué)課堂（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）

第6章空間向量與立體幾何單元綜合檢測(cè)

一、單選題

1.下列說(shuō)法正確的是(????)

A.任一空間向量與它的相反向量都不相等

B.將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

D,不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量的基本概念及性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)中空間向量的描述判斷正誤即可.

【解析】A：零向量與它的相反向量相等，故錯(cuò)誤；

B：將空間中的所有單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故錯(cuò)誤；

C:空間向量與平面向量一樣，既有模又有方向，不能比較大小，故正確；

D：一個(gè)非零空間向量與它的相反向量不相等，但它們的模相等，故錯(cuò)誤；

故選：C

2.已知三棱柱ABC-44G，點(diǎn)P為線段耳G的中點(diǎn)，則AP=(????)

A.-AB+AC+-AA,B.AB+-AC+-AA

22122、

C.-AB+-AC-AA.D.-AB+-AC+AA.

22、22、

［答案］D

【旋析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可

【解析】解：在三棱柱ABC-A4G，點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn)，則

AB=ABC=BCi,BF=PG,

所以=M+=

=AA,+AB+^(BA+AC)

=^AB+^AC+AAt,

故選：D

3.若4：a,b.c是三個(gè)非零向量；q：{a,b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的?？(？??？)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用基底的判定方法和充分不必要條件的定義進(jìn)行判定.

【解析】空間不共面的三個(gè)向量可以作為空間的一個(gè)基底，

若a,h,。是三個(gè)共面的非零向量，則S,b,C不能作為空間的一個(gè)基底；

但若伍，b,C為空間的一個(gè)基底，則a,b,C不共面，

所以4,b,c是三個(gè)非零向量，即p是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.在正三棱柱"C-4內(nèi)￡中，若加=血網(wǎng)，則4%與8a所成的角的大小是（？??？）

A.60B.75c.90D.105

【答案】C

【分析】取BC的中點(diǎn)M,連接AA1,gM,可證明進(jìn)而可得與ML8G，再由正三

棱柱的性質(zhì)可得A"，BG，由線面垂直的判定定理可證明80_1面人用“，可得BG_LAB_即可求解.

【解析】如圖：取8c的中點(diǎn)M,連接AM,B{M,

設(shè)A8=0a，則B4=a,BG=6a,

0

在RtBB、M中，0aQ,

'a2

在Rt,B4G中，tanZBlC,B=-^-=^.

所以NBgM=NgC18,

所以NB|GB+=NBBM+NMBg=90,

所以B|M_L8G，

因?yàn)槿庵鵄8C-ABg是正三棱柱，

所以B81_L面ABC,AWu面A8C,所以

因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以AM_L8C,

因?yàn)?qBC=B,所以AMI面BCGB-

因?yàn)?￡u面BCCg,所以AMLBG，

因?yàn)锳Mc耳M=M,所以8GJ.而ABM，

因?yàn)锳B|U面A印0,所以

所以Ag與所成的角的大小是90,

5.下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（????）

①若他力,。}是空間的一個(gè)基底，則對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得

p=M+yb+zc；

②若兩條不同直線/，，〃的方向向量分別是a，b，則回〃Oa//〃；

③若｛QA,O8,OC｝是空間的一個(gè)基底，且。。=goA+：OB+goC,貝lj4B,C,。四點(diǎn)共面；

④若兩個(gè)不同平面a,夕的法向量分別是“,v,且“=。,2,-2),v=(-2,-4,4),則a*.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由空間向量基本定理判斷；②由方向向量的定義判斷；③由空間向量共面定理判斷；④由法

向量的定義判斷.

【解析】①若｛a,Ac｝是空間的一個(gè)基底，則對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,z),

使得〃=xa+)力+zc,由空間向量基本定理知，正確；

②若兩條不同直線/,機(jī)的方向向量分別是a，b.則似機(jī)=a〃A，由方向向量的定義知，正確；

③若｛。4,。8,0。｝是空間的一個(gè)基底，且0O=ga4+g08+；0C,則A,B,C,。四點(diǎn)共面，由空間向

量共面定理知，正確；

④若兩個(gè)不同平面a/的法向量分別是"“，且〃=(1，2,-2),v=(-2,Y,4),則a瞅由法向量的定義知，

正確.

