呼和浩特市第一中學2022年高考考前提分數(shù)學仿真卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則=A． B． C． D．2．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．23．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．204．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．5．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．6．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．7．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．408．洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù)．如圖，若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù)，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．9．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．10．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．84二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集為________14．從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為__________.15．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為__________．16．數(shù)學家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)，稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域為;②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數(shù)列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.18．（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標準長度為，只要誤差的絕對值不超過就認為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計圖如圖：（1）估計該批次產(chǎn)品長度誤差絕對值的數(shù)學期望；（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標準長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率的最小值.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，公差，等比數(shù)列滿足，，．求數(shù)列，的通項公式；若數(shù)列滿足，求的前項和．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.22．（10分）一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立．對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學生的運算求解能力.3．C【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的概念與運算，屬基礎(chǔ)題.4．A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。5．A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項和公式應(yīng)用，屬于中檔題6．B【解析】

先求出集合和它的補集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對于集合A，，解得或，故.對于集合B，，解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是：先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為，然后通過因式分解，求得對應(yīng)的一元二次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.7．B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，考查等差數(shù)列基本量的計算，是一道容易題.8．A【解析】

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個，由此能求出其和等于11的概率．【詳解】解：從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機選取1個數(shù)，基本事件總數(shù)，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個，其和等于的概率．故選：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點：1、程序框圖；2、定積分．10．C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡單題目.11．D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值，進而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得，，即，，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.12．D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質(zhì)，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可?！驹斀狻坑傻茫獾?，所以解集是?！军c睛】本題主要考查無理不等式的解法。14．【解析】

基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率．【詳解】從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種，分別為：，，，，，，，，，，則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為．故答案為：【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，求解時注意辨別概率的模型．15．【解析】

分類討論，時不合題意；時求導，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡得，構(gòu)造放縮函數(shù)對自變量再研究，可解,【詳解】令；當時，，不合題意；當時，，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當時，，當時，則.設(shè)，則.當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題.不等式恒成立問題的求解思路：已知不等式(為實參數(shù))對任意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍．利用導數(shù)解決此類問題可以運用分離參數(shù)法;如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(,或，)求解．16．②【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比小的有理數(shù)個數(shù)，即可確定④.【詳解】對于①，由定義可知，當為有理數(shù)時；當為無理數(shù)時，則值域為，所以①錯誤；對于②，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足，所以②正確；對于③，因為，當為無理數(shù)時，可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以③錯誤；對于④，由定義可知，所以④錯誤；綜上可知，正確的為②.故答案為：②.【點睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)；(2)是，【解析】

(1)根據(jù)及可得，再將點代入橢圓的方程與聯(lián)立解出，即可求出橢圓的方程；(2)可設(shè)所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點恒在一條直線上，結(jié)合圖形即可求出的面積．【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以，即，又，所以，①因為點在橢圓上，所以，②由①②解得，所以橢圓C的方程為．(1)可知，，可設(shè)所在直線的方程為，由，得，設(shè)，，，則，，設(shè)直線、、的斜率分別為、、，因為三點共線，所以，即，所以，又，因為直線、、的斜率成等差數(shù)列，所以，即，化簡得，即點恒在一條直線上，又因為直線方程為，且，所以是定值.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題，屬于中檔題．18．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列，再根據(jù)期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產(chǎn)品是標準長度的概率為0.4，即可求出隨機抽取2件產(chǎn)品，都不是標準長度產(chǎn)品的概率，由對立事件的概率公式即可得到隨機抽取2件產(chǎn)品，至少有1件是標準長度產(chǎn)品的概率，判斷其是否符合生產(chǎn)要求；當不符合要求時，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率為，可根據(jù)上述方法求出，解，即可得出最小值.【詳解】（1）由柱狀圖，該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對值的頻率分布列為下表：00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學期望的估計為.（2）由（1）可知任取一件產(chǎn)品是標準長度的概率為0.4，設(shè)至少有1件是標準長度產(chǎn)品為事件，則，故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率為，由題意，又，解得，所以符合要求時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標準長度的概率的最小值為.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的期望的求法，相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，對立事件的概率公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對題意的理解，意在考查學生的數(shù)學建模能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內(nèi)的直線且交于點，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，中點，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.20．，；.【解析】

由，公差，有，，成等比數(shù)列，所以，解得.進而求出數(shù)列，的通項公式；當時，由，所以，當時，由，，可得，進而求出前項和．【詳解】解：由題意知，，公差，有1，，成等比數(shù)列，所以，解得．所以數(shù)列的通項公式．數(shù)列的公比，其通項公式．當時，由，所以．當時，由，，兩式相減得，所以．故所以的前項和，．又時，，也符合上式，故.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，通項公式，前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，方程思想，分類討論思想，應(yīng)用意識，屬于中檔題．21．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由