高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)訓(xùn)練 理 新人教A版

【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)訓(xùn)練理新人教A版eq\a\vs4\al(第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù))[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化．3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．1.考查形式為選擇題或填空題．2.三角函數(shù)的定義與三角恒等變換等相結(jié)合，考查三角函數(shù)求值問題，如年新課標(biāo)全國T5等．3.三角函數(shù)的定義與向量等知識相結(jié)合，考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，如年山東T16等.[歸納·知識整合]1．角的有關(guān)概念角的特點角的分類從運動的角度看角可分為正角、負角和零角從終邊位置來看可分為象限角和軸線角α與β角的終邊相同β＝α＋k·360°(k∈Z)(或β＝α＋k·2π，k∈Z)[探究]1.終邊相同的角相等嗎？它們的大小有什么關(guān)系？提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍，相等的角終邊一定相同．2．銳角是第一象限角，第一象限角是銳角嗎？小于90°的角是銳角嗎？提示：銳角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是銳角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是銳角，如0°，－30°都不是銳角．2．弧度的概念與公式在半徑為r的圓中分類定義(公式)1弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r23．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰ正正正Ⅱ正負負Ⅲ負負正Ⅳ負正負口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線[探究]3.三角函數(shù)線的長度及方向各有什么意義？提示：三角函數(shù)線的長度表示三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負．[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：選C∵eq\f(9,4)π＝eq\f(9,4)×180°＝360°＋45°＝720°－315°，∴與eq\f(9,4)π終邊相同的角可表示為k·360°－315°(k∈Z)．2．(教材習(xí)題改編)若角θ同時滿足sinθ＜0且tanθ＜0，則角θ的終邊一定落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D由sinθ＜0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ＜0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只能位于第四象限．3．已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：選C設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)l·r＝2，))解之得l＝r＝2或r＝1，l＝4，故圓心角θ＝1或4.4．(教材習(xí)題改編)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則x的值為________．解析：∵cosα＝eq\f(－x,\r(－x2＋－62))＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,\f(x2,x2＋36)＝\f(25,169)，))解之得x＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)5．若點P在角eq\f(2π,3)的終邊上，且|OP|＝2，則點P的坐標(biāo)是________．解析：∵角eq\f(2,3)π的終邊落在第二象限，∴可設(shè)P(x，y)，其中x＜0，y＞0，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝cos\f(2,3)π，,\f(y,2)＝sin\f(2,3)π，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\r(3)，))∴P(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))象限角及終邊相同的角[例1](1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角；(3)已知角α為第三象限角，試確定2α的終邊所在的象限．[自主解答](1)∵在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，∴終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．依題意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)＜2π?－eq\f(3,7)≤k＜eq\f(18,7)，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21).(3)由α是第三象限角，得π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負半軸．在(3)的條件下，判斷eq\f(α,2)為第幾象限角？解：∵π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，eq\f(π,2)＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(3,4)π＋2nπ，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，eq\f(3,2)π＋2nπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(7,4)π＋2nπ，∴eq\f(α,2)為第二或第四象限角．———————————————————1．由α所在的象限，確定eq\f(α,n)所在象限的方法(1)由角α的范圍，求出eq\f(α,n)所在的范圍；(2)通過分類討論把角寫成θ＋k·360°(k∈Z)的形式，然后判斷eq\f(α,n)所在象限．2．已知三角函數(shù)式的符號判斷角所在的象限可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號確定三角函數(shù)值的符號，再判斷角所在的象限．1．(1)已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(|cosθ|,cosθ)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3(2)已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：(1)選B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同角的概念知，α的終邊在第四象限，又θ與α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.(2)選B∵點P(tanα，cosα)在第三象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＜0，,cosα＜0，))∴α是第二象限角.三角函數(shù)的定義[例2]已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．[自主解答]∵由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點)，得r＝eq\r(3＋m2).從而sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，于是3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).當(dāng)m＝eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，∴cosα＝－eq\f(\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).———————————————————利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：①角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x；②縱坐標(biāo)y；③該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)．2．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|.