故選：D

6.如圖，在正四棱柱ABCD-A4GR中，0是底面ABC。的中心，￡尸分別是84,。。的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是(????)

A.A.O//EF

B.\O±EF

C.A0〃平面E/隹

D.?平面

［答案］B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.

【解析】在正四棱柱A8CO-AA62中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

令==2仇”>0⑦>0),。是底面A3C。的中心，E尸分別是8片,OR的中點(diǎn)，

則0(a,a,0)，A(2a,0,2b),E(2a,2a,6)，K(2a,2“,23,F(0,0,))，=(a,-a,2b),FE=(2a,2a,0),EBi=(0,0,A),

對(duì)于A,顯然。4,與此不共線，即4。與EF不平行，A不正確；

對(duì)于B,因。4"E=a?2a+(—a>2a+0??=0,則04\*■五E，即AO_LEF,B正確；

對(duì)于C,設(shè)平面Eg的法向量為〃=(x,y,z),則0,令x=],得〃=(1,一1,0),

-EB、=hz=0

OAcn=2a>0,因此與〃不垂直，即4。不平行于平面E尸，C不正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，。4與〃不共線，即A0不垂直于平面D不正確.

故選：B

7.己知四棱柱A8CQ-A//G功的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB/。/的

距離為平，則直線BQ與平面A8Q所成角的余弦值為(????)

“3MR377_sflO「近

10101010

【答案】A

【分析】先由等面積法求得AA的長(zhǎng)，再以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,運(yùn)用

線面角的向量求解方法可得答案.

【解析】如圖，連接AG交用。于。點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)c作于〃，

則CH1平面ABR,則CH=生普，

設(shè)A4,二〃，

則AO=CO=J/+2,AC=2&,

貝I」根據(jù)三角形面積得W=^xAOxC//=ixACx,

代入解得a=20.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則40,0,2忘),旦(2,0,0),2(0,2,0),。(0,2,2應(yīng)),4〃=(0,2,-2&),。旦=(2,0,-20),用。=(一2,2,2及),

設(shè)平面A4。]的法向量為，=(x,y,z),

n-AD\=0即卜-2斤。,

令工=應(yīng),得“=(&,在i).

n?AB\—02x-2\/2z=0

EC\BDnx/10

cos(B,D,n)=-!t-------=------,

\BtD\\n\10

所以直線與。與平面A￡GR所成的角的余弦值為嚕,

故選：A.

8.如圖，在菱形ABCD中，AB=—,/皿＞=60。，沿對(duì)角線8。將△AB。折起，使點(diǎn)A,C之間的距

3

離為2萬(wàn)，若尸，Q分別為線段BO,C4上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(????)

A.平面平面BC。

B,線段PQ的最小值為近

C.當(dāng)4Q=QC,4包＞=。3時(shí)，點(diǎn)。到直線尸。的距離為巫

14

D.當(dāng)P,Q分別為線段3。，C4的中點(diǎn)時(shí)，PQ與AD所成角的余弦值為亞

4

［答案］C

【5■析】取89的中點(diǎn)。，易知，BD,OCLBD,結(jié)合條件及線面垂直的判定定理可得0A±平面BDC,

進(jìn)而有平面平面BOC,即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.

【解析】取BO的中點(diǎn)。，連接。AOC,

回在菱形ABC。中，AB=—,ZBAD=60°,

3

I2OA=OC=2,又AC=2&,

SOA2+OC2=AC2,所以O(shè)4_L8,

又易知。4,8￡),0C，8O,

因?yàn)镼4J_OC,OALBD,OC「BD=O,

所以O(shè)Al-平面BDC,

因?yàn)镺Au平面ABO,

所以平面ABD_L平面BOC,故A正確；

以。為原點(diǎn)，O8,OC,OA分別為％%z軸建立坐標(biāo)系，

貝IjB￥，O,O]C(O,2,O),A(O,O,2)，4吟

當(dāng)AQ=QC,4P￡>=￡>B時(shí)，Q(O,1,1),-率。,0),

PQ=DP=性。,0),

1

,PQ-DP3歷

所以點(diǎn)。到直線P。的距離為"=’而廣方=方，故C錯(cuò)誤;