當(dāng)t＞0時，即x>0時，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t＜0時，即x<0時，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，當(dāng)角α的終邊在直線3x＋4y＝0的x>0部分時，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)；當(dāng)角α的終邊在直線3x＋4y＝0的x<0部分時，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).弧度制下扇形弧長與面積公式的應(yīng)用[例3]已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．[自主解答](1)∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l(xiāng)＝Rα＝10×eq\f(π,3)＝eq\f(10π,3)cm.(2)∵扇形的周長20，∴2R＋l＝20，即2R＋Rα＝20，∴S＝eq\f(1,2)R2α＝eq\f(1,2)R(20－2R)＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25，∴當(dāng)R＝5時，扇形的面積最大，此時α＝eq\f(20－10,5)＝2，即α＝2弧度時，這個扇形的面積最大．(3)S弓形＝eq\f(1,2)R2α－eq\f(1,2)R2sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×4×eq\f(π,3)－eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2π,3)－eq\r(3)，即弓形的面積為eq\f(2π,3)－eq\r(3)cm2.若將本例(1)中的“R＝10cm”改為“扇形的弦AB＝10eq\r(2)cm解：由題意得eq\f(5\r(2),R)＝sin30°，即R＝10eq\r(2)，故弧長l＝Rα＝10eq\r(2)×eq\f(π,3)＝eq\f(10\r(2)π,3)cm.———————————————————弧度制的應(yīng)用(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．記住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，α(0＜α＜2π)為圓心角，S是扇形面積．3．已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10，(1)求弦AB所對的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S.解：(1)如圖所示，過O作OC⊥AB于點C，則AC＝5，在Rt△ACO中，sin∠AOC＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝eq\f(π,3)，∴l(xiāng)＝|α|r＝eq\f(10π,3).S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).又S△AOB＝eq\f(1,2)×10×10sineq\f(π,3)＝25eq\r(3)，∴S弓形＝S扇－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))).1條規(guī)律——三角函數(shù)值的符號規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2個技巧——三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上異于原點的任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點，|OP|＝r一定是正值．(2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧．4個注意點——理解角的概念、弧度制及三角函數(shù)線應(yīng)注意的問題(1)第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．(2)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(3)要熟記0°～360°間特殊角的弧度表示．(4)要注意三角函數(shù)線是有向線段.創(chuàng)新交匯——三角函數(shù)的定義與向量的交匯問題三角函數(shù)的概念是考查三角函數(shù)的重要工具，在高考命題中很少單獨考查，常結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識、三角恒等變換和向量等知識綜合考查，涉及的知識點較多，但難度不大．[典例](·山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動．當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，的坐標(biāo)為________．[解析]因為圓心移動的距離為2，所以劣弧＝2，即∠PCA＝2，則∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，CB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以＝(2－sin2，1－cos2)．[答案](2－sin2,1－cos2)eq\a\vs4\al([名師點評])1．本題具有以下創(chuàng)新點(1)本題考查三角函數(shù)與向量的知識，表面看似向量問題，其實質(zhì)是考查三角函數(shù)的概念問題．(2)通過靜止問題解決動態(tài)問題，考查了考生處理變與不變的能力、運算求解能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力．2．解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(1)正確理解圓的滾動過程，確定圓心C的坐標(biāo)；(2)正確作出輔助線，并求得BP與BC的長度；(3)正確應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算求出的坐標(biāo)．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])1．(·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0,0)，P(6,8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(3π,4)后得向量，則點Q的坐標(biāo)是()A．(－7eq\r(2)，－eq\r(2)) B．(－7eq\r(2)，eq\r(2))C．(－4eq\r(6)，－2) D．(－4eq\r(6)，2)解析：選A設(shè)從x軸正方向逆時針到向量的角為α，則從x軸的正方向逆時針到向量的夾角為α＋eq\f(3,4)π，這里cosα＝eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).設(shè)Q坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)三角函數(shù)的定義x＝10coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,4)π))＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－7eq\r(2)，y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,4)π))＝－eq\r(2)，即Q(－7eq\r(2)，－eq\r(2))．2．如圖，設(shè)點A是單位圓上的一定點，動點P從A出發(fā)在圓上按逆時針方向轉(zhuǎn)一周，點P所旋轉(zhuǎn)過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數(shù)d＝f(l)的圖象大致為()解析：選C如圖取AP的中點為D.設(shè)∠DOA＝θ，則d＝2sinθ，l＝2θ，故d＝2sineq\f(l,2).一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()A．第一或第三象限 B．在第一或第二象限C．第二或第四象限 D．在第三或第四象限解析：選A當(dāng)k為偶數(shù)時，α的終邊與45°角的終邊相同，是第一象限角平分線；當(dāng)k為奇數(shù)時，α的終邊與45°角的終邊在同一條直線上，是第三象限角平分線．2．點A(sin2013°，cos2013°)在直角坐標(biāo)平面上位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C由2013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2013°角的終邊在第三象限，所以sin2013°＜0，cos2013°＜0，即點A位于第三象限．3．已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實數(shù)aA．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：選A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限內(nèi)或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))即－2＜a≤3.4．若α是第三象限角，則y＝的值為()A．0 B．2C．－2 D．2或－2解析：選A由于α是第三象限角，所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角，當(dāng)eq\f(α,2)是第二象限角時，y＝eq\f(sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(－cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝1－1＝0；當(dāng)eq\f(α,2)是第四象限角時，y＝eq\f(－sin\f(α,2),sin\f(α,2))＋eq\f(cos\f(α,2),cos\f(α,2))＝－1＋1＝0.5．點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動eq\f(2π,3)弧長到達Q點，則Q點的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析：選A由三角函數(shù)定義可知Q點的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).6．已知扇形的周長是4cm，則扇形面積最大時，扇形的中心角的弧度數(shù)是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．3解析：選A設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝4，面積S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故當(dāng)r＝1時S最大，這時l＝4－2r＝2.從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．若點P(x，y)是300°角終邊上異于原點的一點，則eq\f(y,x)的值為________．解析：eq\f(y,x)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)8．(·遼源模擬)若三角形的兩個內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形為________．解析：∵sinαcosβ＜0，且α，β是三角形的兩個內(nèi)角．∴sinα＞0，cosβ＜0，∴β為鈍角．故三角形為鈍角三角形．答案：鈍角三角形9．已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為________．解析：∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m＞0，∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，∴m＝±eq\f(1,2).∵m＞0，∴m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知角α的終邊過點P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求α的三角函數(shù)值．解：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴－1<cosθ<0.∴r＝eq\r(9cos2θ＋16cos2θ)＝－5cosθ，故sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).11．一個扇形OAB的面積是1cm2，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解：設(shè)圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))則圓心角α＝eq\f(l,r)＝2.如圖，過O作OH⊥AB于H.則∠AOH＝1，故AH＝1·sin1＝sin1cm，故AB＝2sin1cm.12．角α終邊上的點P與A(a,2a)關(guān)于x軸對稱(a＞0)，角β終邊上的點Q與A關(guān)于直線y＝x對稱，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ解：由題意得，點P的坐標(biāo)為(a，－2a)，點Q的坐標(biāo)為(2a，所以，sinα＝eq\f(－2a,\r(a2＋－2a2))＝－eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(a,\r(a2＋－2a2))＝eq\f(1,\r(5))，tanα＝eq\f(－2a,a)＝－2，sinβ＝eq\f(a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(1,\r(5))，cosβ＝eq\f(2a,\r(2a2＋a2))＝eq\f(2,\r(5))，tanβ＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝eq\f(－2,\r(5))·eq\f(1,\r(5))＋eq\f(1,\r(5))·eq\f(2,\r(5))＋(－2)×eq\f(1,2)＝－1.1．(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；(2)在0°～720°的范圍內(nèi)，找出與eq\f(2π,5)終邊相同的角．解：(1)∵－1480°＝－1480°×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(74π,9)rad，又－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)＝－5×2π＋eq\f(16π,9)，故－1480°＝eq\f(16π,9)＋(－5)×2π.(2)∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴終邊與eq\f(2π,5)相同的角為θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．當(dāng)k＝0時，θ＝72°；當(dāng)k＝1時，θ＝432°，∴在0°～720°的范圍內(nèi)，與eq\f(2π,5)終邊相同的角為72°，432°.2．(1)如果點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，試判斷角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，試判斷eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符號是什么？解：(1)因為點P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθcosθ＜0,2cosθ＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＞0，,cosθ＜0，))所以θ為第二象限角．(2)∵2kπ＋eq\f(π,2)＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，∴－1＜cosθ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π(k∈Z)，－1≤sin2θ＜0，∴sin(cosθ)＜0，cos(sin2θ)＞0.∴eq\f(sincosθ,cossin2θ)＜0.∴eq\f(sincosθ,cossin2θ)的符號是負號．3．已知一扇形的圓心角為α(α＞0)，所在圓的半徑為R.若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？解：∵扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))2＝eq\f(C2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16)，當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時，扇形面積有最大值eq\f(C2,16).4．設(shè)θ是第二象限角，試比較sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大小．解：∵θ是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(θ,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)是第一或第三象限的角．(如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得：①當(dāng)eq\f(θ,2)是第一象限角時，sineq\f(θ,2)＝AB，coseq\f(θ,2)＝OA，taneq\f(θ,2)＝CT，從而得，coseq\f(θ,2)＜sineq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2)；②當(dāng)eq\f(θ,2)是第三象限角時，sineq\f(θ,2)＝EF，coseq\f(θ,2)＝OE，taneq\f(θ,2)＝CT，得sineq\f(θ,2)＜coseq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).綜上所得，當(dāng)eq\f(θ,2)在第一象限時，coseq\f(θ,2)＜sineq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2)；當(dāng)eq\f(θ,2)在第三象限時，sineq\f(θ,2)＜coseq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式[備考方向要明了]考什么怎么考1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.1.