V3

設(shè)P(a,0,0),設(shè)C0"C4=4(O,-2,2),可得。(0,2-24,22),

|PQ|=M+(2_21)2+(24)2=卜2+80-g)+2,

當(dāng)。=0,2=3時(shí)，|PQ1mhi=&,故B正確；

當(dāng)尸，。分別為線段8。，C4的中點(diǎn)時(shí)，

P(0,0,0),2(0,1,1),PQ=(O,U),AD=，￥，0,-2),

設(shè)PQ與AO所成的角為。，

aPQAD|276

則2麗=*F，

所以PQ與所成角的余弦值為手，故D正確；

故選：C.

二、多選題

9.在空間直角坐標(biāo)系。-小中，平面a的法向量”=(2,2,1),直線/的方向向量為m，則下列說(shuō)法正確的

是(????)

A.x軸一定與平面a相交B.平面a一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

C.若"?=(-1,-1,-；),貝!!/_LaD.若，"=(-1,0,2),則〃/a

【答案】AC

【分析】A選項(xiàng)，設(shè)設(shè)x軸的方向向量設(shè)為a=(U),0),通過(guò)計(jì)算公〃片0可以得到兩者一定相交；B選項(xiàng)直

接可以作出判斷；C選項(xiàng)通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)〃=_2〃?，可以作出判斷，D選項(xiàng)通過(guò)計(jì)算機(jī).〃=0,可以得到〃/C或

/在平面a上.

【解析】不妨設(shè)x軸的方向向量設(shè)為。=(1,0,0),則。?〃=(1,0,0)-(2,2,1)=2=0,故x軸一定與平面a相交，

A正確；平面a不一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，B錯(cuò)誤；因?yàn)?2,2,1)=-2(-1,-1,-；),即〃=_2〃?，故/，a,C正確；因

為“〃=(-1,0,2>(2,2,1)=-2+2=0,所以所以〃/a或/在平面a上，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

10.如圖，在平行六面體ABCO-AB|G。中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1,且它們彼此的夾角都是

60。，M為AG與的交點(diǎn)，若鉆=4")=。,9=。，則下列正確的是(????)

A.BM=-a--b+cB.AC,=a-^b-\-c

221

c.AG的長(zhǎng)為右D.cos(AB,AC)=q

【答案】BD

［分析)AB選項(xiàng)，利用空間向量基本定理進(jìn)行推導(dǎo)即可;C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，平方后計(jì)算出|北『=6,

從而求出口乙卜八；D選項(xiàng)，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行計(jì)算.

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A選項(xiàng)，BM=BBf+BlM=AAl+-[BA+BC)=-b--a+c,A錯(cuò)誤，

對(duì)于B選項(xiàng)，AC,=AB+AD+CCt=a+b+c,B正確：

2222

對(duì)于C選項(xiàng)，ACj=a+b+cf則|AC||=(a+b+c)=a+b+c+2a-b+2a-c+2b-c=6f

Kij|ACi|=V6,C錯(cuò)誤：

……ABAC.V6

對(duì)于ABAG=a^a+b+c^=a2+a-b+a-c=2則C'AC=阿網(wǎng)二行'D正確?

故選：BD.

TT

11.在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為菱形，NA8C=§,PAL平面ABC￡>,B4=A3=2,E為棱P8的

中點(diǎn)，尸為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為(????)

TT

A.平面平面P3CB.上9與平面A5C。所成角的最大值為工

c.E到面抬C的距離為亞D.AE與PC所成角的余弦值為:

24

【答案】CD

【分析】取8c的中點(diǎn)M,可證得AM,ARAP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，以AM,ARAP所在直線分別

為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個(gè)分析判斷.