以選擇題或填空題的形式考查利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決條件求值問題，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如年遼寧T7等．2.作為一種運用與三角恒等變換相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，主要起到化簡三角函數(shù)關(guān)系式的作用.[歸納·知識整合]1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).[探究]1.如何理解基本關(guān)系中“同角”的含義？提示：只要是同一個角，基本關(guān)系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2eq\f(α,3)＋cos2eq\f(α,3)＝1，tan4α＝eq\f(sin4α,cos4α)等都是成立的，而sin2θ＋cos2φ＝1就不成立．2．誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號；eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．[探究]2.有人說sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你認為正確嗎？提示：不正確．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.3．誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”是否與α的大小有關(guān)？提示：無關(guān)，只是把α從形式上看作銳角，從而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，eq\f(π,2)－α，eq\f(π,2)＋α分別是第一，三，四，二，一，二象限角．[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)已知cos(π＋α)＝eq\f(1,2)，則sinα的值為()A．±eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．±eq\f(\r(3),2)解析：選Dcos(π＋α)＝－cosα＝eq\f(1,2)，∴cosα＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝±eq\r(1－cosα2)＝±eq\f(\r(3),2).2．tan690°的值為()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：選Atan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).3．(教材習(xí)題改編)若tanα＝2，則eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)的值為()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(5,3)解析：選Ceq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－1,tanα＋1)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3).4．(教材習(xí)題改編)已知tanα＝eq\r(3)，π＜α＜eq\f(3,2)π，則cosα－sinα＝________.解析：∵tanα＝eq\r(3)，π＜α＜eq\f(3,2)π，∴α＝eq\f(4,3)π，∴cosα－sinα＝coseq\f(4,3)π－sineq\f(4,3)π＝－coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)－1,2).答案：eq\f(\r(3)－1,2)5．計算sineq\f(10π,3)－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＝________.解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,3)))－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(3π,4)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))－eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))－taneq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＋eq\r(2)coseq\f(π,4)－eq\r(3)＝－eq\f(3\r(3),2)＋1.答案：－eq\f(3\r(3),2)＋1同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用[例1]已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求tanα的值；(2)把eq\f(1,cos2α－sin2α)用tanα表示出來，并求其值．[自主解答](1)法一：聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得cosα＝eq\f(1,5)－sinα，將其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形內(nèi)角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).法二：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).∵sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0.∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sinα－cosα＝\f(7,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).(2)eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(sin2α＋cos2α,cos2α),\f(cos2α－sin2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α).∵tanα＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝－eq\f(25,7).保持本例條件不變，求：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋2sinαcosα的值．解：由例題可知tanα＝－eq\f(4,3).(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)＝eq\f(tanα－4,5tanα＋2)＝eq\f(－\f(4,3)－4,5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋2)＝eq\f(8,7).(2)sin2α＋2sinαcosα＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(\f(16,9)－\f(8,3),1＋\f(16,9))＝－eq\f(8,25).———————————————————同角三角函數(shù)關(guān)系式及變形公式的應(yīng)用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．(2)應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解：∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(3,8)，∴cosα＝±eq\f(\r(6),4).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[例2](1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))的值；(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－eq\f(3,5)，求sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))的值．[自主解答](1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝π，∴eq\f(5π,6)－α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(\r(3),3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴sin(3π＋α)·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7,2)π))＝sin(π＋α)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)π－α))))＝sinα·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝sinα·eq\f(cosα,sinα)＝cosα＝eq\f(3,5).