【解析】取8c的中點(diǎn)M,連接AM,AC,

TT

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，ZABC=y,

所以AW_L8C,

因?yàn)镻AJ_平面ABC。，AM,A。u平面ABC。，

所以P4_LAM,PA_L4。，

所以4W,AE),AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，以A〃,AQ,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，則

A(0,0,0),8(6,-1,0),C(6,1,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

因?yàn)镋為棱尸B的中點(diǎn)，所以E?，-5/，

(22J

設(shè)尸(g,a,0)(-l<a<l),

對(duì)于A,設(shè)平面AEF的法向量為〃7=(%,如4),平面PBC的法向量為〃=(々,%*2)，

因?yàn)锳E==(G,a,0),尸8=(6,—1,—2),尸C=(6,1,-2),

(22]

V31n

m-AEyF+4=0n-PB=\/3x2-y2-2Z2=0

所以

n-PC=V3X2+y2-2z2=0

m?AF=+ay1-0

令x、=也,z=有,

若平面AEFJL平面尸BC,則帆?〃=3=0,解得〃=3不合題意，所以A錯(cuò)誤,

4a

對(duì)于B,平面ABC。的一個(gè)法向量為"=(0,0,2),￡/=停”+；,-1,

設(shè)所與平面4BCD所成角為氏則

I/\|APEF21

sin0=cos(AP,EF)=---n---=—.=

1、71AF^EF)3^.,J/+a+2，

2J—+1+。+。+—

V44

因?yàn)閍?+a+2=[a+‘]+—>—,所以sin94,

[2J447

因?yàn)檫~>_[,所以。大于g,所以B錯(cuò)誤，

726

對(duì)于C,設(shè)平面PAC的法向量為匕=(x,y,z),AP=(0,0,2),AC=(石,1,0),

令x=G則匕=(6-3,0),

所以E到面南C的距離為上空=212=立，

所以C正確,

\b\y/3+92

對(duì)于D,設(shè)AE與PC所成角為a,

AEPC2~2~

所以cosa=jcos^AE,尸C)卜

所以D正確,

A劇“出+；+1-V3+1+44

故選：CD

M

12.如圖，已知P為棱長(zhǎng)為1的正方體對(duì)角線8R上的一點(diǎn)，且BP=4BR,，€((),1)下面結(jié)論中正確的

有(????)

A.

B.AP可能與面APB垂直

2

C.當(dāng)AP+P。取最小值時(shí)，

717乃

D.若4e(O,l),則NAPCe

【答案】AC

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn),。4。。，。2分別為蒼了*軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐

一分析即可.

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為xy，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則B(l,1,0),0,(0,0,1),設(shè)P(x,y,z).

因?yàn)?AG(0,1),

所以BP=2BR,BP(x—1,j—1,z)=A(—1,—1,1),

解得「(1-41-/").

對(duì)于A,因?yàn)锳(1，0,1)，0(0,0,0),C,(0,1,1),

所以AO=(—1,0,—i),Cf=(l—4—1),

則AZ>GP=_ix(iT)+oxD+(_i)*(;i_i)=o,

所以ADLC7,故A正確，

對(duì)于B,因?yàn)锳(l，0,l)，4(1，0,0)，8(1，1,0),￡>|(0,0,1),

所以”=(-4-1),陰=(T,0,l),AB=(0,l,0),

AD.?n=0

設(shè)〃=(x,y,z)為面A8R的法向量，貝Ij

ABn=0

即〈n，令尤=1，則”=(1,0,1)，

u=。

假設(shè)AP與面APB垂直，即Af與面ABA垂直，

故A尸=〃〃,即(一41--1)=〃(1Q,1)=(〃,0,〃),

-2=〃

得1-％=0,此方程組無(wú)解，

/-1=//

即A/不可能與面AP8垂直，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于c,A,P+PD=7(l-/l-l)2+(l-A)2+(2-l)2+V(l-A)2+(l-/l)2+22

=2,3無(wú)-42+2=+-|,

2

則當(dāng)時(shí)，AP+PO取最小值，故c正確，

對(duì)于D,因?yàn)锳(l,0,0),C(o,1,0),

所以PA=-1,-2),PC=(2-1,2,-2),

PAPC3Z2-22

則c-阿網(wǎng)

3儲(chǔ)-2/1+13儲(chǔ)-2/1+1

2111

因?yàn)??0,1),所以彳433一24+1<2,則一彳W1-《萬(wàn)一1〈彳，

323Z--2/1+12

11(jr27r

則-2<cosZAPC<展則cosZAPC￡仁,可，故D錯(cuò)誤.