———————————————————利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的思路和要求(1)思路方法：①分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式．2化簡要求：①化簡過程是恒等變形；②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值.2．(1)已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan2π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝()A.eq\f(9,16) B．－eq\f(9,16)C．－eq\f(3,4) D.eq\f(3,4)(2)設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα≠－\f(1,2)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________.解析：(1)選B∵方程5x2－7x－6＝0的根為x1＝2，x2＝－eq\f(3,5)，由題知sinα＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(3,4).∴原式＝eq\f(cosα－sinαtan2α,sinαcosα)＝－tan2α＝－eq\f(9,16).(2)∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用[例3]在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．[自主解答]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB②))①2＋②2得2cos2A即cosA＝eq\f(\r(2),2)或cosA＝－eq\f(\r(2),2).(1)∵當(dāng)cosA＝eq\f(\r(2),2)時，cosB＝eq\f(\r(3),2)，又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，∴C＝π－(A＋B)＝eq\f(7π,12).(2)∵當(dāng)cosA＝－eq\f(\r(2),2)時，cosB＝－eq\f(\r(3),2).又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(3π,4)，B＝eq\f(5π,6)，不合題意．綜上知，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).———————————————————1．三角形中的誘導(dǎo)公式在三角形ABC中常用到以下結(jié)論：sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).2．求角的一般步驟求角時，一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角．3．在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\r(2)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三個內(nèi)角．解：∵sinA＋cosA＝eq\r(2)，∴1＋2sinAcosA＝2，∴sin2A∵A為△ABC的內(nèi)角，∴2A＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,4).∵eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，∴eq\r(3)coseq\f(π,4)＝eq\r(2)cosB，∴cosB＝eq\f(\r(3),2).∵0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,6).∵A＋B＋C＝π，∴C＝eq\f(7π,12).∴A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7π,12).1個口訣——誘導(dǎo)公式的記憶口訣奇變偶不變，符號看象限．1個原則——誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則負化正、大化小、化到銳角為終了．3種方法——三角函數(shù)求值與化簡的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….3個防范——應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式應(yīng)注意的問題(1)利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號的確定．(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號．(3)注意求值與化簡后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.易誤警示——應(yīng)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系的誤區(qū)[典例](·重慶高考)若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝________.[解析]依題意得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).[答案]eq\f(4,3)eq\a\vs4\al([易誤辨析])1．解答本題時，常會出現(xiàn)以下兩種失誤(1)忽視題目中已知條件α的范圍，求得sinα的兩個值而致誤；(2)只注意到α的范圍，但判斷錯sinα的符號而導(dǎo)致tanα的值錯誤．2．由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，要注意以下兩點(1)題目中若沒有限定角α的范圍，則sinα或cosα的符號應(yīng)有兩種情況，不可漏掉．(2)若已給出α的范圍，則要準(zhǔn)確判斷在給定范圍內(nèi)sinα或cosα的符號，不合題意的一定要舍去．eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練])1．(·福州模擬)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝________.解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＝\f(sinα,cosα)＝2，,sin2α＋cos2α＝1，))由此解得cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，因此cosα＝－eq\f(\r(5),5).答案：－eq\f(\r(5),5)2．(·泰州模擬)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq\f(1,16)，則cosθ－sinθ的值是________．解析：(cosθ－sinθ)2＝1－sin2θ＝eq\f(15,16).∵eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，∴cosθ＜sinθ.∴cosθ－sinθ＝－eq\f(\r(15),4).答案：－eq\f(\r(15),4)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．α是第一象限角，tanα＝eq\f(3,4)，則sinα＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)解析：選Btanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝eq\f(3,5).2．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝()A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)解析：選Bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3,5).3．(·安徽名校模擬)已知tanx＝2，則sin2x＋1＝()A．0 B.eq\f(9,5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析：選Bsin2x＋1＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5).4．已知f(α)＝eq\f(sinπ－αcos2π－α,cos－π－αtanα)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選C∵f(α)＝eq\f(sinαcosα,－cosαtanα)＝－cosα，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).5．(·西安模擬)已知2tanα·sinα＝3，－eq\f(π,2)＜α＜0，則sinα＝()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選B由2tanα·sinα＝3得，eq\f(2sin2α,cosα)＝3，即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－eq\f(π,2)＜α＜0，解得cosα＝eq\f(1,2)(cosα＝－2舍去)，故sinα＝－eq\f(\r(3),2).6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為()A．