故選:AC

三、填空題

13.已知｛凡6,c｝是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p=4+2b+3c,｛a+b,Q-b,c｝是空間的另一個(gè)基底，用

基底0|十"4-。，＜'｝表示向量p=.

【答案】g(a+A)-g(〃-0)+3c

【分析】設(shè)p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zC9然后整理解方程組即可.

【解析】設(shè)〃=a+2Z?+3c=x(a+/?)+y(a-b)+zcf

即有。+28+3c=(x+y)a+(x—y)h+zc,

因?yàn)椋?。?已是空間的一個(gè)單位正交基底，

3

x=—

x+y=I2

所以有＜x_y=2n?y=_/,

z=3々

iz=3

31

pJrliiP=-(a+b)--(a-b)+3c.

故答案為：++

14.已知正方體ABC。-AACQ的棱長(zhǎng)為6,E為棱AR的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱Ag上的點(diǎn)，且4尸：尸片=1:5,

則EF-BC、=.

【答案】18

【分加】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

X

則E（6,0,3）,F（6,l,6）,B（6,6,0），G（0,6,6）,

所以即=（0,1,3）,BC；=（-6,0,6）,

所以ERBG=18,

故答案為：18

15.在平行六面體ABCD-AAGR中，底面ABC。為正方形，AB=2,M=3,^AB=A\AD=e,

若AC1=5,則cos0=__________.

【答案】|

【分析】利用向量運(yùn)算表示,耳，由此求得cos。.

2

【解析】AC^AB+AD+AArAC,=（AB+AD+AAi^

__2_2.2__

=AB^+AD+AA,+2ABAD+2ABAA.+2ADAA,

=4+4+9+0+2x2x3cos9+2x2x3cos9

=17+24cos0=25,cos3=—.

3

故答案為：g

16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-AgGR中，點(diǎn)M為線段8R上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論:

①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線片。夾角為30。；

②存在點(diǎn)M，使得C.M與平面AB,C夾角的正弦值為與;

③存在點(diǎn)M,使得三棱錐D「C、DM的體積為看；

④存在點(diǎn)M,使得a>〃，其中a為二面角的大小，夕為直線M4,與直線A3所成的角.

則上述結(jié)論正確的有.(填上正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】②③

【分析】對(duì)①：由連接4R,BC,,由4CL平面4BGR,即可判斷；對(duì)③：設(shè)M到平面CDRG的距離

為萬(wàn)，則斕z1,所以/一他“=%/卬>=京的/?即可判斷；對(duì)④：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系C-盯z,設(shè)8M=28〃(隱兒1),利用向量法求出cosa與cos)，比較大小即可判斷；對(duì)②：設(shè)GM

與平面ABC夾角為凡利用向量法求出sin6=gs<G"，m>|，即可求解判斷.

【解析】解：對(duì)①：連接AQ,BG，在正方體A8CZ)-AAGA中，由平面8CC百，可得A8,4C,

又BC1BC-ABIB3=B,所以4C_L平面ABCQ,所以qC_LAM,故①錯(cuò)誤；

對(duì)③：設(shè)M到平面CQRC,的距離為〃，則啖加I,所以5—=Vv/-G°Q=§SG"D"=5x|x,2e[°^]>故③

正確；

對(duì)④：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-盯Z,設(shè)=28自(瞬兒1),

則AB=(-1,0,0),AA=(0,0,1),BDt=(1,-1,1),BM=(2,-A,,所以,A,M=(A-1,

—A，2-1),

cosB=|cos<AM,AB>|=|1=,j------,

“'IAMII4B|依―2

設(shè)平面w的法向量為九z),則0嘉二。。Jz=0

即1(/i-l)x-2^+(2-l)z=0

取〃=Q,X-1,0),又OA=(0,1,0)是平面ABgA的一個(gè)法向量,

又二面角M-AA.-B為銳二面角或直角,

n-DA.1—A1—A

所以cosa=1cos<〃,DA>|=l-------1=,==.=,

'I"IIDA|“2+([_])2以2-24+1

3A2-4/l+2-(2/l::-2/i+l)=22-22+l=(2-l)2>0,

二.3元-4A+222A~—2A+1,1—A..0,

.〔cos以,cosa,:.a?p，故④錯(cuò)誤.