1＋eq\r(5) B．1－eq\r(5)C．1±eq\r(5) D．－1－eq\r(5)解析：選B由題意知：sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθcosθ＝eq\f(m,4).∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．化簡eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ＋α)＋eq\f(sinπ－α·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinπ＋α)＝________.解析：原式＝eq\f(cosα·sinα,－cosα)＋eq\f(sinα－sinα,－sinα)＝－sinα＋sinα＝0.答案：08．若cos(2π－α)＝eq\f(\r(5),3)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則sin(π－α)＝________.解析：由誘導(dǎo)公式可知cos(2π－α)＝cosα，sin(π－α)＝sinα，由sin2α＋cos2α＝1可得，sinα＝±eq\f(2,3)，∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＜α＜π)).則sinα－cosα＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝eq\f(\r(2),3)，得sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，①將①兩邊平方得1＋2sinα·cosα＝eq\f(2,9)，故2sinαcosα＝－eq\f(7,9).∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))＝eq\f(16,9).又∵eq\f(π,2)＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3)，求eq\f(cosπ＋θ,cosθ[cosπ－θ－1])＋eq\f(cosθ－2π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝eq\f(1,3)，∴sinθ＝－eq\f(1,3).∴原式＝eq\f(－cosθ,cosθ－cosθ－1)＋eq\f(cosθ,cosθ·－cosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(cosθ,－cos2θ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝eq\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝18.11．已知關(guān)于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的兩根及此時θ的值．解：(1)原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－\f(sinθ,cosθ))＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ.由條件知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3)＋1,2)，故eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)＝eq\f(\r(3)＋1,2).(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，得m＝eq\f(\r(3),2).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sinθ·cosθ＝\f(\r(3),4)))知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,cosθ＝\f(1,2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(1,2)，,cosθ＝\f(\r(3),2).))又θ∈(0,2π)，故θ＝eq\f(π,6)或θ＝eq\f(π,3).12．是否存在α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，請說明理由．解：假設(shè)存在α、β使得等式成立，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin3π－α＝\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，①,\r(3)cos－α＝－\r(2)cosπ＋β，②))由誘導(dǎo)公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，③,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ，④))③2＋④2得sin2α＋3cos2α＝2，解得cos2α＝eq\f(1,2).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,4)或α＝－eq\f(π,4).將α＝eq\f(π,4)代入④得cosβ＝eq\f(\r(3),2).又β∈(0，π)，∴β＝eq\f(π,6)，代入③可知符合．將α＝－eq\f(π,4)代入④得cosβ＝eq\f(\r(3),2).又β∈(0，π)．∴β＝eq\f(π,6)，代入③可知不符合．綜上可知，存在α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)滿足條件．1．記cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C.eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))解析：選B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝eq\r(1－k2)，∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k)，tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).2．sin585°的值為()A．－eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選A注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).3．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，則tanα＝()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2解析：選B∵cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1得(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050)°＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1＝2.5．若sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．解：∵由題意知：sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，∴(sinθ＋cosθ)2＝eq\f(1,25).∴sin2θ＝－eq\f(24,25)，即2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)＜0，則sinθ與cosθ異號．又sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)＞0，∴eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(3π,4)，∴π＜2θ＜eq\f(3π,2).故cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)[備考方向要明了]考什么怎么考1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性.1.以選擇題或填空題的形式考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及對稱性．如年新課標(biāo)全國T9等．2.以選擇題或填空題的形式考查三角函數(shù)的值域或最值問題．如年湖南T6等．3.與三角恒等變換相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中．如年北京T15等.[歸納·知識整合]正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，))))k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)遞減區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