對(duì)②：由④的解析知，C,M=(A,1-2,A-1),C4=(l,l,0),CB,=(0,1,1),

,n.—0a+b=0

，即

mCB=0b+c=0

(}

取a=l,則〃?=(1,一1,1),

設(shè)C|M與平面ABC夾角為e,令sing=bos<CM%>|=〔一_尸=坐，即3分-44+1=0,又

11V322-4>1+2XV33

0珊1,解得4=1或：，故②正確.

故答案為：（2）（3）.

四、解答題

17.如圖，在四棱錐中，底面A8CO是正方形，平面43a＞,24=2舫=4,點(diǎn)M是必

的中點(diǎn).

⑴求證：BDLCM-

（2）求直線PC與平面MC。所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可證明；

（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)線面角相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】（1）如圖，連接AC,

回四邊形ABC。是正方形，^\AC1BD.

又F4_L平面ABC。，8Z）u平面ABC。，^\PALBD,

回PA,4Cu平面PAC,PA-AC=A,

團(tuán)平面PAC,

又CMu平面PAC,

^BD±CM

（2）易知A8,AD,AP兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-“z.

^PA=2AB=4,0A（O,O,O）,P（0,0,4）,M（0,0,2）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

回MC=（2,2,—2）,MD=（0,2,-2）,PC=（2,2,Y）.

“z、fn-A/C=2x+2y-2z=0

設(shè)平面MCD的法向量為”=（x,y,z）,則1八c二八，

、'[n-MD=2y-2z=0

1TC

令y=l,得”=（0,1,1）.設(shè)直線PC與平面MS所成角為。，由圖可知0＜。＜,，

則訃峭:叱-岡=B

1'八|〃|附|廬島歷西了6

即直線PC與平面MCD所成角的正弦值為正.

6

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD,AD=CD=BC=PA=PC=-AB,BC1PA.

2

(1)證明：平面P3C1平面PAC；

(2)若PB=2插,求點(diǎn)8到平面PAD的距離.

【答案】⑴證明過(guò)程見(jiàn)詳解

(2)處

【分析】(1)由已知可證AC上8C,結(jié)合BCJPA,可證8C人平面PAC,即可證結(jié)論；

(2)結(jié)合(1)先證明PO,OE,兩兩垂直，并得出需要的線段長(zhǎng)，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平

面PAD的一個(gè)法向量與A3,代入公式即可解答.

【解析】(1)取A8的中點(diǎn)為E,連接CE,可知四邊形ADCE是平行四邊形，回CE=；AB,

團(tuán)點(diǎn)C在以A8為直徑的圓上，SAC1BC.

又BC上PA,PAAC=A，且P4,ACu平面PAC,G1BC/平面P4C,

又3Cu平面P8C,回平面PBC1平面PAC.

(2)(3BCJ.平面PAC,PCu平面PAC,?BC_LPC,

由尸8=2&，BC=PC,得8c=2,AC=2石.

138c上平面PAC,又BCu平面A8C￡>,團(tuán)平面A8CD/平面PAC,

連接￡>E交AC于點(diǎn)。，則。為AC的中點(diǎn)，連接PO,則PO_LAC,且PO=1,

13平面A5CD工平面PAC,平面ABCDc平面R4C=AC,回尸0人平面ABC。，

^POIOE,由題意可知，OE//BC,^OEIAC,

故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A（"0,0）,尸（0,0,1）,B（-G,2,0）,￡>(0-1,0)

則AD=（-8,-1,0）,AP=（-73,0,1）,^=(-273,2,0),

ADn=0-yfix-y=0

設(shè)平面PAD的法向量為九=（x,y,z）,【，得

APn=0-至ix+z=0

令x=l,則〃,

點(diǎn)B到平面PAD的距離為|土聲|=|書'g⑨.

19.如圖，將長(zhǎng)方形0/14。（及其內(nèi)部）繞0。旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中04=1,OQ=2,劣弧AM的長(zhǎng)

為J,A8為圓。的直徑.

O

⑴在弧A3上是否存在點(diǎn)C（＜7,用在平面。44。的同側(cè)），使8（?，4用，若存在，確定其位置，若不存在,

說(shuō)明理由；

（2）求平面A0B與平面40#夾角的余弦值.

【答案】⑴存在，當(dāng)BC為圓柱。。的母線，BCVAB,

（2）^1

17

【分析】（1）當(dāng)8c為圓柱OQ的母線，證明BC上平面A8,C，從而得出BC_LA與；

（2）以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出平面4。田與平面片。8夾角的余弦值.

【解析】（1）存在，當(dāng)AC為圓柱。。的母線，BCLAB,.

連接8cAe,8C，因?yàn)锽C為圓柱。?的母線，所以4C，平面ABC,

又因?yàn)?Cu平面ABC,所以

因?yàn)锳8為圓。的直徑，所以3CLAC.

BC±AC,BlCA.BC,ACr>B,C=C,所以BCJ,平面A0C，

因?yàn)锳gu平面AB。，所以BC_LAB1.

(2)以。為原點(diǎn)，0AOQ分別為y,z軸，垂直于y,z軸直線為X軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

A(0,1,2),q(0,0,2),3(0,-1,0),

因?yàn)锳內(nèi)的長(zhǎng)為￡,所以“。百=5，.[，坐,2],?；?(0,-1,一2),

6o122

。蜴=

設(shè)平面的法向量zn=(x,y,z),

-y-2z=0,

'1y/3令x=-3，解得y=石,z=,

-x+—y=0,2

[22

(

所以《?=-3,6,---.

\/

因?yàn)閄軸垂直平面A?；颍栽O(shè)平面AOB的法向量7=(1,0,0).

cos(m,n

所以

所以平面4。超與平面片。田夾角的余弦值為嚕.

20.如圖，在三棱柱ABC-44G中，BC=CCt,AC=AB[.

(1)證明：平面A8G，平面BCCg；

⑵若BC=6AC,AB=B.C,/CBBI=60°,求直線84與平面A4G所成角的正弦值.

【答案】⑴見(jiàn)解析；

喈.

【分析】(1)設(shè)BGBC=。,連接A0,由題意可得。為8G，8c的中點(diǎn)，又因?yàn)?C=CG，AC=ABt,所

以CO_LBG，A01BtC,從而可得qCJL平面ABG，即可證明平面ABC；，平面BCC內(nèi)；

(2)建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。仇。用所在的直線分別為x軸，y軸，z軸的空間坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【解析】(1)證明：設(shè)8》8c=。,連接A。,如圖所示：

則。為的中點(diǎn)，

因?yàn)锽C=CG，

所以CO_LB￡,

即8cBG,

又因?yàn)?C=Ag,

所以AOJ.BC，

又因?yàn)锳OcBG=0,

所以BQ_L平面A8G，

又因?yàn)?Cu平面BCG國(guó)，

所以平面ABC,1平面BCC同；

(2)解：因?yàn)镹C8B1=60°,

所以CBq為正三角形，四邊形BCC￡為菱形，

因?yàn)?C="4C，4B=8|C,

設(shè)AC=1,則A8I=1,BC=g，

所以ACg為等腰直角三角形，

所以以=也，

2

又因?yàn)樗倪呅?CG片為菱形，

所以CO=O81=也，80=旦夜=立，

'222

又因?yàn)樗?4。=0,

所以O(shè)I+OB?=2+色=2=AB。，

44

所以O(shè)ALBG，

即OABCrgC兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。脫。片,04所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系:

z

A1

CL.

y

所以3(《-,0,0),B](0,^-,0)JC(0,——,0),A(0,0,-^-),C,(——,0,0)>

設(shè)A(Xo，%，Zo),

UliUULUg、萬(wàn)/

由CA=CjA1可得(0,-^-,/-)=(x()+-^-,y(),Zo),

所以x°=一半，%=￥，z°=孝，

所以A(-半，爭(zhēng)4

所以威=(一向孝當(dāng),熊=(_手,一字。),第=普,0凈,

設(shè)平面A/G的法向量為〃=a，y,z),

AG?〃=0

4AH=O

^^

-X-

-2-2)，=0

UHP^^

--

X+

-22z=0

令z=6,Mx=1,y=-5/3,

所以屋=(1,-6,6)，

設(shè)直線M與平面4片G所成角為0,

則有sin0=|cos<BA,n>|=J.

V7-V77

所以直線BAt與平面AqG所成角的正弦值為逅.

7

21.如圖1,4。分別是矩形A8CA上的點(diǎn)，AB=2AA.=2AD=2f0C=2。。，把四邊形沿A。

折疊，使其與平面A5CQ垂直，如圖2所示，連接A1,。。得到幾何體A8A-DC。.

⑴當(dāng)點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)時(shí)，證明：D.EVA.D.

⑵在棱43上是否存在點(diǎn)E,使二面角A-EC-。的平面角為g?若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

0

說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析:

（2）存在，|AE|=2-3.

【分析】（1）利用題設(shè)條件及面面垂直的性質(zhì)定理證得兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，

求得AR.E，由此可證得A。；

（2）利用（1）中結(jié)論，求出平面。CE與平面RCE的法向量，從而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)公式得

到關(guān)于％的方程，解之即可.

【解析】（1）由圖1易知圖2中，有

又因?yàn)槊鍭ACRJ■面ABCD,面\ADD,'面ABCD=AD,CDu面ABCD,

所以CDJ_面AAOA，又￡>2u面AA。。，故C￡>，￡>2，

故以。為原點(diǎn)，邊所在直線分別為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則0（0,0,0）,D\（0,0,1）,A（1,0,1）,c（0,2,0）,

不妨設(shè)4E=%,0<%<2,則E（l,%,0）,故4。=（一1,0,—1）,￡>￡=（1,%,—1）,

所以故。ELAQ.

（2）假設(shè)存在磯1,%,0）使二面角。-EC-。的平面角為g其中04%42,

6

因?yàn)?。R，平面所以O(shè)R=（0,0,1）可作為平面。CE的一個(gè)法向量，

因?yàn)镃.=（0,-=

r-D,E=0fx+yy—z=0

設(shè)平面〃CE的一條法向量為廠=（x,y,z）,則1,upn八,

r-CDt=0[-2y+z=0

令y=l,則x=2-%,z=2,故r=（2-%,1,2）,

因?yàn)槎娼茿-EC-Z）的平面角為

0

所以卜os<￡)Z)[,r'=cos^=等1

2-%)2+1+4

整理得3升_12%+11=0,解得%=2-4或%=2+4（舍去），

所以|AE|=%=2-9，

故在棱AB上存在點(diǎn)E,使二面角A-EC-。的平面角為，且|叫=2-巨

22.如圖①所示，長(zhǎng)方形A5CO中，4）=1,AB=2,點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，將^ADM沿4W翻折到/\PAM,

連接尸8,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.

p

⑴求四棱錐P-ABCM的體積的最大值；

⑵若棱依的中點(diǎn)為N,求CN的長(zhǎng)；

⑶設(shè)P-AM-O的大小為6,若。,求平面R4"和平面P8C夾角余弦值的最小值.

【答案】⑴立

4

⑵且

2

(吟

【分析】(1)作出輔助線，得到當(dāng)平面尸AM團(tuán)平面ABC"時(shí)，P點(diǎn)到平面ABCM的距離最大，四棱錐

P-A8CM的體積取得最大值，求出「G=』AM=也，從而得到體積最大值；(2)作出輔助線，證明出

22

四邊形CNQM為平行四邊形，從而得到CN=MQ==—;(3)作出輔助線，得到回PGO為

2

尸-AM-D的平面角，即NPGD=e,建立空間直角坐標(biāo)系,用含e的關(guān)系式表達(dá)出平面